廣義積分地收斂判別法

1、實用標準文案第二節(jié) 廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算, 在實際應用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數(shù)值計算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 對廣義積分而言，求其近似值有一個先決條件 積分收斂，否則其結果毫無意義。因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理9.1 (Cauchy收斂原理)f(x)在a, +工)上的廣義積分f (x)dx收斂的充分必要條件是：0,存在A>0,使得b,ab >A時，恒有b/| b f (x)dx |證明：對lim f

2、(x)dx 0使用柯西收斂原理立即得此結論bbb同樣對瑕積分f (x)dx ( b為瑕點)，我們有a定理9.2(瑕積分的Cauchy收斂原理)設函數(shù)f (x)在a, b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間a, b-上常義可積，則瑕積分bf(x)dx收斂的 a充要條件是:0,0, 只要 0< / ，就有b/| b f (x)dx|定 義 9.5 如 果 廣 義 積 分 | f (x) |dx 收 斂 ， 我 們 稱 廣 義 積 分 af(x)dx絕對收斂(也稱f(x)在a,+ )上絕對可積;如f (x)dx收斂而非絕對收斂，則稱f(x)dx條件收斂，也稱f(x)aa在 a,+ )上條件可積由于A,

3、 A/ a ,均有A/A/| f(x)dx| | f(x)|dxAA因此，由Cauchy收斂原理，我們得到下列定理.定理9.3如果廣義積分f (x)dx絕對收斂，則廣義積分f(x)dxaa必收斂它的逆命題不一定成立，后面我們將會看到這樣的例子。對其它形式的廣義積分，類似地有絕對收斂及條件收斂的定義及性質(zhì)下面我們先介紹當被積函數(shù)非負時，廣義積分收斂的一些判別法比較判別法：定 理 9.4 ( 無 限 區(qū) 間 上 的 廣 義 積 分 ) 設 在 a,+) 上 恒 有0 f (x) k (x), ( k 為正常數(shù))則當 (x)dx收斂時, f (x)dx也收斂；aa當a f(x)dx發(fā)散時，a (x)

4、dx也發(fā)散.證明：由Cauchy收斂原理馬上得結論成立.對瑕積分有類似的結論判別法定理9.5設f(x), g(x)均為a, b)上的非負函數(shù)，b為兩個函數(shù)的奇點，如存在一個正常數(shù)k, 使0 f (x) kg(x), x a, b), 則文檔實用標準文案一， bb -1) 如 g(x)dx收斂，則f(a)dx也收斂。aa, bb2)如 f(x)dx發(fā)散，則 g(x)dx也發(fā)散.aa比較判別法在實際應用時，我們常常用下列極限形式.定理9.6如果f(x),g是a,+ )上的非負函數(shù)，且lim l,則x g(x)(1)如果0l,且g(x)dx收斂，則積分f(x)dx也收斂.aa(2)如果0l,且g(x

5、)dx發(fā)散，則積分f(x)dx也發(fā)散.aa證明：如果limf3 l 0,則對于 0(l0),存在A,x g(x)當x A時，0 l工( lg(x)即(l )g(x) f(x) (l )g(x)成立.顯然 a f(x)dx 與g(x)dx同時收斂或同時發(fā)散，在l=0或l=時，可類似地討論.使用同樣的方法，我們有定理9.7對以b為唯一瑕點的兩個瑕積分 bf(x)dx與bg(x)dx如 aa果f(x), g ( x)是非負函數(shù)，且lim上3l,則x b g(x)t一 bb(1)當0 l ，且 g(x)dx收斂時，則f(x)dx也收斂.aa(2)當0 l ，且bg(x)dx發(fā)散時，則bf(x)dx也發(fā)

6、散. aa一八，一1 ，對無限區(qū)間上的廣義積分中，取Rdx作比較標準，則得到下列a pCauchy判別法：設f(x)是a,+ )的函數(shù)，在其任意閉區(qū)間上可積，那么:定理9.8 若0f(x)£, p>1,那么積分f(x)dx收斂，如xpaf(x)cxp，1,則積分f (x)dx發(fā)散.文檔其極限形式為定理9.9如limxp f (x)l (0 lP>1),則積分f (x)dx收斂.lim xpf (x) l , b1,則f (x)dx 發(fā)散.例9.8判斷下列廣義積分的收斂性。11ln(1 ) dxx 1 xmx .7 dx1 xn(m>0,n>0)解：(1)因為c

7、10 ln(1 -) x1 x(1x)1 一 ，Tdx收斂推出Ix21ln(11) xdx收斂.(2)因為 lim xxmn m x1 xn1,所以當n n>1時，積分1mx .：ndx1 x收斂.當nm1時，積分1mx dx發(fā)散.1 xnb 1對于瑕積分，使用dx作為比較標準，我們有下列柯西判別a (x a)p法.定理9.10 設x=a是f(x)在a, b)上的唯一奇點，在其任意閉區(qū)間上可積，那 么Cb -(1) 如 0 f(x) (c>0), p<1, 則f(x)dx收斂.(x a)aCb(2) 如 f(x) (c>0), p 1,則f(x)dx發(fā)放.(x a)pa

8、瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為定理 9.11 設 lim (x a)p f (x) kx a如 0 k< , p<1,則:f (x)dx收斂 ,一 - b如0<k , p 1, 那么 f(x)dx發(fā)散.a例9.9判別下列瑕積分的斂散性。1dx0. (1 x2)(1 k2x2)(k2<1) dx2 0 sinp xcosq x(p, q>0)解：（1）1是被積函數(shù)的唯一瑕點因為lim (1x 11 x)2dx,(1 x2)(1k2x2)1.2(1 k2),1 -由p 1知瑕積分收斂.2(2) 0與一都是被積函數(shù)的瑕點.2dx ,1先討論 4Da,由 lim

9、xpp 1 a 10 sin p xcosq xx 0 sinp xcosq xdx知：當p<1時，瑕積分4°&收斂;當p 1時，瑕積分0 sinp xcosq xdx0 sin p xcosq x發(fā)散.再討論2上4 sin p xcosq x一c1因 lim ( x)p 1x _ 2 sinp xcosq x 2dx 一所以當q<1時，瑕積分2p dx q收斂,4 sin p xcosq xdx ,當q 1時，瑕積分2 dx 發(fā)散.-sinp xcosq xdx ，一綜上所述，當p<1且q<1時，瑕積分2 dx收斂;其他情況0 sinp xcosq

10、x發(fā)散.,、 一一 i、，例9.10求證：右瑕積分0f (x)dx收斂，且當x 0時函數(shù)f(x)單調(diào)趨向于+ ，則lim x f (x)=0. x 0證明：不妨設 x (0,1 , f (x) 0,且f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。1已知0f (x)dx收斂，由柯西收斂準則，有0,0( <1),0 x 有xx f (t)dt2從而x , 、x0<x f (x)x f (t)dt22或0<x f (x) 2即 ximx f(x尸0.i it i ,例9.11求證瑕積分 1dx( >0),當 <1時收斂0x(1 cosx)3,1當-時發(fā)散.3證明: lim x 0x

11、(13xcosx)=limx 03 1 cosx x -x=limx 01 cosx所以當3 <1時，即<1時，瑕積分收斂.當31,即 1時,33瑕積分發(fā)散.前面討論的是非負函數(shù)的反常積分的收斂性,為了能對一般函數(shù)的反常積分的斂散性進行討論，我們先給出下面的重要結果.定理9.12 (積分第二中值定理)設g(x)在a, b上可積，“*)在式均上單調(diào)，則存在E a, b使bf (x)g(x)dx = g(a) f (x)dx g(b) f (x)dxaaa為了證明定理9.12,我們先討論下列特殊情況.引理9.1設f(x)在a, b上單調(diào)下降并且非負，函數(shù) g(x)在a,b上可積，則存在

12、c a, b,使bcf (x)g(x)dx=f(a) g(x)dxaax證明：作輔助函數(shù)(x) = f(a) ag(t)dt,對a, b的任一分法P:a=x0<x1<x2V<xn=b我們有nf (x)g(x)dx二i 1XiXi 1f (x)g(x)dx由此得到f (x)g(x)dx-a一xi.f(x)g(x)dx|xi 1n x 一一.=I x f(x) f (xi 1)g(x)dxI x 1i 1 n:| f (x) f(xi 1) 11g(x)|dx xi 1nL i(f) Axi i 1這里L是|g(x)|在a, b的上界，Wi(f)是f(x)在 1，為上的振幅,從這

13、個估計式可知，當P |0時，應當有xif(xi1)xi 1g3dxf (x)g(x)dx我們來證明min (x)x a,bmax (x)x a,bxf (xi 1) x 1 g(x)dxx 1為此，引入記號xG(x)= a g(t)dt并作如下變換n rxif(x)g(x)dxxi 1i 1n=f (xi 1)G(xi) G(x 1)實用標準文案n= f (xi 1)G(xi) i1n= f (xi 1)G(xi) i1n= f (xi 1)G(xi) i1nf (xi 1)G(xi 1) i1n1f (xi)G(xi ) i0n1f (xi)G(xi ) i1G(x0) G(a) 0)n=

14、f (xi 1) f (xi)G(xi) f (xn)G(xn) i1f (xi 1) f (xi ) 0,f (xn) 0 ,所以nf (xi 1) i g(x)dxxi 1i1n= f (xi 1) f (xi )G(xi ) f(xn)G(xn)i1nf(xi 1) f(xi) f(xn) min G(x)i 1x a,b= f(a) min G(x)x a,b同樣可證我們證明了不等式ni1f (xi 1 ) xi g(x)dxxi 1f (a) maxG(x)x a,bf (a) min G(x)x a,bf (xii1xi1) g(x)dxxi 1f (a) xmaa,bx G(x)

15、min (x)x a,bnf (xii11) xi g(x)dx xi 1max (x) x a,b文檔現(xiàn)令 |p|0, 取極限，就得到實用標準文案文檔min (x)x a,bf (x)g(x)dxmax (x)x a,b因此，存在c a, b,使得b一，.一 _(c)= f (x)g(x)dx (因為 (x)在a,b上是連續(xù)函數(shù))abc也就是 f (x)g(x)dx = f (a) g(x)dx 證畢aa下面我們證明定理9.12 證明：如f(x)是單調(diào)下降的，則f(x) f(b)單調(diào)下降且非負，由引理12.2.1知，存在c a, b),使bcf (x) f (b)g(x)dx= f (x)

16、f (b) g(x)dxaa即bcbf (x)g(x)dx=f (a) g(x)dx f (b) g(x)dx,aac對f(x)單調(diào)上升的情形，可作類似討論.使用積分第二中值定理，我們得到下列一般函數(shù)的廣義積分斂散性的判別法定理9.13 若下列兩個條件之一滿足，則f(x)g(x)dx收斂a(1) (Abel判別法)a f(x)dx收斂，g(x)在a,上單調(diào)有界；(2) (Dirichlet 判別法)設 F(A)= Af(x)dx在a,上有界,g(x) a在a,)上單調(diào),且lim g(x)=0.證明：(1)0,設 |g(x)| M, x a,)，因 a f(x)dx 收斂,由Cauchy收斂原理

17、，A a,使 A, AA時，有A12M1A f (x)dx|A由積分第二中值定理，我們得到AAi| A f(x)g(x)dx| |g(A)| | Af(x)dx| |g(A)l I f(x)dx|A1 ,M I A f (x)dx| M | f (x)dx| A+=再由Cauchy收斂原理知f(x)g(x)dx收斂a(2)設M為F(A)在a,+ )上的一個上界，則A, A a,顯然有AiI A f(x)dx| 2M同時，因為Jim g(x)=0,所以存在A0 a,當x>A時，有g(x)I<4M于是，對 A, A A0有 A1A1I A f(x)dx| |g(A)| | Af(x)d

18、x| |g(Ai)| | f(x)dx|2M |g(A)| 2M |g(A)|一十 =由Cauchy收斂原理知f(x)g(x)dx收斂a例9.12討論廣義積分8sxdx的斂散性，1 x1,、解：令 f(x)= ,g(x)=cosxx則當x 時，f(x)單調(diào)下降且趨于零，_AF(A)= cosxdx=sin A sin1 在a,)上有界. 1由Dirichlet 判別法知cosxdx收斂，1 x另一方面2|cosx| cos x 1 cos2xx x 2x因 工dx發(fā)散， cosadx收斂1 2x1 2x從而非負函數(shù)的廣義積分注 dx發(fā)散1 2x由比較判別法知Lcosdx發(fā)散，1 x所以 2 d

19、x條件收斂1 xcosx例9.13討論廣義積分 arctan xdx的斂散性.1 x解：由上一題知，廣義積分COsx dx收斂,而arctan x在a,1 x+ )上單調(diào)有界，所以由Abel判別法知1 2arctanxdx收斂。1 x另一方面，當x J3,)時，有,cosx , ,cosx ,|arctanx | |xx前面已證LcosRdx發(fā)散1由比較判別法知1cosxarctanx|dx發(fā)散，所以1 xcosxarctanx , dx條件收斂.1 x對瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet 判別法定理9.14若下列兩個條件之一滿足，則b f (x)g(x)dx收斂：(b為唯

20、 a一瑕點)2 1) (Abel判別法):f(x)dx收斂，g(x)在a, b)上單調(diào)有界，> ,b(Dirichlet判力U法)F( ) =f(x)dx在a, b )上有界，ag(x)在(0,b a上單調(diào)，且 lim g(x) 0.x b證明：(1)只須用第二中值定理估計b /b f(x)g(x)dx讀者可以仿照定理11.2.8(1)的作法完成(1)的證明.(2)讀者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成(2)的證明., 1 sin 一1例9.14討論積分一xdx (0< p 2)的斂散性0 xp解：對于0<p<1 ,因為1xp.1 sinxxp,1 1由：dx收斂

21、知0xp.1 sin 一x dx0 xp絕對收斂斂對于0 p<2,因為函數(shù)f(x) =x2 p,當x 0時單調(diào)趨于0,而函數(shù).1 sin 一 g( x)= -rx x滿足所以積分.1 sin 一1 xxp./1 , c|cos1 cos| 2.1 sinxdx0 xp.1sin 一pTdx收斂.x但在這種情況下,01.1 sindx是發(fā)散的,xxp事實上.1 sinxxp. 2 1sin 一 x xp12xp2 cosx 2xp一 1 1，因7dx發(fā)散,02xp2cos一1x dx收斂，知02xp.1 sin 一xxpdx發(fā)散從而當0 p<2時，積分條件收斂.最后我們討論p=2的情形,因為.11sinx12 dx cos1 cos一 xn.1州一當 0時，上式無極限，所以積分°Tdx發(fā)散.0 x值得注意的是，兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系f(x)dx 中f (x)dx =x=a為f (x)的瑕點,作變換y= ,則有 x af(a -)產(chǎn) dy,而后者是無限區(qū)間上的廣義積分.習題9.2y1、論下列積分的斂散性(包括絕對收斂，條件收斂，發(fā)散)1