空間解析幾何4

1、二、曲面方程的概念三、旋轉(zhuǎn)曲面四、柱面曲面及其方程上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁五、二次曲面一、常見曲面舉例上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 到定點的距離為定值的動點的軌跡. 球面一、常見曲面舉例 橢球面 由球面伸縮形變而得的曲面.稱定點為球心, 定值距離為半徑. 環(huán)面 一圓周繞其所在平面上位于圓外的一直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 兩斜交直線中的一直線繞另一直線旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面. 圓錐面一、常見曲面舉例 水平面上的圓周沿豎直方向平移而成的曲面. 圓柱面上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、常見曲面舉例 拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面. 旋轉(zhuǎn)拋物面 馬鞍面 拋物線 L 與 l 開口一上一下, 它們所在

2、的平面相互垂直,使 l 的頂點在 L上滑動, 平移 l 而得的曲面.lL上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例1 設(shè) S 為球心在點 M0(x0, y0, z0), 半徑為 R 的球面,則 S 上任一點 M(x, y, z) 的坐標滿足如下方程: (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2. (1) 不在 S 上的點的坐標都不滿足方程(1). 球面 S 上的點的坐標一定滿足方程(1), 稱方程(1)為球面 S 的方程, 稱球面 S 為方程(1)的圖形.二、曲面方程的概念上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、曲面方程的概念那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的圖

3、形. (1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程F(x, y, z)0,v曲面方程的定義 如果曲面S與三元方程 F(x, y, z)0有下述關(guān)系: 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 (1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時, 建立這曲面的方程; (2)已知坐標x、y和z間的一個方程時, 研究這方程所表示的曲面的形狀. v研究曲面的兩個基本問題 通過配方, 原方程可以改寫成 (x1)2(y2)2z25. 例2 方程x2y2z22x4y0表示怎樣的曲面？ 解 這是一個球面方程, 球心在點) 0 , 2 , 1 (0M、半徑為5R. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁

4、三、旋轉(zhuǎn)曲面 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面, 這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設(shè)yOz平面上有一曲線C, 它的方程為f(y, z)0. 曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)曲面. 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 設(shè)M(x, y, z)為曲面上任一點, 它是曲線C上點M1(0, y1, z1)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而得到的. 因此有如下關(guān)系等式 0) ,(11zyf, 0) ,(11zyf 1zz, 221|yxy1zz, 221|yxy, 從而得 0) ,(22zyxf, 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁將方程 zycot中的 y 改成22yx , 得 例3 試建立頂點在坐標原點O,

5、 旋轉(zhuǎn)軸為z軸, 半頂角為的圓錐面的方程. 解 在坐標面yOz內(nèi), 與z軸夾角為的zycot, 或 z2a2(x2y2), 這就是所求的圓錐面的方程, 其中acot . 曲線f(y, z)0繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 0) ,(22zyxf. cot22yxz, 直線的方程為提問:曲線f(y, z)0繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是什么?上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁繞 x 軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程分別為 解 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面例 5 將 zOx 坐標面上的雙曲線12222czax分別繞 x 軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周, 求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 例4 122222czy

6、ax, 122222czyax 122222czayx. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁在 xOy 面上, x2y2R2 表示圓 C. 例5 方程 x2y2R2 表示怎樣的曲面？ 解 在圓 C 上任取一點 M, 過此點作平行于 z 軸的直線 l, 當點 M 沿圓 C 移動時, 直線 l (沿圓 C)平移而得一曲面 S. S 為一圓柱面, M圓 C 叫做它的準線, 平行于 z 軸的直線 l 叫做它的母線. 點 P(x, y, z) 滿足方程 x2y2R2, 等價于點 M(x, y, 0) 在圓 C 上, 點 P 在母線 l 上. 在空間, x2y2R2 表示圓柱面.四、柱面也即上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 平

7、行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面, 定曲線C叫做柱面的準線, 動直線L叫做柱面的母線. v柱面 上面我們看到, 不含z的方程x2y2R2在空間直角坐標系中表示圓柱面, 它的母線平行于z軸, 它的準線是xOy面上的圓x2y2R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)0, 在空間直角坐標系中表示母線平行于z軸的柱面, 其準線是xOy面上的曲線C: F(x, y)0. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 方程y22x表示母線平行于z軸的柱面, 它的準線是xOy面上的拋物線y22x, 該柱面叫做拋物柱面. 方程xy0表示母線平行于z軸的柱面, 其準線是xOy面上的直線xy0, 所以

8、它是過z軸的平面. v柱面舉例 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 方程z2x21表示母線平行于y軸的柱面, 它的準線是zOx面上的雙曲線z2x21, 該柱面叫做雙曲柱面. 方程y2+2z21表示母線平行于x軸的柱面, 其準線是yOz面上的橢圓y2+2z21, 該柱面叫做橢圓柱面. v柱面舉例 xyzO221zxxyzO2221yz上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁v研究曲面的一種方法伸縮變形法 設(shè)S是一個曲面, 其方程為F(x, y, z)0, S是將曲面S沿x軸方向伸縮倍所得的曲面. 顯然, 若(x, y, z) S, 則(x, y, z)S; 若(x, y, z)S, 則Szyx) , ,1(. 這就是曲面S的

9、方程. 因此, 對于任意的(x, y, z)S, 有 0) , ,1(zyxF, 五、二次曲面上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁五、二次曲面1.橢圓錐面 由方程22222zbyax所表示的曲面稱為橢圓錐面. 倍即得橢圓錐面軸方向伸縮沿把圓錐面abyzayx 2222. 橢圓錐面的形成 截痕 坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截得到的交線. 討論 圓錐面的截痕有哪幾種曲線? 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁倍軸方向伸縮再把旋轉(zhuǎn)橢球面沿aby , 2.橢球面 由方程1222222czbyax所表示的曲面稱為橢球面. 倍軸方向伸縮沿把球面aczazyx 2222, 得旋轉(zhuǎn)橢球面 122222czayx, 得橢球面 122

10、2222czbyax. 橢球面的形成 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3.單葉雙曲面 由方程1222222czbyax所表示的曲面稱為單葉雙曲面. 把 zOx 面上的雙曲線12222czax繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 單葉雙曲面的形成 得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面 122222czayx, 倍軸方向伸縮再把旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面沿aby , 得單葉雙曲面 1222222czbyax. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由方程1222222czbyax所表示的曲面稱為雙葉雙曲面. 4.雙葉雙曲面 雙葉雙曲面的形成 把 zOx 面上的雙曲線12222czax繞 x 軸旋轉(zhuǎn), 122222cyzax, 倍軸方向伸縮再把旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面沿cby , 得雙

11、葉雙曲面 1222222czbyax. 得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 由方程zbyax2222所表示的曲面稱為橢圓拋物面. 5.橢圓拋物面 橢圓拋物面的形成 把 zOx 面上的拋物線zax22繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)拋物面zayx222, 倍軸方向伸縮再把旋轉(zhuǎn)拋物面沿aby , 得橢圓拋物面 zbyax2222. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線 截痕分析 6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置

12、只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的

13、拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當 t 變化時, lt 的形狀不變, 位置只作平移, 而 lt 的頂點的軌跡L為平面y0上的拋物線 22axz. 截痕分析 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁由方程zbyax2222所表示的曲面稱為雙曲拋物面. 雙曲拋物面與平面yc的截痕為平面yc上的拋物線6.雙曲拋物面 2222.xczab與平面xt的截痕為該平面上的拋物線2222:.tytlzba當