同濟大學第六版高等數(shù)學上下冊課后習題答案(2)

1、.習題9-1 1. 設有一平面薄板(不計其厚度), 占有xOy面上的閉區(qū)域D, 薄板上分布有密度為m =m(x, y)的電荷, 且m(x, y)在D上連續(xù), 試用二重積分表達該板上全部電荷Q. 解 板上的全部電荷應等于電荷的面密度m(x, y)在該板所占閉區(qū)域D上的二重積分. 2. 設, 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; 又, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. 試利用二重積分的幾何意義說明I1與I2的關系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3與平面x=1, y=2以及z=0圍成的立體V的體積. I2表示由曲面z=(x2+y2)3與平面x=0, x=1, y=0, y

2、=2以及z=0圍成的立體V1的體積. 顯然立體V關于yOz面、xOz面對稱, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重積分的定義證明: (1) (其中s為D的面積); 證明 由二重積分的定義可知, 其中Dsi表示第i個小閉區(qū)域的面積. 此處f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以, . (2) (其中k為常數(shù)); 證明 . (3), 其中D=D1D2, D1、D2為兩個無公共內點的閉區(qū)域. 證明 將D1和D2分別任意分為n1和n2個小閉區(qū)域和, n1+n2=n, 作和 . 令各和的直徑中最大值分別為l1和l2, 又l=max(l1l2)

3、, 則有 , 即 . 4. 根據(jù)二重積分的性質, 比較下列積分大小: (1)與, 其中積分區(qū)域D是由x軸, y軸與直線x+y=1所圍成; 解 區(qū)域D為: D=(x, y)|0x, 0y, x+y1, 因此當(x, y)D時, 有(x+y)3(x+y)2, 從而. (2)與, 其中積分區(qū)域D是由圓周(x-2)2+(y-1)2=2所圍成; 解 區(qū)域D如圖所示, 由于D位于直線x+y=1的上方, 所以當(x, y)D時, x+y1, 從而(x+y)3(x+y)2, 因而. (3)與, 其中D是三角形閉區(qū)域, 三角頂點分別為(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 區(qū)域D如圖所示, 顯然當(

4、x, y)D時, 1x+y2, 從而0ln(x+y)1, 故有 ln(x+y)2 ln(x+y), 因而 . (4)與, 其中D=(x, y)|3x5. 0y1. 解 區(qū)域D如圖所示, 顯然D位于直線x+y=e的上方, 故當(x, y)D時, x+ye, 從而 ln(x+y)1, 因而 ln(x+y)2ln(x+y),故 . 5. 利用二重積分的性質估計下列積分的值: (1), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 因為在區(qū)域D上0x1, 0y1, 所以 0xy1, 0x+y2, 進一步可得 0xy(x+y)2, 于是 , 即 . (2), 其中D=(x, y)| 0xp, 0yp; 解 因為0sin2x1, 0sin2y1, 所以0sin2xsin2y1. 于是 , 即 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y2; 解 因為在區(qū)域D上, 0x1, 0y2, 所以1x+y+14, 于是 , 即 . (4), 其中D=(x