第4章第1講《導(dǎo)數(shù)的意義及運(yùn)算》

1、第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第10講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算考綱要求考情風(fēng)向標(biāo)1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù) y c，yx，yx2 ，y 的導(dǎo)數(shù).4. 能利用給出的 8 個基本初等函數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).從近兩年的試題來看，求導(dǎo)公式和法則，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的熱點(diǎn)，題型有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，主要考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算預(yù)測 2015 年高考在考查方式和內(nèi)容上不會有太大的變化，在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上可能對條件的設(shè)置進(jìn)行創(chuàng)新，考查方式仍然會以客觀題為主，考查內(nèi)容以運(yùn)算公式和法則為基礎(chǔ)，以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點(diǎn).1x1.函數(shù)導(dǎo)

2、數(shù)的定義000()()limxf xxf xx 2導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) yf(x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù) f(x0)的幾何意義，就是曲線 yf(x)在點(diǎn) P(x0，f(x0)處的切線的斜率也就是說，曲線 yf(x)在點(diǎn) P(x0，f(x0)處的切線的斜率是 f(x0).相應(yīng)地，切線方程為_yf(x0)f(x0)(xx0)(2)導(dǎo)數(shù)的物理意義：在物理學(xué)中，如果物體運(yùn)動的規(guī)律是 ss(t)，那么該物體在時刻 t0 的瞬時速度 v_.如果物體運(yùn)動的速度隨時間變化的規(guī)律是 vv(t)，則該物體在時刻 t0 的瞬時加速度為 a_.s(t0)v(t0)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c

3、為常數(shù))f (x)_ f(x)xn(nQ* )f (x)_f(x)sin xf (x)_f(x)cos xf (x)_f(x)axf (x)_f(x)exf (x)_f(x)logaxf (x)_f(x)lnxf (x)_3幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)cosxsinxaxlnaexnxn101lnxa1x4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則f(x)g(x)_；f(x)g(x)_；f(x)g(x)_g(x)05復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則f(x)_或_f (x)g(x)f (x)g(x)g(x)f(x)f(u)(x)yxyuux)C1已知函數(shù) f(x)42x2，則 f (x)(A4xB8xC82x D16x解析：函數(shù)f(x)42x2

4、 的自變量為x，為常量，所以f(x)82x.A解析：f(x)2ax，f(1)2a2.a1.2已知函數(shù) f(x)ax2c，且 f (1)2，則 a 的值為()A1B. C1D02)3.若 f(x)在 x0 處可導(dǎo)，則 f (x0)等于(A的瞬時速度為_，加速度為_.325已知函數(shù) f(x)xex，則 f(x)_；函數(shù) f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為_.(x1)exyx解析：f (x)exxex(x1)ex，f (0)1，f(0)0，故函數(shù) f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為 yx.4物體的運(yùn)動方程是s t32t25，則物體在t3時13考點(diǎn) 1 導(dǎo)數(shù)的概念例 1：設(shè) f

5、(x)在 x0 處可導(dǎo)，下列式子中與 f (x0)相等的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)(4)所以(1)(3)正確，故選 B.答案：B【方法與技巧】本題需直接變換出導(dǎo)數(shù)的定義式limk 0f(x0k)f(x0)kf (x0).其中k(一般用x 表示)可正可負(fù)，定義式的關(guān)鍵是一定要保證分子與分母中 k 的一致性.【互動探究】A.1B.2C.1D.12A考點(diǎn) 2 導(dǎo)數(shù)的計算例 2：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：【方法與技巧】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)過程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊

6、扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯； (2)第(2)小題給我們的啟示是：求含有多個字母的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，一定要清楚該函數(shù)的自變量是什么，對誰求導(dǎo)，如 f(x)x2sin的自變量為x，而f ()=x2sin的自變量為.【互動探究】2已知 ysinx1cosx，x(0，)，當(dāng) y2 時，x()B考點(diǎn) 3 曲線的幾何意義例 3：(2012 年遼寧)已知 P，Q 為拋物線 x22y 上的兩點(diǎn)，點(diǎn) P，Q 的橫坐標(biāo)分別為 4，2，過點(diǎn) P，Q 分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn) A，則點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為(

7、)A1B3C4D8程得P，Q的縱坐標(biāo)分別為8,2.由x22y，則y x2，yx，解析：點(diǎn) P，Q 的橫坐標(biāo)分別為 4，2，代人拋物線方過點(diǎn) P，Q 的拋物線的切線斜率分別為 4，2，過點(diǎn) P，Q 的拋物線的切線方程分別為 y4x8，y2x2，聯(lián)立方程組解得 x1，y4，故點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為4.答案：C【方法與技巧】曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，從而把點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率聯(lián)系到一起，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，然后求兩直線的交點(diǎn)12【互動探究】1,0)為曲線在點(diǎn) P 處的切線的傾斜角，則 tan的取值范圍是_則曲線 yf(x)上切點(diǎn)處的切線斜率 k1.又ktan，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，可得 ,故

8、tan的取值范圍為1,0)3,4易錯、易混、易漏 過點(diǎn)求切線方程應(yīng)注意該點(diǎn)是否為切點(diǎn)(1)求曲線在 x2 處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)(2,4)的切線方程在點(diǎn) P(2,4)處的切線的斜率 ky|x24.曲線在點(diǎn) P(2,4)處的切線方程為 y44(x2)，即4xy40.解：(1)yx2，(x01)(x02)20，解得 x01 或 x02.故所求的切線方程為 xy20 或 4xy40.【失誤與防范】(1)通過此題的學(xué)習(xí)，要徹底改變“切線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)” “直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，則該直線就是切線”這一傳統(tǒng)誤區(qū)，如“直線 y1 與 ysinx 相切，卻有無數(shù)個公共點(diǎn)”，而“直線 x1 與 yx2 只有一個公共點(diǎn)，顯然直線 x1 不是切線”(2)求曲線 yf(x)在點(diǎn) P(x0，f(x0)處(該點(diǎn)為切點(diǎn))的切線方程，其方法如下：求出函數(shù) yf(x)在 xx0處的導(dǎo)數(shù) f (x0)，即函數(shù)yf(x)在點(diǎn) P(x0，f(x0)處的切線斜率；切點(diǎn)為 P(x0，f(x0)，切線方程為 yf(