數(shù)字信號處理 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)

1、第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 第第1章章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.1引言引言 1.2時域離散信號1.3時域離散系統(tǒng)1.4時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程1.5模擬信號數(shù)字處理方法習(xí)題與上機題第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.1引言信號通常是一個自變量或幾個自變量的函數(shù)。如果僅有一個自變量，則稱為一維信號；如果有兩個以上的自變量，則稱為多維信號。本書僅研究一維數(shù)字信號處理的理論與技術(shù)。物理信號的自變量有多種，可以是時間、距離、溫度、位置等，本書一般把信號看做時間的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的取值情況，信號可分為以下三種。第1章時域離散信

2、號和時域離散系統(tǒng) 如果信號的自變量和函數(shù)值都取連續(xù)值，則稱這種信號為模擬信號或者稱為時域連續(xù)信號，例如語言信號、溫度信號等；如果自變量取離散值，而函數(shù)值取連續(xù)值，則稱這種信號稱為時域離散信號，這種信號通常來源于對模擬信號的采樣; 如果信號的自變量和函數(shù)值均取離散值，則稱為數(shù)字信號。我們知道，計算機或者專用數(shù)字信號處理芯片的位數(shù)是有限的，用它們分析與處理信號，信號的函數(shù)值必須用有限位的二進制編碼表示，這樣信號本身的取值不再是連續(xù)的，而是離散值。這種用有限位二進制編碼表示的時域離散信號就是數(shù)字信號，因此，數(shù)字信號是幅度量化了的時域離散信號。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例如：，這是一個模擬信號

3、，如果對它按照時間采樣間隔T=0.005s進行等間隔采樣，便得到時域離散信號x(n)，即 =， 0.0， 0.6364， 0.9， 0.6364， 0.0， -0.6364， 0.9， -0.6364， 顯然, 時域離散信號是時間離散化的模擬信號。 ) 50sin(9 . 0)()(anTtxnxnTt) 50sin(9 . 0)(attx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 如果用四位二進制數(shù)表示該時域離散信號，便得到相應(yīng)的數(shù)字信號xn，即xn=，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101，顯然，數(shù)字信號是幅度、時間均離散化的模擬信號，或者說是

4、幅度離散化的時域離散信號。 信號有模擬信號、時域離散信號和數(shù)字信號之分，按照系統(tǒng)的輸入輸出信號的類型，系統(tǒng)也分為模擬系統(tǒng)、時域離散系統(tǒng)和數(shù)字系統(tǒng)。當(dāng)然，也存在模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 數(shù)字信號處理最終要處理的是數(shù)字信號，但為簡單，在理論研究中一般研究時域離散信號和系統(tǒng)。時域離散信號和數(shù)字信號之間的差別，僅在于數(shù)字信號存在量化誤差，本書將在第9章中專門分析實現(xiàn)中的量化誤差問題。 本章作為全書的基礎(chǔ)，主要學(xué)習(xí)時域離散信號的表示方法和典型信號、時域離散線性時不變系統(tǒng)的時域分析方法，最后介紹模擬信號數(shù)字處理方法。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.2時域離

5、散信號時域離散信號 實際中遇到的信號一般是模擬信號，對它進行等間隔采樣便可以得到時域離散信號。假設(shè)模擬信號為xa (t)，以采樣間隔T對它進行等間隔采樣，得到：（1.2.1） nnTxtxnxnTt- )()()(aa第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 這里, x(n)稱為時域離散信號，式中的n取整數(shù)，將 代入上式, 得到： 顯然, x(n)是一個有序的數(shù)字，因此時域離散信號也可以稱為序列。注意這里n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義。時域離散信號有三種表示方法：),2(),(),0(),(,)(aaaaTxTxxTxnx, 3 , 2 , 1 , 0 ,n第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1） 用集合符號

6、表示序列數(shù)的集合用集合符號表示。時域離散信號是一個有序的數(shù)的集合，可表示成集合: x(n)= xn, n=, 2, 1, 0, 1, 2, 例如，一個有限長序列可表示為x(n)=1, 2, 3, 4, 3, 2, 1; n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6也可簡單地表示為x(n)1, 2, 3, 4, 3, 2, 1集合中有下劃線的元素表示n=0時刻的采樣值。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2） 用公式表示序列例如：x(n)=a|n|0a1, n3） 用圖形表示序列例如, 時域離散信號x(n)=sin(n/5)，n=5, 4, , 0, , 4, 5, 圖1.2.1就是它的圖形表示。

7、 這是一種很直觀的表示方法。為了醒目，常常在每一條豎線的頂端加一個小黑點。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.1x(n)=sin(n/5)的波形圖第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 實際中要根據(jù)具體情況靈活運用三種表示方法，對于一般序列，包括由實際信號采樣得下面介紹用MATLAB語言表示序列。MATLAB用兩個參數(shù)向量x和n表示有限長序列x(n)，x是x(n)的樣值向量，n是位置向量（相當(dāng)于圖形表示方法中的橫坐標(biāo)n），n與x長度相等，向量n的第m個元素n(m)表示樣值x(m)的位置。位置向量n一般都是單位增向量，產(chǎn)生語句為：n=ns:nf; 其中ns表示序列x(n)的起始點，nf表示序

8、列x(n)的終止點。這樣將有限長序列x(n)記為x(n)；n=ns:nf。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例如， x(n)0.0000 ，0.5878 ，0.9511，0.9511，0.5878，0.0000，0.5878， 0.9511，0.9511，0.5878，0.0000，相應(yīng)的 n=5, 4, 3, , 5，所以序列x(n)的MATLAB表示如下:n=5:5; x=0.0000，0.5878，0.9511，0.9511，0.5878， 0.0000，0.5878，0.9511，0.9511，0.5878，0.0000第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 這里x(n)的11個樣值是正弦

9、序列的采樣值，即x(n)=sin(n/5)n=5, 4, , 0, , 4, 5所以，也可以用計算的方法產(chǎn)生序列向量：n=5:5; x= sin(pi*n/5); 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 這樣用MATLAB計算產(chǎn)生x(n)并繪圖的程序如下：%fig121.m：sin(pi*n/5)信號產(chǎn)生及圖1.2.1繪圖程序n=5:5; %位置向量n從5到5x=sin(pi*n/5); %計算序列向量x(n)的11個樣值subplot(3, 2, 1); stem(n, x, .); line(5, 6, 0, 0)axis(5, 6, 1.2, 1.2); xlabel(n); ylabel(x

10、(n)運行程序輸出波形如圖1.2.1所示。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.2.1常用的典型序列常用的典型序列1 單位采樣序列單位采樣序列(n) （1.2.2） 單位采樣序列也稱為單位脈沖序列，特點是僅在n=0時取值為1，其它均為零。它類似于模擬信號和系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t)，但不同的是(t)在t=0時，取值無窮大，t0 時取值為零，對時間t的積分為1。單位采樣序列和單位沖激信號如圖1.2.2所示。 0 00 1)(nnn第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.2單位采樣序列和單位沖激信號第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2 單位階躍序列單位階躍序列u(n) (1.2.3) 單位階

11、躍序列如圖1.2.3所示。它類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)u(t)。(n)與u(n)之間的關(guān)系如下列式所示： （1.2.4） （1.2.5） 0 00 1)(nnnu) 1()()(nunun0)()(kknnu第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.3單位階躍序列第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 令nk=m，代入式(1.2.5)得（1.2.6） nmmnu)()(第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 3 矩形序列矩形序列RN(n) （1.2.7） 式中，N稱為矩形序列的長度。當(dāng)N=4時，R4(n)的波形如圖1.2.4所示。矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式： （1.2.8） nNnnRN其

12、它 010 1)()()()(NnununRN第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.4矩形序列第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 4 實指數(shù)序列實指數(shù)序列x(n)=anu(n)a為實數(shù)如果|a|1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖1.2.5所示。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.5實指數(shù)序列 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 5 正弦序列正弦序列式中, 稱為正弦序列的數(shù)字域頻率(也稱數(shù)字頻率)，單位是弧度(rad)，它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么 )sin()(nnx)sin()sin(| )()()

13、sin()(aannTtxnxttxnTt第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （1.2.9） 因此得到數(shù)字頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為 (1.2.9)式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率與序列的數(shù)字域頻率成線性關(guān)系。由于采樣頻率Fs與采樣周期T互為倒數(shù)，因而有T第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 上式表示數(shù)字域頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化頻率。本書中用表示數(shù)字域頻率，和f表示模擬角頻率和模擬頻率。 （1.2.10） sF第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 6 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列用下式表示:式中, 0為數(shù)字域頻率。設(shè)=0，用極坐標(biāo)和實部虛部表示如下式：nnx

14、)j(0e)(nnx0je)()sin(j)cos()(00nnnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 由于n取整數(shù)，下面等式成立：上面公式中M取整數(shù)，所以對數(shù)字域頻率而言，正弦序列和復(fù)指數(shù)序列都是以2為周期的周期信號。在以后的研究中，在頻率域只分析研究一個周期就夠了。nnM00j)2( jee)cos()2cos(00nnM)sin()2sin(00nnM第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 7 周期序列周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：（1.2.11） 則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N。 nNnxnx),()(第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例如：式中數(shù)字頻率是

15、/4，n取整數(shù)，可以寫成下式：因此, 是周期為8的周期序列，波形如圖1.2.6所示。下面討論一般正弦序列的周期性。)4sin()(nnx)8(4sin)(nnx)4sin()(nnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.6正弦序列 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 設(shè) 那么如果則要求N=(2/0)k。式中，k與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。)sin()(0nAnx)sin()(sin()(000NnANnANnx)()(nxNnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 具體正弦序列有以下三種情況：（1） 當(dāng)2/0為整數(shù)時，k=1，

16、正弦序列是以2/0為周期的周期序列。例如, ,， 該正弦序列周期為16。 )8sin(n801620第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （2） 2/0不是整數(shù)，是一個有理數(shù)時，設(shè)2/0=P/Q，式中P、Q是互為素數(shù)的整數(shù)，取k=Q，那么N=P，則該正弦序列是以P為周期的周期序列。例如, sin(4n/5), 2/0=5/2, k=2, 該正弦序列是以5為周期的周期序列。（3） 2/0是無理數(shù)，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時的正弦序列不是周期序列。例如，0=1/4, sin(0n)即不是周期序列。對于復(fù)數(shù)指數(shù)序列的周期性也有和上面同樣的分析結(jié)果。 ne0j第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng)

17、 以上介紹了幾種常用的典型序列，對于任意序列，可以用單位采樣序列的移位加權(quán)和表示，即 （1.2.12） 這種任意序列的表示方法，在信號分析中是一個很有用的公式。例如, x(n)的波形如圖1.2.7所示，可以用（1.2.12）式表示成： mmnmxnx)()()()6()5(2)4()2(5 . 1) 1()(2) 1(5 . 0)2(2)(nnnnnnnnnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.7用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.2.2序列的運算序列的運算序列的簡單運算有加法、乘法、移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換。1 加法和乘法加法和乘法序列之間的加法和乘法，

18、是指它的同序號的序列值逐項對應(yīng)相加和相乘，如圖1.2.8所示。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.2.8序列的加法和乘法第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2 移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換序列x(n)如圖1.2.9(a)所示，其移位序列x(nn0)(當(dāng)n0=2時)如圖1.2.9(b)所示。當(dāng)n00時, 稱為x(n)的延時序列；當(dāng)n00 , 序列右移；n0，序列左移。如n=1，得到h(1-m)，如圖1.3.2（d）所示。接著將h(m)和h(nm)相乘后，再相加, 得到y(tǒng)(n)的一個值。對所有的n重復(fù)這種計算, 最后得到卷積結(jié)果，如圖1.3.2(f)所示, y(n)表達式為y(n)

19、=1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 其實這種圖解法可以用列表法代替，上面的圖解過程如表1.3.1所示。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.3.2例1.3.4線性卷積第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 表表1.3.1圖解法（列表法）圖解法（列表法） 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2) 解析法如果已知兩個卷積信號的解析表達式，則可以直接按照卷積式進行計算，下面舉例說明。 【例例1.3.5】設(shè)x(n)=an(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解解 mmnmnuamRnxnhny)()()()()(4第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 要計算上式，關(guān)鍵是根據(jù)求和號

20、內(nèi)的兩個信號乘積的非零值區(qū)間確定求和的上、下限。因為nm時，u(n-m)才能取非零值； 0m3時，R4(m)取非零值, 所以，求和區(qū)間中m要同時滿足下面兩式： mn0m3這樣求和限與n有關(guān)系，必須將n進行分段然后計算。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) n0時，y(n)=00n3時，乘積的非零值范圍為0mn，因此 n4時，乘積的非零區(qū)間為0m3，因此 11011)(aaaanynnnmmn143011)(aaaanynmmn第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 寫成統(tǒng)一表達式為naaanaaannynnn411301100)(1411第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 3） 用MATLAB計算兩個有

21、限長序列的卷積MATLAB 信號處理工具箱提供了conv 函數(shù)，該函數(shù)用于計算兩個有限長序列的卷積（或計算兩個多項式相乘）。C=conv(A, B)計算兩個有限長序列向量A和B的卷積。如果向量A和B的長度分別為N和M，則卷積結(jié)果向量C的長度為NM1。如果向量A和B為兩個多項式的系數(shù)，則C就是這兩個多項式乘積的系數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，conv函數(shù)默認(rèn)A和B表示的兩個序列都是從0開始，所以不需要位置向量。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 當(dāng)然, 默認(rèn)卷積結(jié)果序列C也是從0開始，即卷積結(jié)果也不提供特殊的位置信息。例1.3.4中的兩個序列滿足上述條件，直接調(diào)用conv函數(shù)求解例1.3.4的卷積計算程序ep13

22、4.m如下：%ep134.m：例1.3.4的卷積計算程序xn=1 1 1 1 ; hn=1 1 1 1; yn=conv(xn, hn); 運行結(jié)果：yn=1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 顯然，當(dāng)兩個序列不是從0開始時，必須對conv函數(shù)稍加擴展。設(shè)兩個位置向量已知的序列：x(n)；nx=nxs:nxf，h(n)； nh=nhs:nhf，要求計算卷積：y(n)=h(n)*x(n)以及y(n)的位置向量ny。下面編寫計算這種卷積的通用卷積函數(shù)convu。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 根據(jù)卷積原理知道， y(n)的起始點和終止點分別為：nys=nhs+

23、nxs，nyf=nhf+nxf。調(diào)用conv函數(shù)寫出通用卷積函數(shù)convu如下：function y, ny=convu(h, nh, x, nx) %convu 通用卷積函數(shù)，y為卷積結(jié)果序列向量，%ny是y的位置向量, h和x是有限長序列，%nh和nx分別是h和x的位置向量nys=nh(1)+nx(1); nyf=nh(end)+nx(end); %end表示最后一個元素的下標(biāo)y=conv(h, x); ny=nys:nyf; 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 如果h(n)=x(n)=R5(N+2)，則調(diào)用convu函數(shù)計算y(n)=h(n)*x(n)的程序如下： h=ones(1, 5)

24、; nh=2:2; x=h; nx=nh; y, ny=convu(h, nh, x, nx)運行結(jié)果：y = 1 2 3 4 5 4 3 2 1ny=4 3 2 1 0 1 2 3 4 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律。它們分別用公式表示如下：（1.3.9） （1.3.8） （1.3.10） )()()()(nxnhnhnx)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnx)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 以上三個性質(zhì)請讀者自己證明。（1.3.8）式表示卷積服從交換律。（1.3.9）和（

25、1.3.10）式分別表示卷積的結(jié)合律和分配律。設(shè)h1(n)和h2(n)分別是兩個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，x(n)表示輸入序列。按照（1.3.9）式的右端，信號通過h1(n)系統(tǒng)后再通過h2(n)系統(tǒng)，等效于按照（1.3.9）式左端，信號通過一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h1(n)*h2(n)，如圖1.3.3(a)、(b)所示。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 該式還表明兩系統(tǒng)級聯(lián)，其等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)的卷積。按照（1.3.10）式，信號同時通過兩個系統(tǒng)后相加，等效于信號通過一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)之和，如圖1.3.3(c)、(

26、d)所示。換句話說，系統(tǒng)并聯(lián)的等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩個系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)之和。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.3.3卷積的結(jié)合律和分配律第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 需要再次說明的是，關(guān)于系統(tǒng)級聯(lián)、并聯(lián)的等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與原來兩系統(tǒng)分別的單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系，是基于線性卷積的性質(zhì)，而線性卷積是基于線性時不變系統(tǒng)滿足線性疊加原理。因此, 對于非線性或者非時不變系統(tǒng)，這些結(jié)論是不成立的。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 再考察（1.3.11）式，它也是一個線性卷積式，它表示序列x(n)與單位脈沖序列的線性卷積等于序列本身x(n)，（1.3.11） mnnxmnmxnx)

27、()()()()(第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 如果序列與一個移位的單位脈沖序列(nn0)進行線性卷積，就相當(dāng)于將序列本身移位n0(n0是整常數(shù))，如下式表示：上式中求和項只有當(dāng)m=nn0時才有非零值，因此得到：（1.3.12） mmnnmxnnnxny)()()()()(00)()()(00nnxnnnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 【例例1.3.6】在圖1.3.4中，h1(n)系統(tǒng)與h2(n)系統(tǒng)級聯(lián)，設(shè)求系統(tǒng)的輸出y(n)。 1|),()()4()()()()(21anuanhnnnhnunxn第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.3.4例1.3.5框圖第1章時域離散信號和時域

28、離散系統(tǒng) 解解先求第一級的輸出m(n)，再求y(n)。 )3()2() 1()()3()2() 1()()()()()()()()()4()()4()()()()4()()()()()(3214241nuanuanuanuannnnnuanuanRnhnmnynRnununnunnunnnunhnxnmnnnnnn30)(iininua第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.3.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性如果系統(tǒng)n時刻的輸出只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而和n時刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。如果n時刻的輸出還取決于n時刻以后的輸入序

29、列，在時間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實現(xiàn)，則系統(tǒng)被稱為非因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足下式： （1.3.13） 滿足（1.3.13）式的序列稱為因果序列，因此因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)必然是因果序列。因果系統(tǒng)條件（1.3.13）式從概念上也容易理解，因為單位脈沖響應(yīng)是輸入為(n)的零狀態(tài)響應(yīng)，在n=0時刻以前即n0時，沒有加入信號，輸出只能等于零，因此得到因果性條件（1.3.13）式。0, 0)(nnh第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 所謂穩(wěn)定系統(tǒng)，是指對有界輸入，系統(tǒng)輸出也是有界的。系

30、統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對可和，用公式表示為（1.3.14） nnh| )(|第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 證明證明先證明充分性。 因為輸入序列x(n)有界，即kkknxkhnyknxkhny| )(|)(| )(|)()()(8為任意常數(shù)BnBnx , | )(|第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 因此如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足（1.3.14）式，那么輸出y(n)一定也是有界的，即kkhBny| )(| )(| | )(|ny第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 下面用反證法證明其必要性。如果h(n)不滿足(1.3.14)式，即, 那么總可以找到一個或若干個有界的輸入來引起無

31、界的輸出，例如： nnh| )(|0)(00)()()()(nhnhnhnhnxkknxkhny)()()(第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 令n=0, 有上式說明n=0時刻的輸出為無界，系統(tǒng)不穩(wěn)定，證明了（1.3.14）式條件的必要性。 kkkkhkhkhkhkxkhy| )(| )(|)()()()()0(第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 【例例1.3.7】設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解解由于n0時，h(n)=0，因此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。|1|1lim|lim| )(|100aaaanhNNnNnnnNn第1章時域離散信號

32、和時域離散系統(tǒng) 只有當(dāng)|a|1時, 才有因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|1；否則，|a|1時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定時，h(n)的模值隨n加大而減小，此時序列h(n)稱為收斂序列。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，h(n)的模值隨n加大而增大，則稱為發(fā)散序列。 nanh|11| )(|第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 【例例 1.3.8】設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=u(n)，求對于任意輸入序列x(n)的輸出y(n)， 并檢驗系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解解kknukxnhnxnynunh)()()()()()()(因為當(dāng)nk0的方向遞推，是一個因果解。但對于差分方程，其本身也可以向n0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分

33、方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進行限制。下面就是向方向n0遞推的例題。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 【例例1.4.2】設(shè)差分方程為求輸出序列y(n)。 , 0, 0)(),()( )() 1()(nnynnxnxnayny)()() 1(1nnyany121111) 1(|)1() 1()2(,1)0()0() 1(,00)1 () 1 ()0(,1nany，nnayaynayaynyayn時時時時第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 將n1用n代替，得到：這確實是一個非因果的輸出信號。用差分方程求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，由于單位脈沖響應(yīng)是當(dāng)系統(tǒng)輸入(n)時的零

34、狀態(tài)響應(yīng)，因此只要令差分方程中的輸入序列為(n)，N個初始條件都為零，其解就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。實際上例題1.4.1（1）中求出的y(n)就是該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，例題1.4.2求出的y(n)則是一個非因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。) 1()(nuanyn第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 最后要說明的是，一個線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。如果系統(tǒng)是因果的，一般在輸入x(n)=0(nn0)時，則輸出y(n)=0(nn0)，系統(tǒng)是線性非時變系統(tǒng)。下面介紹用MATLAB求解差分方程。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) MATLAB 信號處理工具箱提供的fil

35、ter函數(shù)實現(xiàn)線性常系數(shù)差分方程的遞推求解，調(diào)用格式如下：yn=filter(B, A.xn)計算系統(tǒng)對輸入信號向量xn的零狀態(tài)響應(yīng)輸出信號向量yn，yn與xn長度相等，其中，B和A是（1.4.2）式所給差分方程的系數(shù)向量，即 B=b0, b1, , bM, A=a0, a1, ,aN其中a0=1，如果a01，則filter用a0對系數(shù)向量B和A歸一化。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) yn=filter(B, A.xn，xi)計算系統(tǒng)對輸入信號向量xn的全響應(yīng)輸出信號yn。所謂全響應(yīng)，就是由初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)和由輸入信號xn引起的零狀態(tài)響應(yīng)之和(在 2.4.3 節(jié)介紹)。其中, xi是

36、等效初始條件的輸入序列，所以xi是由初始條件確定的。MATLAB信號處理工具箱提供的filtic就是由初始條件計算xi的函數(shù), 其調(diào)用格式如下：xi=filtic(B, A, ys, xs)其中，ys和xs是初始條件向量：ys= y(1)，y(2)，y(3)，y(N)，xs= x(1)， x（2），x(3)，x(M) 。如果xn是因果序列，則xs=0，調(diào)用時可缺省xs。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 例1.4.1的MATLAB求解程序ep141.m如下：%ep141.m：調(diào)用filter解差分方程y(n)ay(n1)=x(n)a=0.8; ys=1; %設(shè)差分方程系數(shù)a=0.8, %初始狀態(tài)

37、: y(1)=1xn=1, zeros(1, 30); %x(n)=單位脈沖序列, 長度N=31B=1; A=1, -a; %差分方程系數(shù)xi=filtic(B, A, ys); %由初始條件計算等效初始條件的輸入序列xi第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) yn=filter(B, A, xn, xi); %調(diào)用filter解差分方程, 求系統(tǒng)輸出信號y(n)n=0:length(yn)-1; subplot(3, 2, 1); stem(n, yn, .)title(a); xlabel(n); ylabel(y(n) 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 程序中取差分方程系數(shù)a=0.8時，得到系

38、統(tǒng)輸出y(n)如圖1.4.1（a）所示，與例1.4.1的解析遞推結(jié)果完全相同。如果令初始條件y(1)=0 (僅修改程序中ys=0)，則得到系統(tǒng)輸出y(n)=h(n)，如圖1.4.1（b）所示。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.4.1例1.4.1求解程序輸出波形第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.5模擬信號數(shù)字處理方法模擬信號數(shù)字處理方法在緒論中已介紹了數(shù)字信號處理技術(shù)相對于模擬信號處理技術(shù)的許多優(yōu)點，因此人們往往希望將模擬信號經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號，再采用數(shù)字信號處理技術(shù)進行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號。這種處理方法稱為模擬信號數(shù)字處理方法。其原理框圖如圖1.5.

39、1所示。圖中的預(yù)濾與平滑所起的作用在后面介紹。本節(jié)主要介紹采樣定理和采樣恢復(fù)。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理框圖第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 1.5.1采樣定理及采樣定理及A/D變換器變換器對模擬信號進行采樣可以看做一個模擬信號通過一個電子開關(guān)S。設(shè)電子開關(guān)每隔周期T合上一次，每次合上的時間為T，在電子開關(guān)輸出端得到其采樣信號 。該電子開關(guān)的作用等效成一寬度為，周期為T的矩形脈沖串pT(t)，采樣信號 就是xa(t)與pT(t)相乘的結(jié)果。采樣過程如圖1.5.2(a)所示。如果讓電子開關(guān)合上時間0，則形成理想采樣，此時上面的脈沖串變成單位沖激串，用p(t)表

40、示。p+(t)中每個單位沖激處在采樣點上，強度為1，理想采樣則是xa(t)與p(t)相乘的結(jié)果，采樣過程如圖1.5.2(b)所示。用公式表示為 )(atx)(atx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （1.5.1） 上式中(t)是單位沖激信號，在上式中只有當(dāng)t=nT時，才可能有非零值，因此寫成下式：（1.5.2） nnTttP)()()()()()()(aaanTttxtPtxtxn)()()(aanTtnTxtxn第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.5.2對模擬信號進行采樣 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 下面研究理想采樣前后信號頻譜的變化，從而找出為了使采樣信號能不失真地恢復(fù)原模擬信號

41、，采樣速率Fs(Fs=T1)與模擬信號最高頻率fc之間的關(guān)系。我們知道在傅里葉變換中，兩信號在時域相乘的傅里葉變換等于兩個信號分別的傅里葉變換的卷積，按照（1.5.2）式，推導(dǎo)如下： 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 設(shè) 對（1.5.1）式進行傅里葉變換，得到 （1.5.3） )(FT)j ()(FT)j ()(FT)j (aaaatpPtxXtxXkkkaP)(2)j (s第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 式中，s=2/T，稱為采樣角頻率，單位是rad/s。因此2/2/j1de )(1sTttkkTttTakkTP)(2)j (s（1.5.4） 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （1.5.5

42、） kkkkXTkXTkXTPXX)jj (1d)()j (1d)()j (221)j ()j (21)j (sasasaaa第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 上式表明理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率s重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說理想采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜以s為周期，進行周期性延拓而成的。第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 在圖1.5.3中，設(shè)xa(t)是帶限信號，最高頻率為c，其頻譜Xa(j)如圖1.5.3(a)所示。p(t)的頻譜P(j)如圖1.5.3(b)所示，那么按照（1.5.5）式，的頻譜如圖 1.5.3(c)所示，圖中原模擬信號的頻譜稱為基帶頻譜。如果

43、滿足s2c，或者用頻率表示該式，即滿足Fs2fc，基帶譜與其它周期延拓形成的譜不重疊，如圖1.5.3(c)所示情況，可以用理想低通濾波器G(j)從采樣信號中不失真地提取原模擬信號，如圖1.5.4所示。)(atx)j (aX第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 但如果選擇采樣頻率太低，或者說信號最高截止頻率過高，使Fs2fc, Xa(j)按照采樣頻率Fs周期延拓時，形成頻譜混疊現(xiàn)象，用圖1.5.3(d)表示。這種情況下，再用圖 1.5.4 所示的理想低通濾波器對Xa(t)進行濾波，得到的是失真了的模擬信號。下面用公式表示： 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （1.5.6） ss21| 021| )j

44、 (TGscaascaaa1aaaa21 )()(21 )()()j (FT)()j ()j ()(FT)j (txtytxtyYtyGXtyY第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 這里需要說明的是，一般頻譜函數(shù)是復(fù)函數(shù)，相加應(yīng)是復(fù)數(shù)相加，圖1.5.3和圖1.5.4僅是示意圖。一般稱Fs/2為折疊頻率，只有當(dāng)信號最高頻率不超過Fs/2時，才不會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，否則超過Fs/2的頻譜會折疊回來而形成混疊現(xiàn)象，因此頻率混疊在Fs/2附近最嚴(yán)重。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.5.3采樣信號的頻譜 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖1.5.4采樣恢復(fù) 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 總結(jié)

45、上述內(nèi)容，采樣定理敘述如下：（1） 對連續(xù)信號進行等間隔采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率s為周期進行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。（2） 設(shè)連續(xù)信號xa(t)屬帶限信號，最高截止頻率為c，如果采樣角頻率s2c，那么讓采樣信號通過一個增益為T、 截止頻率為s/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號xa(t)。否則, s/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時域上，就是恢復(fù)出的模擬信號是臺階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對時間波形起平滑作用，這也就是在圖1.5.1模擬信號數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波器的原因。雖然這種

46、零階保持器恢復(fù)的模擬信號有些失真，但簡單、易實現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。實際中，將解碼器與零階保持器集成在一起，就是工程上的D/AC器件。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖 1.5.10零階保持器的頻率特性 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 習(xí)題與上機題習(xí)題與上機題1. 用單位脈沖序列(t)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。 第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 題1圖第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2給定信號：（1） 畫出x(n)序列的波形，標(biāo)上各序列值；（2） 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；（3） 令x1(n)=2x(n2)，試畫出x1(n)波形；（4） 令x2(n)=2x

47、(n+2)，試畫出x2(n)波形；（5） 令x3=x(2n)，試畫出x3(n)波形。 其它04061452)(nnnnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 3 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的，確定其周期。（1） A是常數(shù)（2） 4 對題1圖給出的x(n)要求：（1） 畫出x(n)的波形；（2） 計算，并畫出xe(n)波形；,873cos)(nAnx)81( j)(nenx)()(21)(enxnxnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （3） 計算，并畫出x0(n)波形；（4） 令x1(n)=xe(n)+x0(n), 將x1(n)與x(n)進行比較，你能得到什么結(jié)論？ 5 設(shè)系統(tǒng)分別用下

48、面的差分方程描述，x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 )()(21)(0nxnxnx第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) （3）y(n)=x(nn0)n0為整常數(shù)（4）y(n)=(n)（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）（8）y(n)=x(n)sin(n)nmmxny0)()(第1章時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 6 給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說明理由。（1） （2） y(n)=x(n)+x(n+1)（3） （4） y(n)=x(nn0)（5） y(n)=ex(n)10)(1)(Nkkn