例談初中數(shù)學(xué)中客觀性問題的幾種解題方法

1、例談初中數(shù)學(xué)中“有關(guān)面積客觀性問題 ”的幾種解題方法 甘肅省張掖市新墩鎮(zhèn)中心學(xué)校 閆治春 郵編734000近年來，全國(guó)各地中考卷中頻頻出現(xiàn)“面積問題”的試題，成為中考數(shù)學(xué)卷中的一個(gè)亮點(diǎn)，尤其是有關(guān)“面積問題”中的選擇、填空等客觀性題，直接求解，計(jì)算繁雜，甚至無法求解，應(yīng)采用一定的技巧，運(yùn)用正確的方法，巧算面積，化難為易，既能得出正確答案，又能節(jié)省答卷時(shí)間，可達(dá)到事半功倍之效果。下面，本人就以幾個(gè)典型的試題為例，談?wù)劇坝嘘P(guān)面積客觀性問題 ”的幾種解題方法。一、割補(bǔ)法例1如圖1，以BC為直徑，在半徑為2，圓心角為的扇形內(nèi)作半圓，交AB于點(diǎn)D，連接CD，則陰影部分的面積是（ ） 圖1A. B. C.

2、 D. 解析：觀察圖形，可以適當(dāng)進(jìn)行“割”與“補(bǔ)”，從而組合成便于計(jì)算的幾何圖形，根據(jù)此圖的條件，只要把弓形CD與弓形BD互換，即把弓形CD“割”下來“補(bǔ)”到弓形BD上，則陰影部分的面積就等于扇形ABC的面積減去ADC的面積，故選A。二、平移法例2下面是兩位同學(xué)關(guān)于配有如圖2的一道題目的爭(zhēng)論：甲：“這道題不好算，給的條件也太少了！”乙：“為什么這么說？”甲：“你看，題目只告訴我們AB的長(zhǎng)度等于24，卻要求出陰影部分的面積！事實(shí)上我連這兩個(gè)半圓的直徑各是多少都不知道呢。”乙：“那，不過AB可是小半圓的切線，而且它和大半圓的直徑也是平行的呀！”甲：“那也不頂用，我看一定是出題人把什么條件給遺漏啦！

3、”請(qǐng)問，真是甲說的這么回事嗎？如果不是，你能求出陰影部分的面積來嗎？ 圖2解析：只要將小半圓向左平移至大、小半圓圓心重合的特殊位置時(shí)，已知條件就能充分利用，陰影部分的面積就能用整體思想解決。解：甲說的不對(duì)，根據(jù)現(xiàn)有條件能求出陰影部分的面積，如圖3，連結(jié)OC、OB，則OCAB，CB=12， 圖3所以。三、旋轉(zhuǎn)法例3.如圖4，已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），分別以A、B為圓心的圓與x軸相切，則圖中兩個(gè)陰影部分面積的和為_。 圖4解析：根據(jù)圖中兩圓關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的特征，以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心將其中一圓旋轉(zhuǎn)到另一圓上，兩個(gè)不規(guī)則的陰影部分剛好構(gòu)成一個(gè)圓，很快就得兩

4、個(gè)陰影部分面積的和為。四、翻折法例4如圖5，扇形AOB的圓心角為直角，正方形OCDE內(nèi)接于扇形，點(diǎn)C、E、O分別在OA、OB、弧AB上，過點(diǎn)A作AFED交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為F，如果正方形的邊長(zhǎng)為1，那么陰影部分面積為_。 圖5解析：求圖形的面積要注意觀察圖形的結(jié)構(gòu)，此題的特征是I區(qū)域與II區(qū)域關(guān)于直線OD成軸對(duì)稱，只要把I區(qū)域沿直線OD翻折到II區(qū)域，問題就轉(zhuǎn)化為求矩形ACDF的面積。解：因?yàn)镺C=1，所以O(shè)D=OA=，所以。五、比例法例5如圖6，梯形ABCD被對(duì)角線分為4個(gè)小三角形，已知AOB和BOC的面積，分別為和，那么DOC的面積是_。 圖6解析：在三角形中，在高相等的情況下，兩

5、個(gè)三角形的面積比等于底的比，利用這個(gè)等比關(guān)系就可以便捷地求出DOC的面積。解：，求得。六、規(guī)律法例6將n個(gè)邊長(zhǎng)都為的正方形按如圖7所示的方法擺放，點(diǎn)、分別是正方形的中心，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為（ ） 圖7 A. B. C. D. 解析：此題可先研究?jī)蓚€(gè)正方形重疊部分的面積，根據(jù)題意可知，點(diǎn)、分別是正方形的中心，所以與重疊部分為的面積的四分之一，以此類推。若兩個(gè)正方形的重疊面積為1個(gè)正方形面積的，則三個(gè)正方形的重疊面積為2個(gè)，四個(gè)正方形的重疊面積為3個(gè)，于是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化，然后再?gòu)奶厥獾揭话?，得到n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為，故選C。七、實(shí)驗(yàn)法例7

6、小明在操場(chǎng)上做游戲，他發(fā)現(xiàn)地上有一個(gè)不規(guī)則的封閉圖形ABC，為了知道它的面積，小明在封閉圖形內(nèi)劃出了一個(gè)半徑為1米的圓，如圖8，在不遠(yuǎn)處向圈內(nèi)擲石子，且記錄如下，則封閉圖形ABC的面積是 平方米。擲石子次數(shù)石子落在的區(qū)域50次150次300次石子落在O內(nèi)（含O上）次數(shù)144393石子落在陰影內(nèi)的次數(shù)1985186 圖8解析：不規(guī)則的封閉圖形ABC的面積難以用常規(guī)方法解決，但根據(jù)小明游戲?qū)嶒?yàn)的啟發(fā)，此類問題可以巧妙地轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)中的概率問題，因?yàn)榻?jīng)過較多次數(shù)的實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)：實(shí)驗(yàn)中，石子落在O內(nèi)（含O上）的概率約為31%，石子落在封閉圖形ABC的概率約為93%，從而推出封閉圖形ABC的面積約為O面積的

7、3倍，約平方米。 八、數(shù)形結(jié)合法例8、在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖9）已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4= 。 圖9解析：四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，可設(shè)它們的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，不難證出ABCBDE，由直角三角形全等，再根據(jù)勾股定理，可得：解得：a²+b²+ c²+ d² =4，即S1+ S2+ S3+ S4=4。“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”數(shù)學(xué)中大量數(shù)的問題后面都隱含著形的信息，圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系。我們要將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過形的形象、直觀揭示出來，以達(dá)到"形