lec06點(diǎn)、線、面小結(jié)綜合舉例new

1、內(nèi) 容（教材P69-76）一、點(diǎn)線面小結(jié)二、綜合幾何問(wèn)題2基本概念基本概念 1 1. .點(diǎn)的投影規(guī)律及點(diǎn)的投影規(guī)律及點(diǎn)的點(diǎn)的相對(duì)位置相對(duì)位置2 2. .各種位置直線的投影特性及二直線的相對(duì)位置各種位置直線的投影特性及二直線的相對(duì)位置3.3.點(diǎn)、線、面的相互位置及面上取點(diǎn)線（一般、平行點(diǎn)、線、面的相互位置及面上取點(diǎn)線（一般、平行和最大斜度線）及其應(yīng)用和最大斜度線）及其應(yīng)用4.4.點(diǎn)、線、面的輔投影及其應(yīng)用點(diǎn)、線、面的輔投影及其應(yīng)用5.5.直角三角形法原理及其應(yīng)用直角三角形法原理及其應(yīng)用7.7.重影點(diǎn)的概念及其應(yīng)用重影點(diǎn)的概念及其應(yīng)用8.8.直角投影定理及其應(yīng)用直角投影定理及其應(yīng)用6.6.點(diǎn)繞投影

2、面垂直軸旋轉(zhuǎn)的規(guī)律及應(yīng)用點(diǎn)繞投影面垂直軸旋轉(zhuǎn)的規(guī)律及應(yīng)用2. 基本作圖（注：帶*號(hào)者為重點(diǎn)內(nèi)容）4*1，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作線/已知已知線（一解）（一解）5*2，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作線/已知已知面（解）解）63，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作面/已知已知線（解）解）7*4，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作面/已知已知面（一（一 解）解）85. 過(guò)線作面過(guò)線作面/已知面已知面（只有在已知線（只有在已知線/面時(shí)有一解）面時(shí)有一解）96 6. .過(guò)線作面過(guò)線作面/已知線已知線【一解，特殊（線一解，特殊（線/已知線）時(shí)已知線）時(shí) 解解】10* *7 7，過(guò)點(diǎn)作線，過(guò)點(diǎn)作線相交于已知線（一解）相交于已知線（一解）1.1.已知線為特位線已知線為特位線

3、2.2.已知線為一般位置已知線為一般位置（可用輔投影法求解）（可用輔投影法求解）k1gb1gg1a1x111* *8 8，過(guò)點(diǎn)作線，過(guò)點(diǎn)作線投影面垂直面（一解）投影面垂直面（一解）129.9.過(guò)點(diǎn)作面過(guò)點(diǎn)作面投影面垂直投影面垂直面（ 解）解）13*10，過(guò)點(diǎn)作面，過(guò)點(diǎn)作面已知已知線（一解）（一解）1411 11 過(guò)線作面過(guò)線作面投影面垂直投影面垂直面（ 一般一解，線一般一解，線垂直面時(shí)垂直面時(shí)解）解）15*12，直線與垂直面相交，求交點(diǎn)，直線與垂直面相交，求交點(diǎn)161313. .平面與平面（垂直面）相交，求交線平面與平面（垂直面）相交，求交線*14.平面上取點(diǎn)、線 1）兩點(diǎn)法； 2）一點(diǎn)一方向

4、法;注意：取正平線、水平線的作圖注意：取正平線、水平線的作圖* *1515. .求直線真長(zhǎng)及對(duì)投影面的夾角；求直線真長(zhǎng)及對(duì)投影面的夾角； 求平面形的真形及對(duì)投影面的夾角：求平面形的真形及對(duì)投影面的夾角： 1 1）直角三角形法；）直角三角形法； 2 2）輔投影法）輔投影法; ;3.軌跡作圖（常見(jiàn)軌跡）191 1，與一定點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡，與一定點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡以此點(diǎn)為中心的球以此點(diǎn)為中心的球2 2，與兩已知點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡，與兩已知點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡兩點(diǎn)連線的中垂面兩點(diǎn)連線的中垂面3 3，與不在一直線上的三點(diǎn)等距離，與不在一直線上的三點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡一直線一直線（該直線過(guò)三點(diǎn)所確定的圓的該直

5、線過(guò)三點(diǎn)所確定的圓的圓心且垂直于該圓面）。圓心且垂直于該圓面）。204 4. . 與不在同一平面上的四點(diǎn)等距離點(diǎn)的與不在同一平面上的四點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡軌跡一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)5 5. . 與一已知直線等距離點(diǎn)的軌跡與一已知直線等距離點(diǎn)的軌跡 一直圓柱面一直圓柱面6 6. . 與兩相交直線等距離點(diǎn)的軌跡與兩相交直線等距離點(diǎn)的軌跡一平面一平面( (等分角面，且垂直于兩相交等分角面，且垂直于兩相交直線確定的平面直線確定的平面）21 8 8. .與兩相交平面等距離的點(diǎn)的軌與兩相交平面等距離的點(diǎn)的軌跡跡 兩平面的等分角面兩平面的等分角面7 7. .過(guò)一直線上一定點(diǎn)而與此直線成過(guò)一直線上一定點(diǎn)而與此直線成一定角的

6、直線的軌跡一定角的直線的軌跡一正圓錐面一正圓錐面22二、綜合幾何問(wèn)題二、綜合幾何問(wèn)題常見(jiàn)綜合幾何問(wèn)題有常見(jiàn)綜合幾何問(wèn)題有距離、角度的度量和軌跡作圖距離、角度的度量和軌跡作圖等。等。 距離的度量距離的度量有一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)（兩點(diǎn)之距）、點(diǎn)線、有一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)（兩點(diǎn)之距）、點(diǎn)線、線線、兩平行平面之間的距離等。線線、兩平行平面之間的距離等。 角度的度量角度的度量有直線、平面對(duì)投影面的傾角，兩直線（相交有直線、平面對(duì)投影面的傾角，兩直線（相交或交錯(cuò)）的夾角，線面、面面夾角等?；蚪诲e(cuò)）的夾角，線面、面面夾角等。 軌跡作圖軌跡作圖可使許多幾何問(wèn)題迎刃而解。部分常見(jiàn)軌跡有：可使許多幾何問(wèn)題迎刃而解。部

7、分常見(jiàn)軌跡有： 與一定點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡是以此點(diǎn)為中心的球；與一定點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡是以此點(diǎn)為中心的球； 與兩已知點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡是兩點(diǎn)連線的中垂面；與兩已知點(diǎn)等距離點(diǎn)的軌跡是兩點(diǎn)連線的中垂面； 與一已知直線等距離點(diǎn)的軌跡是一直圓柱面；與一已知直線等距離點(diǎn)的軌跡是一直圓柱面； 過(guò)一定點(diǎn)而與投影面成一定傾角直線的軌跡是一正圓錐過(guò)一定點(diǎn)而與投影面成一定傾角直線的軌跡是一正圓錐面；面； 與兩相交平面等距離點(diǎn)的軌跡是兩平面的等分角面。與兩相交平面等距離點(diǎn)的軌跡是兩平面的等分角面。 綜合幾何問(wèn)題的作圖往往是由一些基本作圖綜合組成，因綜合幾何問(wèn)題的作圖往往是由一些基本作圖綜合組成，因此對(duì)已學(xué)過(guò)的基本作圖方法必

8、須很好理解和掌握。此對(duì)已學(xué)過(guò)的基本作圖方法必須很好理解和掌握。23 例例1 1：已知直線：已知直線ABAB、平面、平面Q Q和點(diǎn)和點(diǎn)M M的兩面投影，要求過(guò)的兩面投影，要求過(guò)點(diǎn)點(diǎn)M M作一個(gè)平面作一個(gè)平面P P（MNMNMKMK）垂直于平面）垂直于平面Q Q且平行于直線且平行于直線ABAB。1 1）分析）分析 根據(jù)題意，所求過(guò)根據(jù)題意，所求過(guò)已知點(diǎn)已知點(diǎn)M M的平面的平面P P需要需要滿足兩個(gè)條件。一是滿足兩個(gè)條件。一是垂直已知平面垂直已知平面Q Q，二，二是平行于直線是平行于直線ABAB。因。因此由面面垂直和線線此由面面垂直和線線平行的幾何條件作圖。平行的幾何條件作圖。24（1 1）過(guò)點(diǎn)）過(guò)

9、點(diǎn)M M作作MKMK垂直垂直于已知平面于已知平面Q Q；2 2）作圖）作圖（2 2）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)M M作直線作直線MNMN平行于已知直線平行于已知直線ABAB；（3 3）由相交二直線）由相交二直線MKMK和和MNMN組成的平面即組成的平面即所求平面所求平面P P。25 例例2 2：已知鉛垂面：已知鉛垂面P P外同側(cè)兩點(diǎn)外同側(cè)兩點(diǎn)D D、E E，求作，求作P P面上一點(diǎn)面上一點(diǎn)G G，使點(diǎn)使點(diǎn)G G到點(diǎn)到點(diǎn)D D、E E的距離之和（的距離之和（DG+EGDG+EG）為最短。）為最短。261 1）分析）分析 如圖所示，點(diǎn)如圖所示，點(diǎn)D D、E E在在P P面面同側(cè)，若同側(cè)，若P P面上所求點(diǎn)面上所求

10、點(diǎn)G G已作已作出，而欲使（出，而欲使（DG+EGDG+EG）為最）為最短，則只有點(diǎn)短，則只有點(diǎn)D D、E E、G G在一在一直線上時(shí)成立。但已知點(diǎn)直線上時(shí)成立。但已知點(diǎn)D D、E E在在P P面的同側(cè)，因此只有轉(zhuǎn)面的同側(cè)，因此只有轉(zhuǎn)換（換（DG+EGDG+EG）= =（FG+EGFG+EG）=EF=EF，這時(shí)點(diǎn)這時(shí)點(diǎn)D D、F F就應(yīng)是就應(yīng)是P P面的垂面的垂直線且有直線且有DC=FCDC=FC（點(diǎn)（點(diǎn)C C是是DFDF與與P P面的交點(diǎn)）。面的交點(diǎn)）。272 2）作圖）作圖（3 3）連接）連接EFEF，作出作出EFEF與與P P面的面的交點(diǎn)即所求點(diǎn)交點(diǎn)即所求點(diǎn)G G。（1 1）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)D

11、 D作作P P面的垂線，垂足面的垂線，垂足C C； （2 2）延長(zhǎng)）延長(zhǎng)DCDC到到F F，并取并取DC=FCDC=FC；28例例3 3 求作直線求作直線EFEF與與ABCABC的夾角的夾角。291 1）分析）分析直線（直線（EFEF）與直線在平面（）與直線在平面（P P）上的投影（）上的投影（efef）之間所夾的銳角（之間所夾的銳角（）稱為直線對(duì)平面的夾角，如）稱為直線對(duì)平面的夾角，如圖所示。圖所示。因此，求直線因此，求直線EFEF與與ABCABC的夾角的夾角，應(yīng)先由點(diǎn)，應(yīng)先由點(diǎn)E E（或（或F F）作）作ABCABC的垂線，并求出垂足，再求作直線的垂線，并求出垂足，再求作直線EFEF與與A

12、BCABC的交點(diǎn)，最后求作夾角的交點(diǎn)，最后求作夾角的真形。的真形。但若采用但若采用余角法余角法，則可省去求垂足和求直線與平，則可省去求垂足和求直線與平面的交點(diǎn)。使作圖大大簡(jiǎn)化。面的交點(diǎn)。使作圖大大簡(jiǎn)化。302 2）作圖（余角法）作圖（余角法）（1 1）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)E E作與作與ABCABC的垂線的垂線EGEG（點(diǎn)（點(diǎn)G G在垂線上任?。辉诖咕€上任?。唬? 2）作）作EFGEFG的真形；的真形；（3 3）EFGEFG中中GEFGEF為為9090，其余角，其余角即所求即所求。LEFLFGLEG31例例4 4 在在X X軸上找一點(diǎn)軸上找一點(diǎn)S S，使其到直線，使其到直線ABAB的距離相等。的距離相等。32 如圖所示，與如圖所示，與A A、B B兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡應(yīng)是該兩點(diǎn)連線的跡應(yīng)是該兩點(diǎn)連線的中垂面中垂面P P。此中垂面。此中垂面P P與與X X軸的交點(diǎn)即為所軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)求點(diǎn)S S。1 1）分析）分析332 2）作圖）作圖（1 1）作過(guò)）作過(guò)ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)且垂直于且垂直于ABAB的正平的正平線、水平線組成各線、水平線組成各中垂面中垂面P P；（2 2）作投影變換，）作投影變換，將正平線、水平線組將正平線、水平線組成的中垂面變換成投