數(shù)學分析課本(華師大三版)-習題及答案第六章

1、第六章 微分中值定理及其應用一、填空題1假設a 0, b 0均為常數(shù)，貝U3 - XXb2XamoH X1 acosx bsinx 12.假設 iim，貝V a , b 。x 0x23曲線y ex在x 0點處的曲率半徑 R 。4x 44設y 2，那么曲線在拐點處的切線方程為 。x1(1 x)' e5. Iim 。x 0 x6. 設f(x) x(x2 1)(x 4)，貝y f (x) 0有個根，它們分別位于 區(qū)間；7. 函數(shù)f(x) xlnx在1,2上滿足拉格朗日定理條件的；8. 函數(shù)f (x) x3與g(x) 1 x2在區(qū)間0,2上滿足柯西定理條件的；9函數(shù)y sinx在0,2上滿足拉

2、格朗日中值定理條件的；xe10函數(shù)f(x) 2的單調(diào)減區(qū)間是 ；x11. 函數(shù)y x3 3x的極大值點是 ，極大值是 。12. 設f (x) xex，那么函數(shù)f(n)(x)在x 處取得極小值 。13. f (x) x3 ax2 bx，在x 1處取得極小值2，那么a , b 。14曲線y k(x2 3)2在拐點處的法線通過原點，那么k 。15 設 f (x) n (1 x)n(n 1,2) , Mn 是 f (x)在 0,1 上的最大值，貝ylim M n 。n16. 設f (x)在x0可導，那么f(X。)0是f(x)在點x0處取得極值的 條件；217. 函數(shù)f(x) alnx bx x在x 1

3、及x 2取得極值，那么a ,b ；3-18. 函數(shù)f(x) x - x3的極小值是 ;2In x19. 函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間為 ;x20. 函數(shù)f(x) x 2cosx在0, 上的最大值為 ，最小值為 ；221. 設點(1,2)是曲線y (x a)3 b的拐點，那么a , b ;x22. 曲線ye 的下凹區(qū)間為 ，曲線的拐點為 ;23. 曲線y 3x2 x3的上凹區(qū)間為 ;24. 曲線y ln(1 x2)的拐點為 ;25. 曲線y In x在點處曲率半徑最小。126. 曲線y xln(e )的漸近線為 。x51曲線y (x 5)32的特點是()。x 5 (5,2)，但無極值點C. x 5

4、是極值點，(5,2)是拐點D.既無極值點，又無拐點2奇函數(shù)f (x)在閉區(qū)間1,1上可導，且f'(x) M，那么()oA. f(x) M B. f(x) M C. f (x) M D. f(x) M2 23.方程x y y 1(y0)確定y為x的函數(shù)，貝U ()。a. y(x)有極小值，但無極大值b. y(x)有極大值，但無極小值c. y(x)4 假設 f (x)在區(qū)間a,)上二階可導，且 f(x) A 0 , f'(a)0, f (x)0(x a)，那么方程f (x)0在a, 內(nèi)()5f(X)在x 0處某鄰域內(nèi)連續(xù)，moH Xf(x)cosx2，那么在x0 處 f (x)()

5、of'(0)26設函數(shù)f(x)在區(qū)間1, 內(nèi)二階可導，且滿足條件f (1) f (1)0 , x 1時f (x)f (x)0，那么 g(x)在 1, 內(nèi)()xA .必存在一點B. 必存在一點C. 單調(diào)減少，使 f( )0，使 f ( )0D.單調(diào)增加7設f (x)有二階連續(xù)導數(shù)，且on/moH X貝1A . f(0)是f(x)的極大值B. f (0)是f (x)的極小值c. 0, f (0)是曲線y f (x)的拐點d. f (0)不是f (x)的極值，0, f (0)也不是曲線y f (x)的拐點&假設f(x)和g(x)在x x0處都取得極小值，那么函數(shù) F(x) f (x)

6、 g(x)在XX0處( )A .必取得極小值B.必取得極大值 9.設y y(x)由方程x3 ax2y2 by3 0確定，且y(1) 1, x 1是駐點，那么()3531A. a b 3 B. a , bC. a,bD. a 2,b3222210曲線y (x 1)2(x 3)2的拐點的個數(shù)為()11. f (x),g(x)是大于 0 的可導函數(shù)，且 f'(x)g(x) f (x)g'(x)0,那么當 a x b 時有()A. f(x)g(b) f (b)g(x) B. f (x)g(a) f (a)g(x)C. f(x)g(x) f(b)g(b) D. f(x)g(x) f(a)

7、g(a)丄2112曲線y ex2 arcta的漸近線有()x 1 x 213. f (x) x3 2x q的0點的個數(shù)為()q有關(guān)114.曲線t那么曲線(1t 1sin x15. 設yf(x)為y y e 0的解，且f (刈)0，那么f (x)有()A . X0的某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加B . X0的某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少C. X0處取得極小值D . X0處取得極大值16. 羅爾定理中的三個條件；f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且f (a) f (b)是f (x)在(a, b)內(nèi)至少存在一點 ，使得f ( )0成立的().(A)必要條件(B)充分條件(C)充要條件(D)既非充分也非必要17

8、.以下函數(shù)在1,e上滿足拉格朗日中值定理條件的是()., 1(A) ln(ln x);(B) ln x ;(C);(D) ln(2 x);In x18假設f (X)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且X1下式成立().(A)f(X2)f(xj(X1X2)f ()(B)f(X1)f(X2)(X1X2)f ()(C)f(X1)f(X2)(X2X1)f ()(D)f(X2)f (X1)(X2xjf ()19.設y f (x)是(a,b)內(nèi)的可導函數(shù)，x,x(A) y f (x) xX2是(a,b)內(nèi)任意兩點，那么至少存在一點使得(a,b);X1X2X1X2X1X2x是(a,b)內(nèi)的任意兩點，那么().(B)

9、在x, xx之間恰有一個，使得 y f( ) x(C) 在x, x x之間至少存在一點，使得yf ( ) x(D) 對于x與x x之間的任一點，均有 yf ( ) x20.假設f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且對(a,b)內(nèi)任意兩點為恥恒有 f(X2)f(xj(x2 xi)2,那么必有().(A)f (x)0(B) f (x)x(C)f(x)x(D) f(x)c(常數(shù))21函數(shù) f(x) (x 1)(x2)(x3)(x 4),那么方程 f (x)0有().(A) 分別位于區(qū)間(1,2), (2,3),(3,4)內(nèi)的三個根；(B) 四個根，它們分別為Xi1,X22x3,X44;(C) 四個根

10、，分別位于(0,1), (1,2),(2,3),(3,4);(D) 分別位于區(qū)間(1,2),(1,3),(1,4)內(nèi)的三個根；22假設f (x)為可導函數(shù)，為開區(qū)間(a,b)內(nèi)一定點，而且有f( ) 0, (x ) f (x) 0 , 那么在閉區(qū)間a,b上必總有().(A)f(x) 0(B) f(x) 0(C)f(x) 0(D) f (x)0223.假設a 3b0，那么方程f (x)x32 axbx c 0().(A)無實根(B)有唯一實根(C)有三個實根(D)有重實根24. 假設 f (x)在區(qū)間a,上二次可微，且 f (a) A 0, f (a)0, f (a) 0 (x a),那么方程f

11、 (x) 0在a,上().(A)沒有實根(B)有重實根(C)有無窮多實根 (D)有且僅有一個實根25. 設lim f (x)為未定型，那么lim f (x)存在是lim f (x)也存在的().x 冷 g(x)x x0 g (x)x x0 g(x)(A)必要條件 (B)充分條件 (C)充要條件(D)既非充分也非必要條件26.指出曲線y 3的漸近線().x(A)沒有水平漸近線，也沒有斜漸近線；(B)x .3為垂直漸近線，無水平漸近線;(C)既有垂直漸近線，又有水平漸近線；(D)只有水平漸近線.27曲線yx2x 1arctan的漸近線有().(x 1)(x 2)(A)(B)2條;(C)(D)28.

12、函數(shù)f(x)acosx1-cos2x在 x2取得極值，那么a3。(A)29.1(B) 2以下曲線集郵水平漸近線，又有垂直漸近線的是(C)(D)。(A)f (X)3xsin 2x;x(B)f (x)(C)f (x) ln(3旦)；x(D)f(x)xe30.(A)(B) e 1(C)(D)二、計算題1試討論以下函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在一點E使得( )=0:1r 、xsin 一,01f(x)=x0, x 0;2f(x)=|x|,1< xw|.2.求以下不定式極根：xe 1(1)lim0-x 0 sin x1-2s inx1叫一x - cosx6 lim 1n(1 x)-xx 0 cosx -1

13、lim衛(wèi)亠x 0 x - sinx1lim x1 二=x 1 lim0(-(9)lim (tgx)sinxx 0(8)01lim (1x(10)lim sin xln x ；x 0(11) l叫丄x 0 x.2 );sin x(12)1 計.tgx-6 limx dsecx 523.xsin -2 lim ( nx2arctgx)ln x ；求以下不定式極限：ln cos(x 1) (1)limx 11sin xlim xx 0limx(tgx)tg2xx4lim%1 x)(1 x)x 01 lJm/ctgx -); x 0x1(1 x)x elimx 04.5.(8)lim ( arctgx

14、)lnxx 2求以下函數(shù)在提定點處帶拉格朗日型余項的泰勒公式(1) f(x)=x 3+4x2+5,在 x=1 處;1(2) f(x)=,在 x=0 處；1 x(3) f(x)=cosx的馬克林公式.求以下函數(shù)帶皮亞諾型余項的馬克勞林公式：1f(x)=arctgx 到含 x5 的項；2f(x)=tgx 到含 x5 的項.求以下極限：(1) lim e sin x 3x(1 x); (2) lim xx2ln(1 丄)；x 0vxxx31 1(3)Hm0-(- ctgx).X X7估計以下近似公式的絕對誤差(1) si nx x、12x ,當 x 0,1.88計算：(1)數(shù)e準確到 (2)lg11

15、 準確到 10-5.1.確定以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1) f(x)=3x-x 3;10一9；(2) f(x)=2x 2-lnx; f(x)= 2x x2x2 1 f(x)=-x9.求以下函數(shù)的極值.(1) f(x)=2x 3-x4;2x f(x)= 1x2>(3)f(x)=直x f(x)=arctgx- fln(1+x2).10. 求以下函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值(1) y=x 5-5x4+5x3+1,-1,2;(2) y=2tgx-tg 2x, 0,;2(3) y= 一 X Inx, (0,+ oo ).11. 把長為1的線段截為兩段，問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積為

16、最大？12. 一個無蓋的圓柱形容器，當給定體積為 V時，要使容器的外表積為最小，問底的半徑與容器的高的比例應該怎樣？13.設用某儀器進行測量時，讀得n次實驗數(shù)據(jù)為a1,a2,an.問以怎樣的數(shù)值x表達所要測量的真值，才能使它與這 n個數(shù)之差的平方和為最小?14.求以下函數(shù)的極值:(1) f(x)=|x(x 2-1)|;x(x21)23砂4x21; f(X)=(X-1) 2(X+1)315. 設f(x)=alnx+bx 2+x在x1=1,x2=2處都取得極值；試定出a與b的值并問這時f在X1與X2是取得極大值還是極小值？16. 求正數(shù)a,使它與其倒數(shù)之和為最小.17. 要把貨物從運河邊上 A城運

17、往與運河相距為 BC=a千米的B城(見圖7-1).輪船運費的單 價是a元/千米.火車運費的單價是B元/千米(3 > a ),試求運河邊上的一點 M,修建鐵路 MB, 使總運費最省.18. 確定以下函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點：1 y=2x 3-3x2-36x+25; y=x+ ;x2 1 2(3) y=x +; y=l n(x +1);x19. 問a和b為何值時,點(1,3)為曲線y=ax3+bx3的拐點 四、證明題1. 證明：1方程x3 3x+c=0這里C為常數(shù)在區(qū)間0，1內(nèi)不可能有兩個不同的實根；2方程xn+px+q=o(n為自然數(shù)，p, q為實數(shù))當n為偶數(shù)時至多有兩個實根；當 n 為奇數(shù)

18、時至多有三個實根。2. 證明：1假設函數(shù) f 在a, b上可導，且 f (x) > m,那么 f(b) >f(a)+m(b-a);(2)假設函數(shù) f 在a,b上可導，且 |f (x)| w M，那么 |f(b)-f(a)| < M(b-a);3對任意實數(shù) X1,X2都有 |sinx1-sinX2|w |X1-X2|.3. 應用拉格朗日中值定理證明以下不等式：rb a b b a "亠11n，其中 0<a<b;b a a2h <arctgh<h，其中 h>0.1 h24. 設函數(shù)f在a,b上可導。證明：存在E a,b，使得2E f(b)-

19、f(a)=(b 2-a2) f ().5. 設函數(shù)在點a具有連續(xù)的二階導數(shù)。證明：limf(a h) f(a h) 2f(a)2 f (a) h26. 試討論函數(shù)f(x)=x 2,g(x)=x 3在閉區(qū)間-1 , 1上能否應用柯西中值定理得到相應的結(jié)論，為什么？7. 設0< a <3 < 一，試證明存在(a,b),使得2sin a sin，八ctg 0 .cos cosa8. 設h>0，函數(shù)f在a-h,a+h上可導。證明：1血 h)f(ah) f(a h)fg h) ,0 0, 1；h2一h)f(a)Ka一f'(a h)f'(a h) ,0 0,1.h9

20、. 以S(x)記由a,f(a)，(b,f(b),(x,f(x)三點組成的三角形面積，試對S(x)應用羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理。10. 假設函數(shù)f, g和h在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導，證明存在實數(shù)三(a,b),使得f(a) f(b) f()g(a) h(a)g(b) h(b) =0.g'(E) h'(E)再從這個結(jié)果導出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11. 設f為a,b上二階可導函數(shù)，且f(a)=f(b)=0,并存在一點c a,b使得f(c)>0.證明至少存在一點三 (a,b),使得f ( E )<0.12. 證明達布定理：假設f在a,b上可導，且f豐f

21、 (b),k為介于f與f (b)之間的任一實數(shù)，那么至少存在一點(a,b),使得f (E )=k.13. 設函數(shù)f在a,b內(nèi)可導，且f /單調(diào)。證明f/在a,b內(nèi)連續(xù)。14. 證明：設f為n階可導函數(shù)，假設方程fx=0有n+1個相異實根，那么方程f叫x)=0至少有一個實根。15. 設p(x)為多項式，a為 p(x)=0的r重實根。證明 ：a必定是p/ (x)=0的r-1重實根。16. 證明：1設f在a,+g上可導，假設lim f(x)和lim f (x)都存在，那么lim f (x) =o；xxx設f在(a,+g)上n階可導.假設lim f(x)和lim f k(x)都存在，那么xxklim

22、f (x) =0,(k=1,2,，n)。x17. 設函數(shù)f在點a的某個鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導數(shù)，試應用羅比塔法那么證明mo Hhh)；Vh)-2f(a)f(a) h18. 對函數(shù)f在區(qū)間0,x上應用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(0)=f/ ( 0 x)x, (0,1).試證對以下函數(shù)都有肌(1) f(x)=In(1+x);(2) f(x)=e x19.設f(0)=0,f /在原點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且 f / (0)=0.證明:lim xf(x) 1.20.證明定理中l(wèi)im f(x) 0, lim g(x)0情形時的羅比塔法那么假設xx(i) lim fx 0, lim (x)0xx(ii)

23、存在Mo>0,使得f與g在(M0,+ g)內(nèi)可導，且g/ (x)豐0;(iii) lim f-(x)lim f (x) A (A 為實數(shù)，也可為±g或g ),那么x g'(x) x g'(x)limxf(x) g(x)limf(x)x g'(x)3 x221.證明：f(x) x e為有界函數(shù)22.應用函數(shù)的單調(diào)性證明以下不等式n(0, n；3x tgx>x- ,x32xn、(2)si nx x, x(0,二)；n222(3) xn |n(1 x)xx,x 022(1 x)23.設f(x)x 0,x 04 . 2 1 x sin , x0,(1) 證

24、明:x=0是函數(shù)f的極小值點；(2) 說明在f的極小值點x=0處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件24. 證明：設 f(x)在(a,b)內(nèi)可導,f(x)在 x=b 連續(xù)，那么當 f (x) >O(a<x<b)時，對一切 x (a,b)有 f(x) w f(b),當 f (x) w 0(a<x<b)時對一切 x (a,b)有 f(x) > f(b).25. 證明：假設函數(shù)f在點xo處有f +(xo)<O(>O),f _(xo)>O(<O),那么xo為f的極大(小)值點.26. 證明：假設函數(shù)f,g在區(qū)間a,b上可導，且f (x)&

25、gt; g (x), f(a)=g(a),那么在a,b內(nèi)有f(x)>g(x).tgxxn27.證明：，x 0,-xsi nx228. 證明：(1) 假設f為凸函數(shù)，入為非負實數(shù) 那么入f為凸函數(shù)；(2) 假設f、g均為凸函數(shù)，貝Uf+g為凸函數(shù)；假設f為區(qū)間I上凸函數(shù),g為J f(I)上凸的遞增函數(shù)，那么gof為I上凸函數(shù).29. 設f為區(qū)間I上嚴格凸函數(shù) 證明假設Xo I為f的極小值點，同 xo為f在I上唯一的極小 值點30. 應用凸函數(shù)概念證明如下不等式：M 1(1) 對任意實數(shù) a,b,有 e 2 (ea eb);2(2) 對任何非負實數(shù)a,b,有2arctg - b > a

26、rctga+arctgb.31. 證明：假設均為區(qū)間I上凸函數(shù)，那么F(x)=maxf(x),g(x)也是I上凸函數(shù).32. 證明:(1)f為區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是對I上任意三點X1<X2<X3,恒有1 X11 x21 X3f(xj f(x 2) f(X 3)(2)f為嚴格凸函數(shù)的充要條件是對任意33.應用詹禁不等式證明：(1) 設 ai>0(i=1,2,n)，有n1 rX1<X2<X3,A >0.a1a2annna aa(2) 設 ai,bi>0(I=1,2,n)，有naibii 1n m(ap(P畀)8，1 1其中 P>0,q>0,

27、=1.p q五、考研復習題1.證明:假設f(x)在有限開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，且limx af(x)凹f(x),那么至少存在一點三 a,b),使 f (E )=0.證明假設x>0,那么2.歹刁肩示七,其中1(X)3.1 1(2)lim0 (x), lim (x).X 04 X2設函數(shù)f在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，且ab>0.證明存在E(a,b),使得4.5.6.aa b f(a)bf(b)f( ) f ().設f在a,b上三階可導 證明存在三 (a,b),使得1(b a)f (a) f(b)2應用拉格朗日中值定理f(b) f(a)對 f(x)=ln(1+x)a)3f ().證明対x>0有1 1.ln(1 x) x證明：假設函數(shù)f在區(qū)間a,b上恒有f(x)>0,那么對(a,b)內(nèi)任意兩點X1 ,X2,都有f(xjf(x 2) f X1 X22 2其中等號僅在X1=X2時才成立.7.證明:第 6題中對(a,b)內(nèi)任意n個點xi,x2,xn也成立f(Xk)k 1Xkk 1n其中等號也僅在 X1=X2= =Xn時才成立。8.應用第7題的結(jié)果證明：對任意 n個正數(shù)X1,X2,xn恒成立x1 x2 xnn即算術(shù)平均值不小于幾何平均值。9.設a1,a2,an為n個正實數(shù)