(整理)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性

1、精品文檔正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性真正反映思維過程的文章，比八股式論文 要和諧可親得多，而且對(duì)思維訓(xùn)練更有幫 助，可惜，這種文章只能藏在文庫(kù)中。-作者感言一 a . bn 2 n ln n1. a <1發(fā)散2. a>1收斂3. a=1,bE1 發(fā)散4. a=1,b>1 收斂lim nln -an- -1ln n = gnJan 1y = (nx -1)ln n1 yx = y 1) n In n-g In In n -ln n1nlng n1 g -'n ln n1 - ln an -ln an dlnaN、發(fā);-am-e nlnnT 吐 1e n lnne現(xiàn)在開始討論正項(xiàng)級(jí)數(shù)的

2、收斂性，上面寫得很亂的東西，沒有清掉它，因?yàn)樗菃栴}的核心,記錄著思維的真實(shí)，保持原樣挺美的。Q0£ an （ an之0）被稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這個(gè)定義有點(diǎn)狹隘，因?yàn)榧?jí)數(shù)的收斂性不受去掉或增加 n 1有限項(xiàng)的影響，只要從某項(xiàng)開始，后面全部項(xiàng)都是an之0 ,就足夠看成正項(xiàng)級(jí)數(shù)了。 數(shù)列an寫成函數(shù)形式an = f (n)可以拓展解決問題的視野，比如Z f (n)的收斂性和f (x)dx的n z1收斂性，有著極為密切的關(guān)系，假定f(x)之0很多時(shí)候，收斂性是相同的，比如單調(diào)的時(shí)候。不單調(diào)也不怕，因?yàn)榧?jí)數(shù)和廣義積分的收斂都與前面有限部分的情況沒什么關(guān)系。極值點(diǎn)是單調(diào)性改變的地方，如果只有有限個(gè)極

3、值點(diǎn)，在右邊足夠遠(yuǎn)的區(qū)間里，函數(shù)必然單調(diào)， 而這足夠肯定，兩者收斂性相同。只要有限個(gè)極值點(diǎn)，很多時(shí)候這已經(jīng)夠用了。如果是無窮 個(gè)極值點(diǎn)，也不是沒有作為，只要存在經(jīng)過極少值點(diǎn)的函數(shù)，經(jīng)過極大值點(diǎn)的函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)這兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行類似討論，也能解決絕大部分問題。 當(dāng)然，如果這兩個(gè)函數(shù)無論走多遠(yuǎn)， 都相距很遠(yuǎn)，能給我們的幫助就非常有限。 不過沒有必要為此擔(dān) 心，初等函數(shù)中，只要不是周期函數(shù)， 在足夠遠(yuǎn)的區(qū)間里， 都可以當(dāng)作是單調(diào)的， 也就是說， 上面所說的級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性是相同的。廣義積分可以求原函數(shù)，處理手段比級(jí)數(shù)靈活，借廣義積分研究級(jí)數(shù)收斂性是極為重要的渠道。最原始的級(jí)數(shù)

4、收斂性，還非得借助廣義積分1不可。比如p-級(jí)數(shù)工二，其實(shí)就是通項(xiàng)為募函數(shù)的級(jí)數(shù)，其收斂性完全清楚，另一個(gè)完 nd np全清楚的級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù) £一 an ,其實(shí)就是通項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)的級(jí)數(shù)。 這是兩個(gè)最基本的級(jí)數(shù)。n 1后面演繹的常見判斂方法，都與這兩者有關(guān)。比如，常見的比值盼斂，根值判斂，本質(zhì)上是用等比級(jí)數(shù)作參照的。等比級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散很快，能判的級(jí)數(shù)范圍并不大。拉貝判斂是以p-級(jí)數(shù)作參照得出的，由于 p-級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散比等比級(jí)數(shù)要慢，因而可判的級(jí)數(shù)范圍要廣很八i I 小 上二1 I 口 ，、人，S多。有沒有比p-級(jí)數(shù)還要遲鈍的級(jí)數(shù)？當(dāng)然有，如 Z 一一，高斯判斂就是以這個(gè)級(jí)數(shù) nw n

5、ln n作參照的。不過，無論哪種極限判別，都有判據(jù)為1時(shí)無所作為的遺憾。正項(xiàng)級(jí)數(shù)的方便之處在于，級(jí)數(shù)的收斂性等價(jià)于其部分和數(shù)列的有界性，準(zhǔn)確說，是否有上界，因?yàn)槠洳糠趾蛿?shù)列是單調(diào)遞增的。由于這個(gè)原因，若an Ebn,則由bn的部分和有上界，必可得到an的部分和有上界，故收斂是小看大，大的收斂，小的一定收斂。這個(gè)命題的等 價(jià)命題是：發(fā)散大看小，小的發(fā)散，大的必然發(fā)散。這種通過不等式比較兩個(gè)數(shù)列，從而得 出收斂性判定，很基礎(chǔ)，但不方便，因?yàn)椴坏仁降姆趴s不是件容易的事情。用極限比較是個(gè)不錯(cuò)的主意。因?yàn)闃O限雖然是一個(gè)數(shù)，但這個(gè)數(shù)和數(shù)列某項(xiàng)以后的無窮項(xiàng)有 著很好的大小關(guān)聯(lián)性，而級(jí)數(shù)收斂性則只與某項(xiàng)以后無

6、窮項(xiàng)有關(guān)。aan .lim =l , （ l 之0）根據(jù)極限定義，有 Vs >0,3N,Vn> N :| -l |<nnbn即 一 ；0, N, 一n N ：（l ；）bn ：二 an ； （l；）bnqQ如果1 0 ,由于名 0的任意性，選取 名使得1 名為正沒有任何問題。若 £ bn發(fā)散,nq1（l -s）bn can （l +&bn的左邊不等式說明 Z an ,若Z bn收斂，其右邊不等式則說明6bn bn收斂判斷 n =1工an收斂。這個(gè)兩邊夾不等式，確保 £ an ,工bn收斂性相同。當(dāng)1=0,這個(gè)兩邊夾不等式的左邊失靈了，因?yàn)樗许?xiàng)非正

7、，不過右邊不等式仍然可用，即可以由z an收斂，但無法由 £ bn發(fā)散判斷z an發(fā)散。n z1這個(gè)極限比較判斂，需要知道其中一個(gè)的收斂性，當(dāng) 1 A0時(shí)，可以肯定另一個(gè)有同樣的收qqcQCOqQ斂性，但1 =0時(shí)，只可由 工bn收斂判斷z an收斂，或者由£ an發(fā)散判斷£ bn發(fā)散。n1n 1nRnW1 =和1 =0剛好顛倒。a有時(shí)候1不存在，也不是 厚,只要 隨一 =1存在，這相當(dāng)于 n-' bn-；0, N, -n N :1bn m an ： （1；）bnanan故Qm=1與1im=1判定方法完全一樣，但前者有更好的適應(yīng)性。nf.： bnnf ,

8、bn這種事先要知道一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂性的要求還是有點(diǎn)不方便，如何找那個(gè)事先知道的級(jí)數(shù)？能否通過數(shù)列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后兩項(xiàng)相比，會(huì)有什么消息?還是用極限方法：1im an±=1 ,由極限定義，得n ? - a an一；0, TN, -n N :| an1 -1 卜：；an變成一 ；0, Nn N :（1 - ；）an Wan .1：二（1；）an這不會(huì)提供任何有效信息，因?yàn)槿魏我贿叾际俏粗摹Ｓ蓸O限定義得到一 , 0, N, -n - N :1 -亙二：二1 ；an先假設(shè)l >0,適當(dāng)選取 名可保l - W A0 ,不等式取對(duì)數(shù)：ln(l - ；)： ln

9、an 1. -In an ：二 ln(l，二)mmm再取和：'、：ln(l - ；) ： '、. (ln an 1 - ln an):二 '、. ln(l »).) 心1n =N 1心1即(m -n)ln( l 一；)： ln am 1 一 lnaN1 < (m - n)ln( l -工)故(m -n)ln( l 一；) ln aN 1 ： lnam1 < (m - n)ln( l ；)ln aN 1取指數(shù)：aN 1 (l - ；)(mj) ： am 1 ： aN 1(l - s)(mj)當(dāng)m變化時(shí)，上面不等式兩端都是等比數(shù)列，其級(jí)數(shù)的收斂性完全由

10、公比確定，am的收斂性完全由兩端的等比級(jí)數(shù)確定。由名的任意性，若0<l<1,則可以確保0<l_%l+8<1。Q0若l>1,則可以確保l al +名>1。故根據(jù)0<l <1和l A1,可分別得出z an收斂和發(fā) n 1散。當(dāng)l =1時(shí)，這個(gè)方法失效，無從給出判定。當(dāng) l =0時(shí)，不等式(m_n)(m _n)aN .1(l - ；) ：二 am 1 ：二 aN .1。；)oO右半部分還是可用的，而這足夠了，選定 l + 6 = 6 <1,可以確定£ an收斂。 n 1一a于是有l(wèi)im %±=l ,若0 Wl <1 ,

11、Z an收斂，若l A1, Z an發(fā)散。l=1,不確定。n ann 1n d在這里lim包'=l可以替換成 n ,二 anl的實(shí)血.=,結(jié)論一樣。不過適用性更廣。知道這個(gè)nf ： an質(zhì)是等比數(shù)列的公比是有價(jià)值的。這個(gè)判別方法不過是用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)判斷級(jí)數(shù)的收斂性，能判的范圍很有局限性，比如l=1的時(shí)候，就不靈了。根值法lim gn = l和比值法雖然計(jì)算上有點(diǎn)區(qū)別，但實(shí)質(zhì)仍然是以等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)判斷收 n I-'斂性，因而結(jié)論完全一樣，不過根據(jù)不同表達(dá)式采用不同判別法，在計(jì)算上會(huì)有各自的特點(diǎn)。a nim= 1可等價(jià)寫成ln -an- = 0 表示 lim "an土

12、= 1 。an 1n : an. a 當(dāng)lim q1=1時(shí)，咋辦？ 一般說來，想比不如相減方便，故 n " anlim lna土 = 0 ,為了后面表述上的一致性，我們更主要用limn 'annf這樣提問，也許能幫我們引向問題的解決:我們需要什么樣的一個(gè)函數(shù)平（x, n）,使得lim cp（in/L,n）= i ,而根據(jù)1的范圍，便可給an 1a出£ an的收斂性判定？還是從lim甲（in-,n）=1本身尋找答案，其極限定義為n4n 二 % 1-；0, N,-n N :| ：（1n 亙,n） 一1 |：二；an 1a即一；0, TN , - n N : 1 -；：二

13、：（in, n） ： 1；an1求解邛（x,n）的反函數(shù)，我們假設(shè)它仍能維持不等式的兩邊夾，于是（1 - ；,n） =： 1n -an-:二（1，二,n）an 1（1 - ；,n）：二 1n an - 1n an 1 ：二一 （1；, n）mmm取和：'（1-；,n） ;“（1n an-1n an i）二 '（1,n）n?。?n小-1n小"1mm'、'''' （1 - ；，n） < 1n aN 1 - 1n am 1 ： N： （1；,n）n zN 1n rN 1mm1n aN 1 -、- （1 一 ；，n）1n am i

14、 1n aN 1 -、: '一 （1；, n）n =N 1n 二N Hmm1naN1-< '（1 Tn）1n aN 1 -'-（1 -：；n）e n-1am1 e n典1QOIZ an的收斂性由e n 1mm1naN 1 -x' 1'''（! -；n） lnaN 1'二。；n）顯然,n丑* ,e T+的級(jí)數(shù)收斂性確定。討論收斂性,mm八. '-：（1 一； n） A '-'（"n）常數(shù)1n aN書可以不作考慮，于是，只要討論e n-+ ,e n-+的級(jí)數(shù)收斂性即可。1代替這兩者，于是，我們關(guān)

15、注這兩個(gè)級(jí)數(shù)只是1 +句1 -名，我們暫時(shí)抹掉這種差異，用m %：（1,n）e3#究竟是什么？可以充當(dāng)級(jí)數(shù)收斂性的判定標(biāo)準(zhǔn)? 一二 1P嗎？也就是目前我們只能用等比級(jí)數(shù)作標(biāo)準(zhǔn)，能用p-級(jí)數(shù)1 -nT nm八. '-：(l,n) e t 1（為了左右一致，將 p換成l, n換成m）m八. '-：(l,n) e 7 1_Llnm 二e(l ,n) = l ln mn =N 1考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)mn J (l, n)dn = l ln m對(duì)m求導(dǎo)，得到(l,m) = L man -1i an-；：nln 一an 1| n ln a -l 卜：；an 1一

16、aa.故 lim 邛(ln, n) =l 可選為 lim nln an 1n = an 1.二 1 一=l , l為P -級(jí)數(shù)£ F的P值，l A 1 , l 土名都nm n可保持大于1, l <1, l±E同樣可以保持和qQl同樣的范圍，故這兩種情況，z an的收斂性n 1一 一，11-人一一和p-級(jí)數(shù)工的收斂性判定完全相同，可nd npl =1時(shí)候，l 士名肯定無法保持為1。故a.二，.lim n ln= l ,當(dāng)l >1時(shí)，工an收斂，當(dāng)n " an 1nd在 lim ln -an- =0 的情況下，ln -an-1_ -an- -1 , an

17、1an 1an 1col <1時(shí)，Z an發(fā)散，l =1,不確定。n 1故lim n ln -an- =l可換成 n " andlim n(-an- -1) = ln 一an 1人 E，111，八E ,一除了用P-級(jí)數(shù)1 ,作標(biāo)準(zhǔn)，還可以用另的嗎?Pn =1 n精品文檔 二1可以，柯西選擇了級(jí)數(shù)vd nj nln nm八. '-：(l,n)e n型1 e1mln m_l In In m_Jnm 二e于是工(l ,n) = l In In m In mn =N 1考慮到級(jí)數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設(shè)mn J (l,n)dn = l ln ln m ln m,l

18、1對(duì)m求導(dǎo)，得到中(l ,m) =+mln m m于是, l 一； 1、 ,an, l ；1、(-)< ln ：二(-)nln n nan 1 nln n n-；：(n ln an-)ln n -1 :二；an -1| (n ln an-) ln n -l 卜：；an 1故 lim (ln -anan1a.二 1,n) =l可選為lim( n ln-1)ln n = l ,其中l(wèi)為Z 廠的參數(shù)，l > 1,nan 1nd nln nQOl±E都可保持大于1, l <1, l 土名同樣可以保持和l同樣的范圍，故這兩種情況，£an的n=1收斂性和級(jí)數(shù)的收斂性判

19、定完全吻合，可 l = 1時(shí)候，l ± W肯定無法保持為1。lim( n ln -an- -1)ln n = l ,當(dāng) l >1 時(shí),n .一an 1COZ an收斂，當(dāng)l <1時(shí), n 1oOZ an發(fā)散。n 1在 lim ln -ann 一 an 1=0的情況下,ln -an-1_ -an- -1 ,故 lim( n ln -an- -1)ln n = l 可換成an 1an 1nan 1lim( n(-a- -1) -1)ln n = ln .一an 1a這因?yàn)?lim( nln-1)lnn=l等價(jià)于(n l n-an- - 1 ) n n l o (1 )ln-aan 1an 1, ln ln n1, 1 、no -lnan 1旦-1 = an 1-1an 1l