離散型隨機變量的均值

1、2.3.1離散型隨機變量的均值與方差-期望值教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 1了解離散型隨機變量的期望的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望 理解公式“E（a+b）=aE+b”，以及“若 B（n,p），則E=np”.能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機變量的期望 學(xué)習(xí)重點：學(xué)習(xí)重點：離散型隨機變量的期望的概念 學(xué)習(xí)難點：學(xué)習(xí)難點：根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量 可能取的值為可能取的值為 12,ix xx1x2xixP1p2pip為隨機變量為隨機變量 的的概率分布列概率分布列，簡稱為，簡稱為 的的分布列分布列. . 取每一個值取每一個值 的概率的概率 則稱則稱表表 ()

2、iiPxp (1,2,)ix i 對于離散型隨機變量，確定了它的分布列，就掌握對于離散型隨機變量，確定了它的分布列，就掌握了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律. .但在實際應(yīng)用中，我們還但在實際應(yīng)用中，我們還常常希望常常希望直接通過數(shù)字直接通過數(shù)字來反映隨機變量的某個方面的特來反映隨機變量的某個方面的特征，最常用的有征，最常用的有期望與方差期望與方差. .思考下面的問題思考下面的問題: 4 5 6 7 8 9 100.020.02 0.040.04 0.060.060.090.09 0.280.28 0.290.29 0.220.22某射手射擊所得環(huán)數(shù)某射手射擊所得環(huán)數(shù) 的分布列如

3、下：的分布列如下： P在在100次射擊之前次射擊之前,試估計該射手試估計該射手100次射擊的平均環(huán)數(shù)次射擊的平均環(huán)數(shù). .分析：分析：平均環(huán)數(shù)平均環(huán)數(shù)= =總環(huán)數(shù)總環(huán)數(shù) 100所以所以, ,總環(huán)數(shù)約等于總環(huán)數(shù)約等于（40.02+50.04+60.06+ +100.22) 100.故故100100次射擊的平均環(huán)數(shù)約等于次射擊的平均環(huán)數(shù)約等于 40.02+50.04+60.06+ +100.22=8.32.一般地一般地, , 一般地：一般地： 對任一射手對任一射手, ,若已知他的所得環(huán)數(shù)若已知他的所得環(huán)數(shù) 的分布列，即已的分布列，即已知知 則可以預(yù)計他任意則可以預(yù)計他任意n次射擊的次射擊的平均環(huán)數(shù)

4、是平均環(huán)數(shù)是 記為記為 ()(0,1,2,10),Pi i 0(0) 1(1)10(10)PPP 我們稱我們稱 為此射手射擊所得環(huán)數(shù)的為此射手射擊所得環(huán)數(shù)的期望期望，它刻劃，它刻劃了所得環(huán)數(shù)隨機變量了所得環(huán)數(shù)隨機變量 所取的平均值。所取的平均值。( )EE更一般地更一般地結(jié)論一證明結(jié)論一證明結(jié)論二證明結(jié)論二證明數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義:一般地，隨機變量一般地，隨機變量 的概率分布列為的概率分布列為 則稱則稱1122iinnEx px px px p 為為 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望或均值，簡稱為或均值，簡稱為期望期望. . 它它反映了離散型隨反映了離散型隨機變量取值的平均水平機變量取值的平均水平

5、.P1x2xnx1p2pnp ixip結(jié)論結(jié)論1： 則則 ; ;,ab若若EaEb結(jié)論結(jié)論2：若：若B(n，p)，則，則E= np. 練習(xí)一練習(xí)一 (鞏固定義鞏固定義)()(),1,2,3iiPaxbPxi所以，所以， 的分布列為的分布列為11221 12212()()()(nnnnnEaxb paxb paxb pa x px px pb pE abaEppaEbb 即即結(jié)論結(jié)論1： 則則,ab若若EaEbP1axb2axbnaxb1p2pnpiaxbip 練習(xí)一練習(xí)一 (鞏固定義鞏固定義)練習(xí)二練習(xí)二1 1、隨機變量、隨機變量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)則則E= .

6、 2 2、隨機變量、隨機變量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，則，則E= . 5.847910P0.3ab0.2E=7.5,則則a= b= .0.40.11.1.一個袋子里裝有大小相同的一個袋子里裝有大小相同的3 3 個紅球和個紅球和2 2個黃球，從個黃球，從中同時取中同時取2 2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 . .1.21.22.2.（1 1）若）若 E()=E()=4.54.5, ,則則 E(E()=)= . . （2 2）E(E(E)=E)= . . ( (詳細(xì)解答過程見課本例詳細(xì)解答過程見課本例1)1)-4.5-4.50 0 這是一個特殊

7、的二項分布的隨機變量的期望這是一個特殊的二項分布的隨機變量的期望, ,那那么一般地么一般地,若若B(n，p)，則，則E=?E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0P(=k)= Cnkpkqn-k證明：證明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0( k Cnk =n Cn-1k-1)結(jié)論結(jié)論2：

8、若：若B(n，p)，則，則E= np期望在生活中的應(yīng)用廣泛期望在生活中的應(yīng)用廣泛, ,見課本第見課本第7272頁例頁例2.2.例例3 3 不一定不一定, ,其含義是在多次類似的測試中其含義是在多次類似的測試中, ,他的平均成他的平均成績大約是績大約是9090分分思考思考1思考思考2例例2 2. .一次單元測驗由一次單元測驗由2020個選擇題構(gòu)成個選擇題構(gòu)成, ,每個選擇題有每個選擇題有4 4個個選項選項, ,其中有且僅有一個選項正確其中有且僅有一個選項正確, ,每題選對得每題選對得5 5分分, ,不選不選或選錯不得分或選錯不得分, ,滿分滿分100100分分. .學(xué)生甲選對任一題的概率為學(xué)生甲

9、選對任一題的概率為0.9,0.9,學(xué)生乙則在測驗中對每題都從學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4 4個選項中隨機地選個選項中隨機地選擇一個擇一個. .求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗中的成績的均值求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗中的成績的均值. .解解: :設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗中選擇正確的選擇題設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗中選擇正確的選擇題個數(shù)分別是個數(shù)分別是和和, ,則則 B(20B(20, ,0.9)0.9), ,B(20B(20, ,0.25)0.25)，所以所以EE20200.90.91818， EE20200.250.255 5 由于答對每題得由于答對每題得5 5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗分，學(xué)生

10、甲和學(xué)生乙在這次測驗中的成績分別是中的成績分別是55和和5.5.這樣，他們在測驗中的成績這樣，他們在測驗中的成績的期望分別是的期望分別是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525思考思考: :學(xué)生甲在這次測試中的成績一定會是學(xué)生甲在這次測試中的成績一定會是9090分嗎分嗎? ?他的他的均值為均值為9090分的含義是什么分的含義是什么? ?思考思考1.1.某商場的促銷決策：某商場的促銷決策： 解解: :因為商場內(nèi)的促銷活動可獲效益因為商場內(nèi)的促銷活動可獲效益2 2萬元萬元設(shè)商場外的促銷活動可獲效益設(shè)商場外的促銷活動可獲效益 萬元萬元, ,則則 的分布列的分布列P 10 40.6 0.4所以所以E =100.6(-4) 0.4=4.4因為因為4.42,所以商場應(yīng)選擇在商場外進行促銷所以商場應(yīng)選擇在商場外進行促銷. .1 1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了離散型隨機變量、本節(jié)課學(xué)習(xí)了離散型隨機變量的期望及公式：的期望及公式：（1 1）E( (a+b)=)=aE+b; ; （2 2）若）若B（n, ,p），則），則E=np 2 2、會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望。、會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望。思考思考2.2. 有場賭博