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文檔簡介
1、.專題三 三個“二次”關(guān)系在高考中的應(yīng)用陳燕春三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系,同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系,掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.錦囊妙計1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法:y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n.(2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q).若<p,則f(p)=m,f(q)=M;若p<
2、;x0,則f()=m,f(q)=M;若x0<q,則f(p)=M,f()=m;若q,則f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件.(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立.(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(p<q).3.
3、二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是:(,),+a<0且f()=f()=0;(2)當(dāng)a>0時,f()<f() |+|<|+|,當(dāng)a<0時,f()<f()|+|>|+|;(3)當(dāng)a>0時,二次不等式f(x)>0在p,q恒成立或(4)f(x)>0恒成立難點訓(xùn)練1.已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是_.解析:只需f(1)=2p23p+9>0或f(1)=2p2+p+1>0即3p或p1.p(3, ).答
4、案:(3,)2.二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正,且對任意實數(shù)x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)<f(1+2xx2),則x的取值范圍是_.解析:由f(2+x)=f(2x)知x=2為對稱軸,由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小,|12x22|1+2xx22|,2x0.答案:2x03.(11天津)設(shè)函數(shù)對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是【解】解法不等式化為,即,整理得,因為,所以,設(shè),于是題目化為,對任意恒成立的問題為此需求,的最大值設(shè),則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),因而在處取得最大值,所以,整理得,即,所以,解得或,因此實數(shù)的取值范圍是解法2同解法1,題目化為,對任意恒成立的問題為此需
5、求,的最大值設(shè),則因為函數(shù)在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,取得最小值從而有最大值所以,整理得,即,所以,解得或,因此實數(shù)的取值范圍是解法3不等式化為,即,整理得,令由于,則其判別式,因此的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點得到,所以為使對任意恒成立,必須使為最小值,即實數(shù)應(yīng)滿足解得,因此實數(shù)的取值范圍是解法4(針對填空題或選擇題)由題設(shè),因為對任意,恒成立,則對,不等式也成立,把代入上式得,即,因為,上式兩邊同乘以,并整理得,即,所以,解得或,因此實數(shù)的取值范圍是 4.(11湖北)設(shè)函數(shù),其中為常數(shù),已知曲線與在點(2,0)處有相同的切線.()求的值,并寫出切線的方程; ()若方程有三個互不相同的實數(shù)根,其
6、中,且對任意的,恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. (2)由(1)得,所以 依題意,方程有三個互不相同的實根0、x1、x2, 故x1、x2是方程的兩相異的實根.所以=9-4(2-m)>0,即又對任意的成立.特別地,取時,成立,得m<0.由韋達(dá)定理,可得故對任意的,有,x>0.則又所以函數(shù)在的最大值為0.于是當(dāng)m<0時,對任意的,恒成立.綜上,m的取值范圍是().5.浙江文設(shè)函數(shù),()求的單調(diào)區(qū)間;()求所有實數(shù),使對恒成立注:為自然對數(shù)的底數(shù)本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,同時考查抽象概括、推理論證能力。滿分15分。 ()解:因為,所以 由于,所以
7、的增區(qū)間為,減區(qū)間為 ()證明:由題意得,由()知內(nèi)單調(diào)遞增,要使恒成立,只要,解得6.(2011年高考全國卷文科21)已知函數(shù)()證明:曲線()若求a的取值范圍?!窘馕觥?),故x=0處切線斜率,又即,當(dāng)故曲線(),令,故7.(2011年高考天津卷文科19)(本小題滿分14分)已知函數(shù)其中.()當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;()當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;()證明:對任意,在區(qū)間(0,1)內(nèi)均在零點.【解析】()當(dāng)時, ,所以曲線在點處的切線方程為.() 令,解得或,因為,以下分兩種情況討論:(1)若,則.當(dāng)變化時, ,的變化情況如下表:+-+所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,;的單調(diào)遞減區(qū)間是.+-+ (2)
8、若,則.當(dāng)變化時, ,的變化情況如下表:所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,;的單調(diào)遞減區(qū)間是.所以在內(nèi)存在零點.若,所以在內(nèi)存在零點,所以,對任意,在區(qū)間(0,1)內(nèi)均在零點.綜上, 對任意,在區(qū)間(0,1)內(nèi)均在零點.【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算能力及分類討論的思想方法.8(本小題滿分分)已知函數(shù),其中()若,求曲線在點處的切線方程;()若在區(qū)間上,恒成立,求的取值范圍【解】()當(dāng)時,所以曲線在點處的切線方程為,即()令,解得或針對區(qū)間,需分兩種情況討論:(1) 若,則當(dāng)變化時,的變化情況如下表:增極大值減所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點得到因此在區(qū)間上,恒成立,等價于即解得,又因為,所以(2) 若,則當(dāng)變化時,的變化情況如下表:增極大值減極小值增所以在區(qū)間上的最小值在區(qū)間的端點或處得到因此在區(qū)間上,恒成立,等價于即解得或,又因為,所以綜合(1),(2), 的取值范圍為.9.已知函數(shù)(I)討論的單調(diào)性;(II)設(shè),證明:當(dāng)時,;(III)若函數(shù)的圖像與x軸交于A,B兩點
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