自主招生第1講-集合

1、精品文檔第1講集合“交、并、補(bǔ)”是集合的三種運(yùn)算。它們的含義可以用“且、或、非”來理解。這對于運(yùn)用集合語言描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象，或解讀運(yùn)用集合語言描述的問題都有幫助。集合及其運(yùn)算還有如下一些常用的性質(zhì)和公式：若ABB，則BA；若ABB，則AB；ABBA;(AB)CA(BC)ABBA;(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC);；I(A B) I A IB;I(AB) I AIB.容斥原理 在需要對某一個(gè)有限集合的元素進(jìn)行記數(shù)時(shí)，為了便于計(jì)算，常常通過計(jì)算它的若干個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)來實(shí)現(xiàn)。實(shí)質(zhì)是將整體計(jì)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為局部計(jì)數(shù)問題。我們將此類計(jì)數(shù)公式通稱為容斥原理。“容”意指這

2、些子集的并集是原集合，“斥”意指這些子集中兩兩交集不是空集時(shí)，需要將重復(fù)的元素個(gè)數(shù)排斥掉。通常以 | X |表示有限集合 X 中元素的個(gè)數(shù)，參照Venn 圖可以得到如下計(jì)數(shù)公式:|AB| |A|B|AB|CABAB|A B C| |A| |B| |C|A B| |B C| |C A| AB C |例題精講例 1.已知數(shù)集 A a2, (a 1) 2 , a23a3 ， B ab , 1, ab 5 。若 AB ，求實(shí)數(shù) a, b 的值。分析兩個(gè)集合相等是指這兩個(gè)集合的元素完全相同。由集合中元素的互異性及無序性，集合 A 中三個(gè)元素有且僅有一個(gè)為1。椐此可求出a ，進(jìn)而求出 b 。解由AB，得1

3、A。- 1 -歡迎下載精品文檔a21a1 ;( a1) 21a0 或 a2 ;a23a31a1 或 a2 .由集合 A 中三個(gè)元素有且僅有一個(gè)為1，得 a0 , A1, 2 , 3 ， B1, b , 5b 。由 AB ，得 b2 或 b3。因此，所求實(shí)數(shù)為a0 , b2 或 a0 , b3 。例 2.集合M u | u12m8n4l ,m, n , lZ N u | u20 p16q12r ,p , q , rZ 的關(guān)系是（）AMNBMNNMCMNDMN分析 1通過化簡，認(rèn)識這兩個(gè)集合中元素的特征，進(jìn)而作出判斷。解 112m8n4l4(3m2nl ) ，而 3m2nl 可取任意整數(shù)，得集合M

4、 表示 4 的倍數(shù) 的 集 合 ， 即 M u | u4k , kZ ， 20 p16q12r4(5 p4q3r ) ， 設(shè)pqk , r0 ，得 N u | u4k , kZ 。所以， MN ，應(yīng)選 A 。分析2本題供選擇的結(jié)論中，均為兩集合之間的包含關(guān)系。證明集合之間包含關(guān)系的一般方法是“若aAaB ，則 AB ”；證明集合相等關(guān)系的一般方法是“若解 2.若 uMu12m8n4l 。設(shè) mr , n2q , lAB ,則AB”。B A ,5 p ，則u20 p16q12rNMN。若uNu20 p16q12r。設(shè)pq2nl , rm ，則 u12m8n4lMNM 。MN由MN。所以應(yīng)選 A。

5、NM例 3.不大于 1000 的自然數(shù)中，既不是3 的倍數(shù)，也不是5 的倍數(shù)共有多少個(gè)？分析若不大于1000 的自然數(shù)集合為全集I ，其中 3 的倍數(shù)的集合為A ， 5 的倍數(shù)的集合為 B 。則要求的是| I(AB)|。解 設(shè)不大于1000 的自然數(shù)集合為全集I ，其中 3 的倍數(shù)的集合為A ， 5 的倍數(shù)的集合為B ，則| A| 1000 333, | B | 1000 200 , | A B |1000 66 。3515。- 2 -歡迎下載精品文檔因此，|AB|A|B|AB|33320066467。所以，不大于1000的自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)共有| I (AB)|1000

6、| AB |533（個(gè)）。例 4.設(shè) a, bR ， A( x , y) | xn , yanbnZ ，B( x , y) | xm, y3m215mZ ， C( x , y) | x2y2144 ，是平面 XOY 內(nèi)的點(diǎn)集，討論是否存在a, b 使得（1）AB；（ 2） (a , b)C 同時(shí)成立。（ 1986 年全國高考題）分析首先應(yīng)對題中的集合語言進(jìn)行解讀。AB，意為由集合 A, B 分別表示的兩個(gè)方程組成的方程組有整數(shù)解；(a , b) C，則給出了 a , b 的允許值范圍。解集 合A, B可分別化簡為A( x , y) | y ax b x Z ，B( x , y) | y 3x2

7、15 xZ 。yaxb3x2ax15 b0 ，y3x215a212(15b)144b218012b(b 6)2僅當(dāng) b6 且 a63 (a2b2144)時(shí)，0 ，方程組有解。此時(shí)，原方程組的解為x3 ,y24 .由于，原方程組的解不是整數(shù)解，所以滿足條件的實(shí)數(shù)a , b 不存在。例 5.一次會議有2005 位數(shù)學(xué)家參加，每人至少有1337 位合作者，求證：可以找到4 位數(shù)學(xué)家，他們中每兩人都合作過。分析按題意，可以構(gòu)造一種選法，找出符合條件的四位數(shù)學(xué)家。解由題意， 可任選兩位合作過的數(shù)學(xué)家a, b ，設(shè)與 a 合作過的數(shù)學(xué)家的集合為A ，與 b 合作過的數(shù)學(xué)家的集合為B。則 | A| 1337

8、，| B | 1337 。又 | AB |2005。于是，|AB|A|B|AB|133713372005669。- 3 -歡迎下載精品文檔因此，在集合 AB 中，有數(shù)學(xué)家且不是a, b 。從中選出數(shù)學(xué)家 c ，并設(shè)與 c 合作過的數(shù)學(xué)家的集合為C。則 |(AB)C |2005， | C | 1337 。于是，|A B C| |A B| |C| |(A B) C|669133720051因此，在集合ABC 中，有數(shù)學(xué)家且不是a , b , c 。又可從中選出數(shù)學(xué)家 d 。則數(shù)學(xué)家a , b , c , d ，他們中每兩人都合作過。即原命題得證。子集例 6.求滿足 a,bP a, b,c, d,

9、e 的集合 P 的個(gè)數(shù)。分析本題要求的是集合 a,b, c, d, e 中，必定含有元素 a,b 的子集的個(gè)數(shù)，只要求出集合 c, d, e的子集數(shù)。解由集合 c, d, e 的子集數(shù)為 238，得所求集合 P 的個(gè)數(shù)為 8。例 7.已知集合 A2,3,4,5,6,7 ，對 XA，定義 S( X ) 為 X 中所有元素之和。 求全體 S( X ) 的總和 S。分析要求出全體 S( X ) 的總和 S ，只要求出每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)。解由集合元素的互異性，得集合A 中某個(gè)元素在總合S 中出現(xiàn)的次數(shù)，就是集合A 中含有該元素的子集數(shù)。所以，全體 S( X ) 的總和 S(234567)258640。

10、例 8. 在某次競選中，各個(gè)政黨共作出p 種不同的諾言 ( p0 ) ，任何兩個(gè)政黨都至少有一種公共諾言，但沒有兩黨作出完全相同的諾言。試證明，政黨的數(shù)目不多于2p1個(gè)。（1972 年加拿大數(shù)學(xué)競賽）分析 這是一道有實(shí)際背景的問題。首先應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型刻畫這一問題。由題意，將“諾言”作為元素，運(yùn)用集合進(jìn)行分析和研究。證明將 p 種不同的諾言構(gòu)成集合A ，則每一個(gè)政黨所作的諾言構(gòu)成的集合是集合A 的子集。因而政黨數(shù)應(yīng)不大于集合A 的子集數(shù)。又任何兩個(gè)政黨都至少有一種公共諾言，所以任何兩個(gè)政黨所對應(yīng)的子集不可能是一對互補(bǔ)的子集。故政黨數(shù)2 p2 p 1。2例 9. 證明：任意一個(gè)有限集的全部子

11、集可以這樣排列順序，使得任何兩個(gè)相鄰的子集僅相差一個(gè)元素。分析 本題可采用構(gòu)造方法進(jìn)行證明，即對任意一個(gè)有限集的全部子集給出一個(gè)排列方法，滿足題設(shè)的要求。為此，可從特殊情況入手進(jìn)行探索。- 4 -歡迎下載精品文檔若有限集元素的個(gè)數(shù) n1 時(shí)，子集數(shù)為2，可排列為, a ；1當(dāng) n2時(shí)，子集數(shù)為22，可排列為 , a, a, a2, a ；112當(dāng) n3時(shí)，子集數(shù)為23，可排列為, a1, a1 ,a2, a2, a2 , a3, a1, a2 , a3, a1, a3, a3;每增加1 個(gè)元素，子集數(shù)增加1 倍。將原來已排列好的所有子集分別增加一個(gè)新元素，得到又一列排列好的子集。再將排列好的子

12、集倒序后，接排在原來已排好的子集列后面，得到符合條件的新的子集列。證明設(shè)有限集的元素個(gè)數(shù)為 n。當(dāng)n1時(shí)，子集數(shù)為，全部子集可排列為:, a ；21當(dāng) n2時(shí)，子集數(shù)為22，全部子集可排列為: , a , a, a, a ；1122當(dāng) n3時(shí)，子集數(shù)為23，全部子集可排列為:, a1, a1 ,a2, a2, a2 , a3, a1, a2 , a3, a1, a3, a3;若 nk 時(shí)，子集數(shù)為2k，全部子集可排列為:A1, A2 , , A2 k ,且任何兩個(gè)相鄰的子集僅相差一個(gè)元素。當(dāng) nk 1 即增加一個(gè)元素ak1 時(shí)，按下面的方法可得由k1個(gè)元素組成的有限集的全部子集的一個(gè)排列，A1

13、, A2 , , A2k , ak 1A2k , ak 1A2k 1, ak 1A1 。因?yàn)?A1, A2, A2k 共 2k 個(gè) 子 集 中 任 何 兩 個(gè) 相 鄰 的 子 集 僅 相 差 一 個(gè) 元 素 ， 所 以 ，ak 1A2 k , ak 1A2 k1 , ak 1A1 共2k個(gè)子集中任何兩個(gè)相鄰的子集也僅相差一個(gè)元素。又A2 k 與 ak1A2 k 也相差一個(gè)元素，因此，上述由k1個(gè)元素組成的有限集的全部子集的一個(gè)排列是符合條件的排列。由此，我們得到對任意一個(gè)有限集的全部子集的符合條件的排列方法，即原命題得證。例 10. 對 1,2, n 及其每一個(gè)非空子集， 定義一個(gè)唯一確定的

14、“交替和” ：對每一個(gè)子集按照遞減的次序重新排列，然后從最大的數(shù)開始交替的減或加后繼的數(shù)（例如，1, 2, 4, 6, 9 的“交替和”是96 4 21 6 ; 5 的“交替和”是 5）。對 n7 ，求所有這些“交替和”的總和。分析求所有這些“交替和”的總和的關(guān)鍵，在于每一個(gè)數(shù)字在“交替和”中出現(xiàn)的次數(shù)及符號。解對集合 1,2, n 的全部子集分為兩類：含元素n的子集共有 2n 1 個(gè)，不含元素 n的子集也有。- 5 -歡迎下載精品文檔2n 1 個(gè)。將含元素 n的子集 n,a , a2, a 與不含元素 n的子集 a ,a2, a 相對應(yīng)，得這兩個(gè)子集的1k1k“交替和”恒為 n。所以，所有這

15、些“交替和”的總和為2n 1 n 。當(dāng) n7 時(shí)，“交替和”的總和為 7 26448 。例 11. 已知集合 S 中有 10 個(gè)元素，每個(gè)元素都是兩位數(shù)。求證：一定可以從S 中取出兩個(gè)無公共元素的子集，使兩個(gè)子集的元素和相等。分析本題要求的是從集合S 的子集中，找到兩個(gè)元素和相等的子集。這兩個(gè)子集即使有公共元素，只要同時(shí)除去公共元素就可以滿足題意。證明由集合S中每個(gè)元素都是兩位數(shù)，故它們的總和不超過1000。S共有21024個(gè)子而集合10集。由抽屜原理，得集合S 的子集中至少有兩個(gè)子集的和相等。若這兩個(gè)子集有公共元素，只要同時(shí)從這兩個(gè)子集中同時(shí)除去公共元素，得到兩個(gè)無公共元素的子集，且使兩個(gè)子

16、集的元素和相等。即命題得證。課后練習(xí)：1若 A x | 0x2ax54 是單元素集合，則實(shí)數(shù)a 的值為（）A23B2C3D不存在這樣的實(shí)數(shù)2某班期末對數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的總評成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：數(shù)學(xué)有21 人優(yōu)秀，物理有 19 人優(yōu)秀，化學(xué)有 20人優(yōu)秀，數(shù)學(xué)和物理都優(yōu)秀的有9 人，物理和化學(xué)都優(yōu)秀的有6 個(gè)，數(shù)學(xué)和化學(xué)都優(yōu)秀的有8 個(gè)。若該班有7 人數(shù)學(xué)、 物理、化學(xué)三科中沒有一科優(yōu)秀，試確定該班總?cè)藬?shù)S 的范圍及僅數(shù)學(xué)一科優(yōu)秀的人數(shù) x的范圍。3.設(shè)f ( x) x2bx c ( b , cR )，A x | x f ( x) , xR，B x | xf ( f ( x) ,xR 。若集合A

17、是單元素集，則AB 。4設(shè) aR, A x R | | xa |1,B xR | | x1|a2 。若 A 不是 B 的真子集，則 a的取值范圍是()A 1 a 1B a 2 或 a 1C 2 a 1D 2 a 05已知A(,y) |y ax1 ,B(,) |y x2 ，又A B，求實(shí)數(shù)a的取值范xx y圍。6 設(shè) A x | 2 x a , B y | y2x 3, x A ，。- 6 -歡迎下載精品文檔C z | zx2 , xA 且CB ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。7設(shè)M a | ax2y2 , x, yZ ，求證：（ 1）一切奇數(shù)屬于M ；（ 2）形如4k2 (k Z )的數(shù)不屬于 M

18、；（ 3）M 中任意兩個(gè)數(shù)的積仍屬于 M 。8 設(shè)A n |100n600 , nN ，則集合 A中被7 除余2 且不能被 57整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為_。（ 1994 年江蘇省數(shù)學(xué)競賽）9 已 知 對 任 意 實(shí) 數(shù) x ， 函 數(shù) f (x) 都 有 定 義 ， 且 f 2 ( x) 2x2 f ( x)，如果集合2A a | f (a) a2 不是空集，試證明A 是無限集。（ 1994年江蘇省數(shù)學(xué)競賽）x2ax541 集合 A 表示不等式組的解集。 當(dāng)兩個(gè)不等式的解集有共同的邊界點(diǎn)，或者兩個(gè)x2ax50不等式的解集中，有一個(gè)是單元素集時(shí)，不等式組解集有可能為單元素集。由此，不等式x2ax54可化

19、簡為 x2ax10，當(dāng) a2 時(shí) ，此不等式的解集為單元素集。故應(yīng)選 B。2. 設(shè)A 該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生B 該班物理成績優(yōu)秀的學(xué)生 C 該班化學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生 則| A |21,| B |19 ,| C |20 ,| AB |9 ,| B C | 6 , | C A | 8 , | A B C | k .|A B C| |A| |B| |C| |A B| |B C| |C A| ABC |211920968 k37k .由 ABC 是 AB , BC , CA 的子集，得kmin 9 , 6 , 8 0k6。因此， 3707S376744S50。- 7 -歡迎下載精品文檔x | A I B

20、 I C | | A I (B C) | ABC | BC |A B C| (|B| |C| |B C|)37k(19206)k4因此， 4x10。所以，該班總?cè)藬?shù)S 的范圍是44S50 ；僅數(shù)學(xué)一科優(yōu)秀的人數(shù)x 的范圍是4x10 。3. 若集合 A 是單元素集，設(shè)A 即 f (x)x(x)2，則f ( x)( x) 2x，f ( f ( x)x( x) 2x2( x) 2xx( x)2( x1)21(x1)210f ( f ( x)x0x.BA .4 A x R | | x a | 1 a 1, a 1 ，B x R | | x 1 | a2 1 a2 , 1 a2 .若 A是 B 的真子集，則a 1 1 a2,a 1 1 a2,或a 1 1 a2.a 1 1 a2.解得 a2 或 a1。所以，若 A 不是 B的真子集，則2a 1。故應(yīng)選 C 。5. 由題意，方程組yax 1yx2無解。由方程組yax1x2ax10，得yx2a2402a2.。- 8 -歡迎下載精品文檔所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是2a2。6. B y | y 2x 3, x A 1, 2a3 ， a2 , 4 ,2 a0 ,C z | z x2 , x A0, 4,0 a 2,0 , a2 ,a2.當(dāng)2a 0時(shí)， 2a 3 4a1 .1a0 ;2