經(jīng)典算法設(shè)計方法大雜燴

1、.經(jīng)典算法設(shè)計方法大雜燴經(jīng)典算法設(shè)計方法大雜燴2010-03-31 21：56一、什么是算法算法是一系列解決問題的清晰指令，也就是說，能夠?qū)σ欢ㄒ?guī)范的輸入，在有限時間內(nèi)獲得所要求的輸出。算法常常含有重復(fù)的步驟和一些比較或邏輯判斷。如果一個算法有缺陷，或不適合于某個問題，執(zhí)行這個算法將不會解決這個問題。不同的算法可能用不同的時間、空間或效率來完成同樣的任務(wù)。一個算法的優(yōu)劣可以用空間復(fù)雜度與時間復(fù)雜度來衡量。算法的時間復(fù)雜度是指算法需要消耗的時間資源。一般來說，計算機算法是問題規(guī)模n的函數(shù)f(n)，算法執(zhí)行的時間的增長率與f(n)的增長率正相關(guān)，稱作漸進時間復(fù)雜度(Asymptotic Time

2、Complexity)。時間復(fù)雜度用"O(數(shù)量級)"來表示，稱為"階"。常見的時間復(fù)雜度有：O(1)常數(shù)階；O(log2n)對數(shù)階；O(n)線性階；O(n2)平方階。算法的空間復(fù)雜度是指算法需要消耗的空間資源。其計算和表示方法與時間復(fù)雜度類似，一般都用復(fù)雜度的漸近性來表示。同時間復(fù)雜度相比，空間復(fù)雜度的分析要簡單得多。二、算法設(shè)計的方法1.遞推法遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N的解，當(dāng)N=1時，解或為已知，或能非常方便地得到解。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為i-1的解后，由問題

3、的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1，2，i-1的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為I的解。這樣，程序可從i=0或i=1出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為N的解?！締栴}】階乘計算問題描述：編寫程序，對給定的n(n 100)，計算并輸出k的階乘k！(k=1，2，n)的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲長整數(shù)，存儲長整數(shù)數(shù)組的每個元素只存儲長整數(shù)的一位數(shù)字。如有m位成整數(shù)N用數(shù)組a存儲：N=am×10m-1+am-1×10m-2+a2×101+a1×100并用a0存儲長整數(shù)N的位數(shù)m，

4、即a0=m。按上述約定，數(shù)組的每個元素存儲k的階乘k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個元素、第三個元素。例如，5！=120，在數(shù)組中的存儲形式為：3 02 1首元素3表示長整數(shù)是一個3位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、2、1，表示成整數(shù)120。計算階乘k！可采用對已求得的階乘(k-1)！連續(xù)累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，計算5！，可對原來的24累加4次24后得到120。細(xì)節(jié)見以下程序。#include stdio.h#include malloc.h#define MAXN 1000 void pnext(int a,int k)int*b,m=a0,i,j,r,car

5、ry；b=(int*)malloc(sizeof(int)*(m+1)；for(i=1；i=m；i+)bi=ai；for(j=1；j=k；j+)for(carry=0,i=1；i=m；i+)r=(i a0?ai+bi：ai)+carry；ai=r%10；carry=r/10；if(carry)a+m=carry；free(b)；a0=m；void write(int*a,int k)int i；printf("%4d！=",k)；for(i=a0；i 0；i-)printf("%d",ai)；printf("nn")；void mai

6、n()int aMAXN,n,k；printf("Enter the number n：")；scanf("%d",&n)；a0=1；a1=1；write(a,1)；for(k=2；k=n；k+)pnext(a,k)；write(a,k)；getchar()；2.遞歸遞歸是設(shè)計和描述算法的一種有力的工具，由于它在復(fù)雜算法的描述中被經(jīng)常采用，為此在進一步介紹其他算法設(shè)計方法之前先討論它。能采用遞歸描述的算法通常有這樣的特征：為求解規(guī)模為N的問題，設(shè)法將它分解成規(guī)模較小的問題，然后從這些小問題的解方便地構(gòu)造出大問題的解，并且這些規(guī)模較小的問題也能采用

7、同樣的分解和綜合方法，分解成規(guī)模更小的問題，并從這些更小問題的解構(gòu)造出規(guī)模較大問題的解。特別地，當(dāng)規(guī)模N=1時，能直接得解?！締栴}】編寫計算斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的第n項函數(shù)fib(n)。斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：fib(0)=0；fib(1)=1；fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(當(dāng)n 1時)。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n)if(n=0)return 0；if(n=1)return 1；if(n 1)return fib(n-1)+fib(n-2)；遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題(規(guī)模為n)的求解推

8、到比原問題簡單一些的問題(規(guī)模小于n)的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結(jié)果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n為1和0的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡單情況的解后，逐級返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的結(jié)果，在得到了fib(n-1)和

9、fib(n-2)的結(jié)果后，返回得到fib(n)的結(jié)果。在編寫遞歸函數(shù)時要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進入"簡單問題"層時，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列"簡單問題"層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會有一系列的重復(fù)計算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對較低。當(dāng)某個遞歸算法能較方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數(shù)列的第n項的函數(shù)fib(n)應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項出發(fā)，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項?！締栴}】組合問題

10、問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n中任取r個數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：(1)5、4、3(2)5、4、2(3)5、4、1(4)5、3、2(5)5、3、1(6)5、2、1(7)4、3、2(8)4、3、1(9)4、2、1(10)3、2、1分析所列的10個組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void comb(int m,int k)為找出從自然數(shù)1、2、m中任取k個數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個數(shù)字選定時，其后的數(shù)字是從余下的m-1個數(shù)中取k-1數(shù)的組合。這就將求m個數(shù)中取k個數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1個數(shù)中取k-1個數(shù)的組合問題。設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a存放求出

11、的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k個數(shù)字組合的第一個數(shù)字放在ak中，當(dāng)一個組合求出后，才將a中的一個組合輸出。第一個數(shù)可以是m、m-1、k，函數(shù)將確定組合的第一個數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)comb?！境绦颉?include stdio.h#define MAXN 100 int aMAXN；void comb(int m,int k)int i,j；for(i=m；i=k；i-)ak=i；if(k 1)comb(i-1,k-1)；elsefor(j=a0；j 0；j-)printf(

12、"%4d",aj)；printf("n")；void main()a0=3；comb(5,3)；3.回溯法回溯法也稱為試探法，該方法首先暫時放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制，并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時，就選擇下一個候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時，繼續(xù)擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時，該候選解就是問題的一個解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個候選解的過程稱為回溯。擴大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探?！締栴}】組合問

13、題問題描述：找出從自然數(shù)1，2，n中任取r個數(shù)的所有組合。采用回溯法找問題的解，將找到的組合以從小到大順序存于a0，a1，ar-1中，組合的元素滿足以下性質(zhì)：(1)ai+1ai，后一個數(shù)字比前一個大；(2)ai-i=n-r+1。按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個數(shù)為r的條件，候選組合從只有一個數(shù)字1開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴大其規(guī)模，并使其滿足上述條件(1)，候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2，3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個候選解，因a2上的3調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5都滿足問題的全

14、部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于對5不能再作調(diào)整，就要從a2回溯到a1，這時，a1=2，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1，3，4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0再回溯時，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：【程序】#define MAXN 100 int aMAXN；void comb(int m,int r)int i,j；i=0；ai=1；doif(ai-i=m-r+1if(i=r-1)for(j=0；j r；j+)printf("%4d",aj)；printf("n")；ai+；continue；elseif(i

15、=0)return；a-i+；while(1)main()comb(5,3)；4.貪婪法貪婪法是一種不追求最優(yōu)解，只希望得到較為滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的解，因為它省去了為找最優(yōu)解要窮盡所有可能而必須耗費的大量時間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況，所以貪婪法不要回溯。例如平時購物找錢時，為使找回的零錢的硬幣數(shù)最少，不考慮找零錢的所有各種發(fā)表方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各幣種，先盡量用大面值的幣種，當(dāng)不足大面值幣種的金額時才去考慮下一種較小面值的幣種。這就是在使用貪婪法。這種方法在這里總是最優(yōu)，是因為銀行對其發(fā)行的硬幣種類和硬幣

16、面值的巧妙安排。如只有面值分別為1、5和11單位的硬幣，而希望找回總額為15單位的硬幣。按貪婪算法，應(yīng)找1個11單位面值的硬幣和4個1單位面值的硬幣，共找回5個硬幣。但最優(yōu)的解應(yīng)是3個5單位面值的硬幣。【問題】裝箱問題問題描述：裝箱問題可簡述如下：設(shè)有編號為0、1、n-1的n種物品，體積分別為v0、v1、vn-1。將這n種物品裝到容量都為V的若干箱子里。約定這n種物品的體積均不超過V，即對于0i<n，有0<viV。不同的裝箱方案所需要的箱子數(shù)目可能不同。裝箱問題要求使裝盡這n種物品的箱子數(shù)要少。若考察將n種物品的集合分劃成n個或小于n個物品的所有子集，最優(yōu)解就可以找到。但所有可能劃

17、分的總數(shù)太大。對適當(dāng)大的n，找出所有可能的劃分要花費的時間是無法承受的。為此，對裝箱問題采用非常簡單的近似算法，即貪婪法。該算法依次將物品放到它第一個能放進去的箱子中，該算法雖不能保證找到最優(yōu)解，但還是能找到非常好的解。不失一般性，設(shè)n件物品的體積是按從大到小排好序的，即有v0v1vn-1。如不滿足上述要求，只要先對這n件物品按它們的體積從大到小排序，然后按排序結(jié)果對物品重新編號即可。裝箱算法簡單描述如下：輸入箱子的容積；輸入物品種數(shù)n；按體積從大到小順序，輸入各物品的體積；預(yù)置已用箱子鏈為空；預(yù)置已用箱子計數(shù)器box_count為0；for(i=0；i n；i+)從已用的第一只箱子開始順序?qū)?/p>

18、找能放入物品i的箱子j；if(已用箱子都不能再放物品i)另用一個箱子，并將物品i放入該箱子；box_count+；else將物品i放入箱子j；上述算法能求出需要的箱子數(shù)box_count，并能求出各箱子所裝物品。下面的例子說明該算法不一定能找到最優(yōu)解，設(shè)有6種物品，它們的體積分別為：60、45、35、20、20和20單位體積，箱子的容積為100個單位體積。按上述算法計算，需三只箱子，各箱子所裝物品分別為：第一只箱子裝物品1、3；第二只箱子裝物品2、4、5；第三只箱子裝物品6。而最優(yōu)解為兩只箱子，分別裝物品1、4、5和2、3、6。若每只箱子所裝物品用鏈表來表示，鏈表首結(jié)點指針存于一個結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)

19、記錄尚剩余的空間量和該箱子所裝物品鏈表的首指針。另將全部箱子的信息也構(gòu)成鏈表。以下是按以上算法編寫的程序?！境绦颉?include stdio.h#include stdlib.h typedef struct eleint vno；struct ele*link；ELE；typedef struct hnodeint remainder；ELE*head；Struct hnode*next；HNODE；void main()int n,i,box_count,box_volume,*a；HNODE*box_h,*box_t,*j；ELE*p,*q；Printf("輸入箱子容積n&q

20、uot;)；Scanf("%d",&box_volume)；Printf("輸入物品種數(shù)n")；Scanf("%d",&n)；A=(int*)malloc(sizeof(int)*n)；Printf("請按體積從大到小順序輸入各物品的體積：")；For(i=0；i n；i+)scanf("%d",a+i)；Box_h=box_t=NULL；Box_count=0；For(i=0；i n；i+)p=(ELE*)malloc(sizeof(ELE)；p-vno=i；for(j=box

21、_h；j！=NULL；j=j-next)if(j-remainder=ai)break；if(j=NULL)j=(HNODE*)malloc(sizeof(HNODE)；j-remainder=box_volume-ai；j-head=NULL；if(box_h=NULL)box_h=box_t=j；else box_t=boix_t-next=j；j-next=NULL；box_count+；else j-remainder-=ai；for(q=j-next；q！=NULL&&q-link！=NULL；q=q-link)；if(q=NULL)p-link=j-head；j-h

22、ead=p；elsep-link=NULL；q-link=p；printf("共使用了%d只箱子"，box_count)；printf("各箱子裝物品情況如下：")；for(j=box_h,i=1；j！=NULL；j=j-next,i+)printf("第%2d只箱子，還剩余容積%4d，所裝物品有；n",I,j-remainder)；for(p=j-head；p！=NULL；p=p-link)printf("%4d",p-vno+1)；printf("n")；5.分治法任何一個可以用計算機求解的

23、問題所需的計算時間都與其規(guī)模N有關(guān)。問題的規(guī)模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對于n個元素的排序問題，當(dāng)n=1時，不需任何計算；n=2時，只要作一次比較即可排好序；n=3時只要作3次比較即可，。而當(dāng)n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規(guī)模較大的問題，有時是相當(dāng)困難的。分治法的設(shè)計思想是，將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。如果原問題可分割成k個子問題(1 kn)，且這些子問題都可解，并可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了

24、方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經(jīng)常同時應(yīng)用在算法設(shè)計之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法。分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：(1)該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；(2)該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；(3)利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；(4)該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。上述的第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因為問題的計算復(fù)雜性一

25、般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；第二條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心法或動態(tài)規(guī)劃法。第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃法較好。分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：(1)分解：將原問題分解為若干個規(guī)模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；(2)解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；(

26、3)合并：將各個子問題的解合并為原問題的解。6.動態(tài)規(guī)劃法經(jīng)常會遇到復(fù)雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地采用把大問題分解成子問題，并綜合子問題的解導(dǎo)出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規(guī)模呈冪級數(shù)增加。為了節(jié)約重復(fù)求相同子問題的時間，引入一個數(shù)組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存于該數(shù)組中，這就是動態(tài)規(guī)劃法所采用的基本方法。以下先用實例說明動態(tài)規(guī)劃方法的使用?！締栴}】求兩字符序列的最長公共字符子序列問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地(不一定連續(xù))去掉若干個字符(可能一個也不去掉)后所形成的字符序列。令給定的字符序列X="

27、;x0，x1，xm-1"，序列Y="y0，y1，yk-1"是X的子序列，存在X的一個嚴(yán)格遞增下標(biāo)序列i0，i1，ik-1，使得對所有的j=0，1，k-1，有xij=yj。例如，X="ABCBDAB"，Y="BCDB"是X的一個子序列。考慮最長公共子序列問題如何分解成子問題，設(shè)A="a0，a1，am-1"，B="b0，b1，bm-1"，并Z="z0，z1，zk-1"為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質(zhì)：(1)如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1

28、，且"z0，z1，zk-2"是"a0，a1，am-2"和"b0，b1，bn-2"的一個最長公共子序列；(2)如果am-1！=bn-1，則若zk-1！=am-1，蘊涵"z0，z1，zk-1"是"a0，a1，am-2"和"b0，b1，bn-1"的一個最長公共子序列；(3)如果am-1！=bn-1，則若zk-1！=bn-1，蘊涵"z0，z1，zk-1"是"a0，a1，am-1"和"b0，b1，bn-2"的一個最長公共子序列

29、。這樣，在找A和B的公共子序列時，如有am-1=bn-1，則進一步解決一個子問題，找"a0，a1，am-2"和"b0，b1，bm-2"的一個最長公共子序列；如果am-1！=bn-1，則要解決兩個子問題，找出"a0，a1，am-2"和"b0，b1，bn-1"的一個最長公共子序列和找出"a0，a1，am-1"和"b0，b1，bn-2"的一個最長公共子序列，再取兩者中較長者作為A和B的最長公共子序列。代碼如下：#include stdio.h#include string.h#de

30、fine N100 char aN,bN,strN；int lcs_len(char*a,char*b,int cN)int m=strlen(a),n=strlen(b),i,j；for(i=0；i=m；i+)ci0=0；for(i=0；i=n；i+)c0i=0；for(i=1；i=m；i+)for(j=1；j=m；j+)if(ai-1=bj-1)cij=ci-1j-1+1；else if(ci-1j=cij-1)cij=ci-1j；else cij=cij-1；return cmn；char*buile_lcs(char s,char*a,char*b)int k,i=strlen(a),

31、j=strlen(b)；k=lcs_len(a,b,c)；sk='message'；while(k 0)if(cij=ci-1j)i-；else if(cij=cij-1)j-；elses-k=ai-1；i-；j-；return s；void main()printf("Enter two string(%d)！n",N)；scanf("%s%s",a,b)；printf("LCS=%sn",build_lcs(str,a,b)；7.迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計方法。設(shè)方程為f(x)=0，

32、用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價的形式x=g(x)，然后按以下步驟執(zhí)行：(1)選一個方程的近似根，賦給變量x0；(2)將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結(jié)果存于變量x0；(3)當(dāng)x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復(fù)步驟(2)的計算。若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認(rèn)為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：程序如下：【算法】迭代法求方程組的根for(i=0；i n；i+)xi=初始近似根；dofor(i=0；i n；i+)yi=xi；for(i=0；i n；i+)xi=gi(X)；for(delta=0.0,i=0；i n；i+

33、)if(fabs(yi-xi)delta)delta=fabs(yi-xi)；while(delta Epsilon)；for(i=0；i n；i+)printf("變量x%d的近似根是%f"，I，xi)；printf("n")；具體使用迭代法求根時應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：(1)如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對迭代的次數(shù)給予限制；(2)方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導(dǎo)致迭代失敗。8.窮舉搜索法窮舉搜索法是對可能是解的眾多候選解按某種順序進行逐一枚舉和檢驗，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解?！締栴}】將A、B、C、D、E、F這六個變量排成如圖所示的三