數(shù)學(xué)建模綜合評價(jià)方法

1、建模參考資料 綜合評價(jià)方法、關(guān)于評價(jià)指標(biāo)所謂指標(biāo)就是用來評價(jià)系統(tǒng)的參量例如，在校學(xué)生規(guī)模、教學(xué)質(zhì)量、師資結(jié)構(gòu)、 科研水平等，就可以作為評價(jià)高等院校綜合水平的主要指標(biāo)一般說來，任何 個(gè)指標(biāo) 都反映和刻畫事物的 個(gè)側(cè)面從指標(biāo)值的特征看，指標(biāo)可以分為定性指標(biāo)和定量指標(biāo)定性指標(biāo)是用定性的語言 作為指標(biāo)描述值，定量指標(biāo)是用具體數(shù)據(jù)作為指標(biāo)值例如，旅游景區(qū)質(zhì)量等級有5A 、4A、3A、2A和1A之分，那么旅游景區(qū)質(zhì)量等級是定性指標(biāo)；而景區(qū)年旅客接待量、門 票收入等就是定量指標(biāo)從指標(biāo)值的變化對評價(jià)目的的影響來看，可以將指標(biāo)分為以下四類：(1) 極大型指標(biāo) (又稱為效益型指標(biāo) )是指標(biāo)值越大越好的指標(biāo)；(2)

2、 極小型指標(biāo) (又稱為本錢型指標(biāo) )是指標(biāo)值越小越好的指標(biāo)；(3) 居中型指標(biāo)是指標(biāo)值既不是越大越好，也不是越小越好， 而是適中為最好的指標(biāo)；(4) 區(qū)間型指標(biāo)是指標(biāo)值取在某個(gè)區(qū)間內(nèi)為最好的指標(biāo) 例如，在評價(jià)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益時(shí)，利潤作為指標(biāo)，其值越大，經(jīng)濟(jì)效益就越好，這就是效益型指標(biāo)；而管理費(fèi)用作為指標(biāo)，其值越小，經(jīng)濟(jì)效益就越好，所以管理費(fèi)用是 本錢型指標(biāo)再如建筑工程招標(biāo)中，投標(biāo)報(bào)價(jià)既不能太高又不能太低，其值的變化范圍 一般是(10%, 5%) X標(biāo)的價(jià)，超過此范圍的都將被淘汰， 因此投標(biāo)報(bào)價(jià)為區(qū)間型指標(biāo). 投 標(biāo)工期既不能太長又不能太短，就是居中型指標(biāo)在實(shí)際中，不管按什么方式對指標(biāo)進(jìn)行分類，不

3、同類型的指標(biāo)可以通過相應(yīng)的數(shù)學(xué) 方法進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換1 評價(jià)指標(biāo)的處理方法一般情況下，在綜合評價(jià)指標(biāo)中，各指標(biāo)值可能屬于不同類型、不同單位或不同數(shù) 量級，從而使得各指標(biāo)之間存在著不可公度性，給綜合評價(jià)帶來了諸多不便為了盡可 能地反映實(shí)際情況，消除由于各項(xiàng)指標(biāo)間的這些差異帶來的影響，防止出現(xiàn)不合理的評 價(jià)結(jié)果，就需要對評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行一定的預(yù)處理，包括對指標(biāo)的一致化處理和無量綱化處 理1 指標(biāo)的一致化處理所謂一致化處理就是將評價(jià)指標(biāo)的類型進(jìn)行統(tǒng)一一般來說，在評價(jià)指標(biāo)體系中，可能會同時(shí)存在極大型指標(biāo)、極小型指標(biāo)、居中型指標(biāo)和區(qū)間型指標(biāo)，它們都具有不同的特點(diǎn)如產(chǎn)量、利潤、成績等極大型指標(biāo)是希望取值越大越好；

4、而本錢、費(fèi)用、缺陷 等極小型指標(biāo)那么是希望取值越小越好；對于室內(nèi)溫度、空氣濕度等居中型指標(biāo)是既不期 望取值太大，也不期望取值太小，而是居中為好假設(shè)指標(biāo)體系中存在不同類型的指標(biāo)， 必須在綜合評價(jià)之前將評價(jià)指標(biāo)的類型做一致化處理例如，將各類指標(biāo)都轉(zhuǎn)化為極大 型指標(biāo)，或極小型指標(biāo)一般的做法是將非極大型指標(biāo)轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo)但是，在不 同的指標(biāo)權(quán)重確定方法和評價(jià)模型中，指標(biāo)一致化處理也有差異(1) 極小型指標(biāo)化為極大型指標(biāo)對極小型指標(biāo) xj ，將其轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo)時(shí)，只需對指標(biāo)xj 取倒數(shù)：XjXj或做平移變換：Xj M j Xj ,其中Mj maxxij，即n個(gè)評價(jià)對象第j項(xiàng)指標(biāo)值Xij最大者.(2)

5、居中型指標(biāo)化為極大型指標(biāo)對居中型指標(biāo)Xj，令 MjmaxXjj ,mmin$，取1 i n1 i nXj2(Xj mJM j m：,mj XjMj mj j j 22(M j xjM j mjj j , j j x： MMj mj2 j就可以將Xj轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo).(3)區(qū)間型指標(biāo)化為極大型指標(biāo) 對區(qū)間型指標(biāo)Xj , Xj是取值介于區(qū)間aj,bj內(nèi)時(shí)為最好，指標(biāo)值離該區(qū)間越遠(yuǎn)就越差.令 Mjmaxxj, mjmi nXj,q maxaj mj,M jbj,取J1in 1 i n Ja XjcXjajXj1,1 XjbjCjaj Xj bj；Xj bj.就可以將區(qū)間型指標(biāo) Xj轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo).

6、類似地，通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，也可以將極大型指標(biāo)、居中型指標(biāo)轉(zhuǎn)化為極小型指 標(biāo).2 .指標(biāo)的無量綱化處理所謂無量綱化，也稱為指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化，是通過數(shù)學(xué)變換來消除原始指標(biāo)的單位及其 數(shù)值數(shù)量級影響的過程.因此，就有指標(biāo)的實(shí)際值和評價(jià)值之分.一般地，將指標(biāo)無量綱化處理以后的值 稱為指標(biāo)評價(jià)值.無量綱化過程就是將指標(biāo)實(shí)際值轉(zhuǎn)化為指標(biāo)評價(jià)值 的過程.對于n個(gè)評價(jià)對象3, S2，Sn，每個(gè)評價(jià)對象有 m個(gè)指標(biāo)，其觀測值分別為Xij(i1,2,，n; j 1,2,，m).(1)標(biāo)準(zhǔn)樣本變換法令*Xij XjXij (1 i n,1 j m).Sj_1 nIT-72*其中樣本均值Xj -Xij，樣本均方差Sj、

7、(Xij Xj) , Xj稱為標(biāo)準(zhǔn)觀測值.nii:. n i i特點(diǎn)：樣本均值為0,方差為1；區(qū)間不確定，處理后各指標(biāo)的最大值、最小值不相同；對于指標(biāo)值恒定(可0)的情況不適用；對于要求指標(biāo)評價(jià)值X* 0的評價(jià)方法(如熵值法、幾何加權(quán)平均法等)不適用.(2) 線性比例變換法 對于極大型指標(biāo)，令*ijXj maxXj1 i n(max% 0, 1 i1 i nn, 1 j m).對極小型指標(biāo)，令* min Xi1Xij(1 i n,1j m).Xij或*XijXj1-(max xij 0, 1i n, 1 j m)max Xij1 i n1 i n該方法的優(yōu)點(diǎn)是這些變換方式是線性的，且變化前后的

8、屬性值成比例但對任一指標(biāo)來 說，變換后的X*1和X*0不一定同時(shí)出現(xiàn).特點(diǎn)：當(dāng)Xj 0時(shí)，x* 0,1;計(jì)算簡便，并保存了相對排序關(guān)系.(3) 向量歸一化法 對于極大型指標(biāo)，令對于極小型指標(biāo)，令(1i n,1 ji n,1m).j m).優(yōu)點(diǎn)：當(dāng)Xij 0時(shí)，Xj0,1，即(Xij )21 .該方法使0 x*1，且變換前后正逆方向不變；缺點(diǎn)是它是非線性變換，變換后各指標(biāo)的最大值和最小值不相同.(4)極差變換法 對于極大型指標(biāo)，令*Xj即巾XjXijg (1 i n, 1 j m).max Xij min對于極小型指標(biāo)，令max Xi xij*1 i n jijXj(1 imax xij min

9、 xij1 i n1 i n其優(yōu)點(diǎn)為經(jīng)過極差變換后，均有0 Xj 1 ,X* 0 .該方法的缺點(diǎn)是變換前后的各指標(biāo)值不成比例, 不適用.(5)成效系數(shù)法m, 1 j n).且最優(yōu)指標(biāo)值Xij1，最劣指標(biāo)值對于指標(biāo)值恒定(Sj 0)的情況XjmaxXi1 i nc表示“j mM平移量d (1i n,1 j m).其中c,d均為確定的常數(shù). 表示放大或縮小倍數(shù)，那么x*通常取c 60, d 40 ,即*XjXj 60-表示指標(biāo)實(shí)際根底值，d表示旋轉(zhuǎn)量即C,c d mi nxj40 (1 i n ,1 j m).m.axxj min Xj那么x*j實(shí)際根底值為60,最大值為100，即X* 60,10

10、0.特點(diǎn)：該方法可以看成更普遍意義下的一種極值處理法，取值范圍確定，最小值為c ,最大值為c d.3 .定性指標(biāo)的定量化在綜合評價(jià)工作中，有些評價(jià)指標(biāo)是定性指標(biāo)，即只給出定性地描述，例如：質(zhì)量 很好、性能一般、可靠性高、態(tài)度惡劣等.對于這些指標(biāo)，在進(jìn)行綜合評價(jià)時(shí)，必須先令通過適當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行賦值，使其量化.一般來說，對于指標(biāo)最優(yōu)值可賦值10.0，對于指標(biāo)最劣值可賦值為0.0 .對極大型和極小型定性指標(biāo)常按以下方式賦值.(1)極大型定性指標(biāo)量化方法對于極大型定性指標(biāo)而言，如果指標(biāo)能夠分為很低、低、一般、高和很高等和9.0,對應(yīng)關(guān)系如圖2所示.介于兩個(gè)等級之間的可以取兩個(gè)分值之間的適當(dāng)數(shù)值作為量化值

11、.很低低一般高很咼1圖2極大型Tr1rr *定性指標(biāo)量化方法(2)極小型定性指標(biāo)量化方法對于極小型定性指標(biāo)而言，如果指標(biāo)能夠分為很高、高、一般、低和很低等，對應(yīng) 關(guān)系如圖3所示.介于兩個(gè)等級之間的可以取兩個(gè)分值之間的適當(dāng)數(shù)值作為量化值.、關(guān)于模糊綜合評價(jià)方法在客觀世界中，存在著許多不確定性現(xiàn)象，這種不確定性有兩大類：一類是隨機(jī)性 現(xiàn)象，即事物對象是明確的，由于人們對事物的因果律掌握不夠，使得相應(yīng)結(jié)果具有不 可預(yù)知性，例如晴天、下雨、下雪，這是明確的，但出現(xiàn)規(guī)律不確定；另一類是模糊性 現(xiàn)象，即某些事物或概念的邊界不清楚，使得事物的差異之間存在著中間過渡過程或過 渡結(jié)果，例如年輕與年老、高與矮、美

12、與丑等，這種不確定性現(xiàn)象不是人們的認(rèn)識達(dá)不 到客觀實(shí)際所造成的，而是事物的一種內(nèi)在結(jié)構(gòu)的不確定屬性，稱為模糊性現(xiàn)象.模糊數(shù)學(xué)就是用數(shù)學(xué)方法研究和處理具有模糊性現(xiàn)象的一個(gè)數(shù)學(xué)分支而模糊綜合評價(jià)就是以模糊數(shù)學(xué)為根底，應(yīng)用模糊關(guān)系合成的原理，將一些邊界不清、不易定量 的因素定量化，進(jìn)行綜合評價(jià)的一種方法. 1隸屬度函數(shù)確實(shí)定方法隸屬度的思想是模糊數(shù)學(xué)的根本思想，確定符合實(shí)際的隸屬函數(shù)是應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方 法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，然而這是至今尚未完全解決的問題下面介紹幾種常用確實(shí)定 隸屬函數(shù)的方法.模糊統(tǒng)計(jì)法模糊統(tǒng)計(jì)法是利用概率統(tǒng)計(jì)思想確定隸屬度函數(shù)的一種客觀方法，是在模糊統(tǒng)計(jì)的 根底上根據(jù)隸屬度的客觀存在

13、性來確定的.下面以確定青年人的隸屬函數(shù)為例來介紹其 主要過程. 以年齡為論域 X，在論域X中取一固定樣本點(diǎn) X。 27 . 設(shè)A為論域X上隨機(jī)變動的普通集合，A是青年人在 X上以A為彈性邊界的模糊集，對 A的變動具有制約作用其中X。 A，或x0 A，使得Xo對A的隸屬關(guān)系具有不確定性然后進(jìn)行模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，假設(shè)n次試驗(yàn)中覆蓋x0的次數(shù)為mn，那么稱n為Xo對于A的隸屬頻率.由于當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n不斷增大時(shí)，隸屬頻率趨于某一確定的常數(shù)， 該常數(shù)就是xo屬于A的隸屬度，即mnA (X0 ) lim .n n比方在論域 X中取Xo 27，選擇假設(shè)干適宜人選，請他們寫出各自認(rèn)為青年人最 適宜最恰當(dāng)?shù)哪挲g區(qū)間(

14、從多少歲到多少歲)，即將模糊概念明確化.假設(shè)n次試驗(yàn)中覆蓋27歲的年齡區(qū)間的次數(shù)為 m，那么稱m為27歲對于青年人的隸屬頻率，表4是抽樣調(diào)查n統(tǒng)計(jì)的結(jié)果.由于27歲對于青年人的隸屬頻率穩(wěn)定在0. 78附近，因此可得到x0 27屬于模糊集A的隸屬度 A(27)0.78 .表4 27歲對青年人的隸屬頻率試驗(yàn)次數(shù)n102030405060708090100110120129隸屬次數(shù)m61423313947536268768595101隸屬頻率mn0.600.700.770.780.780.760.760.780.760.760.750.790.78 在論域X中適當(dāng)?shù)娜〖僭O(shè)干個(gè)樣本點(diǎn)XX2，Xn，分別

15、確定出其隸屬度A(x)(i 1,2,，n)，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，描點(diǎn)連線即可得到模糊集A的隸屬函數(shù)曲線.將論域X分組，每組以中值為代表分別計(jì)算各組隸屬頻率，連續(xù)地描出圖形使得到 青年人的隸屬函數(shù)曲線，見表5與圖5所示.確定模糊集合隸屬函數(shù)的模糊統(tǒng)計(jì)方法，重視實(shí)際資料中包含的信息，采用了統(tǒng)計(jì) 分析手段，是一種應(yīng)用確定性分析揭示不確定性規(guī)律的有效方法特別是對一些隸屬規(guī) 律不清楚的模糊集合，也能較好地確定其隸屬函數(shù).表5分組計(jì)算隸屬頻率(試驗(yàn)次數(shù)129)分組頻數(shù)隸屬頻率分組頻數(shù)隸屬頻率13.514.520.01625.526.51030.79814.515.5270.21026.527.51010.78

16、315.516.5510.39527.528.5990.76716.517.5670.51928.529.5800.62017.518.51240.96129.530.5770.59718.519.51251.0030.531.5270.20919.520.51291.0031.532.5270.20920.521.51291.0032.533.5260.20221.522.51291.0033.534.5260.20222.523.51291.0034.535.5260.20223.524.51291.0035.536.510.00824.525.51280.992圖5年輕人的隸屬函數(shù)曲線三

17、分法 三分法也是利用概率統(tǒng)計(jì)中思想以隨機(jī)區(qū)間為工 具來處理模糊性的的一種客觀方法例如建立矮個(gè)子Ai，中等個(gè)子 A2,高個(gè)子A3三個(gè)模糊概念的隸屬函 數(shù)設(shè)P3 矮個(gè)子，中等個(gè)子，高個(gè)子, 論域X為身高的集合，取X (0,3)伸位：m) 每次 模糊試驗(yàn)確定 X的一次劃分，每次劃分確定一對數(shù) (,)，其中 為矮個(gè)子與中等個(gè)子的分界點(diǎn)，為中等個(gè)子與高個(gè)子的分界點(diǎn)，從而將模糊試驗(yàn)轉(zhuǎn)化為如下隨機(jī)試驗(yàn)：即將(，)看作二維隨機(jī)變量，進(jìn)行抽樣調(diào)查，求得、的概率分布P (x)、P (x)后，再分別導(dǎo)出 Ai、A2和A3的隸屬函數(shù)A(x)、 A (x)和A (x),相應(yīng)的示意圖如圖 6所示.A1(x)% P(t)d

18、t，AJx)% P(t)dt, a2(x) 1 八x)A3(x).通常分別為分別服從正態(tài)分布N(ai,)和Nd22，那么A1、A2和A3的隸屬函數(shù)AXx a1山1x a232x a11書dt模糊分布法根據(jù)實(shí)際情況，首先選定某些帶參數(shù)的函數(shù)，來表示某種類型模糊概念的隸屬函數(shù)論域?yàn)閷?shí)數(shù)域，然后再通過實(shí)驗(yàn)確定參數(shù).在客觀事物中，最常見的是以實(shí)數(shù)集作論域的情形.假設(shè)模糊集定義在實(shí)數(shù)域 R上,那么模糊集的隸屬函數(shù)便稱為 模糊分布下面給出幾種常用的模糊分布，在以后確定隸屬 函數(shù)時(shí)，就可以根據(jù)問題的性質(zhì)，選擇適當(dāng)即符合實(shí)際情況模糊分布，根據(jù)測量數(shù)據(jù)求出分布中所含的參數(shù)，從而就可以確定出隸屬函數(shù)了.為了選擇適當(dāng)?shù)哪：植?，首先?yīng)根據(jù)實(shí)際描述的對象給出選擇的大致方向.偏小型模糊分布適合描述像糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)的一般形式為其中X冷、青年以及顏色的淡等偏向小的一方的模A(X)偏大型模糊分布適合描述像 糊現(xiàn)象，其隸屬函數(shù)的一般形式為1,xa;f x,xa.熱、老年以及顏色的濃等偏向大的一方的模A(x)中間型模糊分布適合描述像屬面數(shù)可以通過中間型模糊分布表示.矩形或半矩形分布中、0,f (x),暖和、x a;x a.中年等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象，其隸a偏小型b偏大型C中間型圖7矩形(或半矩形)分布示意圖0, x a;1, x a;0, x a;a(x)門a(x)彳a(x)1,