一階微分方程的常見類型及解法

1、13-12022-3-22類型一、可分離變量微分方程類型一、可分離變量微分方程第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 的常見類型及解法的常見類型及解法類型二、齊次方程類型二、齊次方程類型四類型四*、可用簡單變量代換求解的、可用簡單變量代換求解的 微分方程微分方程類型三、一階線性微分方程類型三、一階線性微分方程 （含貝努利方程）（含貝努利方程）13-22022-3-22分離變量分離變量 類型一、可分離變量的微分方程類型一、可分離變量的微分方程)()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22兩邊同時(shí)積分兩邊同時(shí)積分( )d( )dg yyf xx( )d( )d

2、g yyf xxC可可分離變量分離變量的微分方程的微分方程已已分離變量分離變量的微分方程的微分方程13-32022-3-22例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分兩邊積分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )或或說明：說明：在求解過程中每在求解過程中每一步不一定是同解變形一步不一定是同解變形,因此可能增、減解因此可能增、減解.13-42022-3-22例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變

3、量得2dd ,1yxxyx 兩邊積分得兩邊積分得由初始條件得由初始條件得 C = 1, 故所求特解為故所求特解為 1)0(y13-52022-3-22類型二、齊次方程類型二、齊次方程ddyyxx令令,yux,xuy 則代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxudd,( )uxuux兩邊積分兩邊積分, 得得dln,( )uxCuu積分后再用積分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.求解步驟求解步驟:分離變量分離變量: 13-62022-3-22例例3. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得代入原方程得uuux

4、utan分離變量分離變量xxuuuddsincos兩邊積分兩邊積分得得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為故原方程的通解為sinyC xx( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )。13-72022-3-22例例4. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:2d2,dyyyxxx變?yōu)?方方程程形形,xyu 令則有則有22uxuuu分離變量分離變量2dd,uxuux 積分得積分得,lnln1lnCxuu11d()d1xuuux 即代回原變量得通解代回原變量得通解即即Cuux )1()x yxCy(C 為任意常數(shù)為任意常數(shù))13-82022-3-22類型三、一階線性微分

5、方程類型三、一階線性微分方程d)d( )(P xxyyQx若若 , 若若 , 稱為稱為一階線性一階線性非齊次非齊次微分方程微分方程.稱為稱為一階線性一階線性齊次齊次微分方程微分方程;( )Q x 0( )0Q x 13-92022-3-220)(ddyxPxy1. 解一階線性齊次微分方程解一階線性齊次微分方程分離變量得分離變量得xxPyyd)(d兩邊積分得兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為故通解為( ) dP xxyCe13-102022-3-22對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解一階線

6、性非齊次微分方程解一階線性非齊次微分方程)()(ddxQyxPxy常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy則則xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exCy【即即即即設(shè)通解設(shè)通解xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得兩端積分得】13-112022-3-22例例5. 解方程解方程 52d2(1) .d1yyxxx解解:原方程通解為原方程通解為225()d()d11252ln12ln123222(1)d

7、(1)d2(1)1d(1)(1).3xxxxxxyexexCexexCxxxCxxC522( ),( )(1) .1P xQ xxx 13-122022-3-22d( )( )(0,1)dyP x yQ x yx1. 解伯努利方程解伯努利方程變形得變形得1d( )( )dyyP x yQ xx令令1,zy利用利用一階線性非齊次微分方程的方法求解，一階線性非齊次微分方程的方法求解， 并將變換回代。并將變換回代。求解方法：求解方法：即即11d(1) ( )(1) ( )dyP x yQ xx(1)(1)d)d(P xQzzxx13-132022-3-22例例6. 解方程解方程 22ln .xyyx yx解解:原方程為原方程為21ln,yyxx yx是伯努利方程，是伯努利方程，13-142022-3-22類型四、可用簡單變量代換求解的微分方程類型四、可用簡單變量代換求解的微分方程解題思路解題思路:13-152022-3-22例例7. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:2sin (1).yxy 解解: 令令 , 1yxu則則yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan(（C 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）所求通解所求通解:13-162022-3-22例例8. 求下列微分方程的通解求下列微分方程的