正項級數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上正項級數(shù)收斂性判別法的比較及其應(yīng)用摘 要：文章主要介紹了正項級數(shù)收斂的幾種主要的求解方法，通過這九種方法相互進行比較，運用典型的正項級數(shù)的例題，從而增加解決正項級數(shù)的證明方法。關(guān)鍵詞：正項級數(shù)；收斂；典型；方法；比較 Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive

2、 series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言數(shù)學(xué)分析作為數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。級數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，在實際生活中的運用也較為廣泛，如經(jīng)濟問題等。而正項級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題，要想解決正項級數(shù)的求和問題必須先解決正項級數(shù)收斂性判斷。正項級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點分析、判斷

3、選擇適宜的方法進行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用典型方法，才能事半功倍。二、預(yù)備知識1、正項級數(shù)收斂的充要條件 部分和數(shù)列有界，即存在某正數(shù)M，對，有<M。2、幾種不同的判別法(1)比較判別法設(shè)和是兩個正項級數(shù)，如果存在某正數(shù)N，對一切n>N都有那么若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散；比較判別法的極限形式 ：設(shè)和是兩個正項級數(shù)。若，則當時，與同時收斂或同時發(fā)散；當且級數(shù)收斂時，也收斂；當且發(fā)散時，也發(fā)散。(2) 比值判別法設(shè)為正項級數(shù)， ，有若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂；若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散。(3) 根式判別法設(shè)是正

4、項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù)M若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂；若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散。根式判別法的極限形式： 設(shè)是正項級數(shù)，且，則當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)的斂散性進一步判斷。(4) 柯西積分判別法對于正項級數(shù)，設(shè)單調(diào)減少的數(shù)列，作一個連續(xù)的單調(diào)減少的正值函數(shù)，使得當x等于自然數(shù)n時，其函數(shù)恰為。那么級數(shù)積分，同時收斂或同時發(fā)散。(5) 拉貝判別法 設(shè)是正項級數(shù)，且存在自然數(shù)及常數(shù)r，若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散；若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂拉貝判別法的極限形式：設(shè)是正項級數(shù)，且極限存在，則當時，級數(shù)收斂；當時，級數(shù)發(fā)散。當時，拉貝判別法無法判斷。(6)

5、阿貝爾判別法如果： 級數(shù)收斂；數(shù)列單調(diào)有界，則級數(shù)收斂。(7) 狄立克萊判別法變量級數(shù)判別法如果：級數(shù)的部分和有界，數(shù)列單調(diào)趨近于零，則級數(shù)收斂。注：阿貝爾判別法與狄立克萊判別法是任意級數(shù)判別法，但也適用正項級數(shù)。(8) 對數(shù)判別法設(shè)，為正項級數(shù)，若，收斂，發(fā)散。(9) 高斯判別法 設(shè)為正項級數(shù)，若，則在時，級數(shù)收斂;時，級數(shù)發(fā)散。三、 判別方法的比較1、當級數(shù)可化為含參數(shù)的一般式、通項為等差或等比值或通項為含有二項以上根式的四則運算且通項極限無法求出時，可以選用正項級數(shù)的比較判別法判斷。如：（1） 取，若令所以級數(shù)發(fā)散（2） = =S=P級數(shù)只能用正項級數(shù)的比較判別法進行判斷最為簡便。2、當

6、級數(shù)表達式形如，為任意函數(shù)的因子可以進行適當?shù)姆趴s，并與幾何級數(shù)、P級數(shù)、調(diào)和級數(shù)進行比較、不易算出或、等此類無法判斷級數(shù)收斂性或進行有關(guān)級數(shù)的證明問題時，應(yīng)選用比較判別法。例：（1） 級數(shù)收斂（2） 級數(shù)收斂比較判別法使用適用于大部分無法通過其它途徑判別其斂散性的正項級數(shù)。3、當級數(shù)含有n的階乘，n次冪，形如或或分子、分母含多個因子連乘除時，選用比值判別法。當通項含的函數(shù)可以選用比值判別法的極限形式進行判斷，例： （1） 級數(shù)發(fā)散（2） 利用時，有等價無窮小關(guān)系，若記，則，所以級數(shù)收斂當4、當級數(shù)含有n次冪，形如或或通項即分母含有含的函數(shù)，分子為1，或級數(shù)含有多個聚點時，可選用根式判別法。例

7、如：（1）級數(shù)收斂一般來說，當選用根式判別法無法判斷時，我們也可以選用比值判別法來判斷，但有時候我們用根式判別法而不使用比值判別法，因為根式判別法得到的收斂條件比比值判別法更優(yōu)。例如：（2） 用根式判別法bc>1，級數(shù)發(fā)散bc<1，級數(shù)收斂bc=1，原式 級數(shù)發(fā)散用比值判別法 級數(shù)收斂 級數(shù)發(fā)散由例題可知，兩種判別法都可以用來判斷上題，但根式判別法與比值判別法相比得出的收斂范圍更小，約束條件更為詳細。因此，上題選用根式判別法比比值判別法更好。在使用判別法時，我們可以選用根式判別法找到最佳收斂條件。同時也存在只能使用根式判別法，使用比值判別法無法判斷的情況。例如：（3） 級數(shù)收斂不可

8、使用比值判別法 無法判斷斂散性因此，當我們觀察級數(shù)的一般項的極限趨近于0時，我們可以選用比值判別法或根式判別法。5、當級數(shù)表達式形如，為含有的表達式或可以找到原函數(shù)，或級數(shù)為上非負單調(diào)遞減函數(shù)，含有等的因子可以找到原函數(shù)，可以選用柯西積分判別法。例：，其中因為發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散6、當通項是由兩個部分乘積而成，其中一部分為單調(diào)遞減且極限趨于0的數(shù)列，另一部分為部分和有界的數(shù)列；或可化為，如：；也可以行如，為任意函數(shù)，則可以選用狄立克萊判別法。阿貝爾判別法也可以看成是狄立克萊判別法的特殊形式。例：設(shè)收斂，則級數(shù)，等都是極限。7、當通項可通過泰勒展開式等方法找到其等價式，則可以通過判斷其等價式的斂散

9、性來判斷原正項級數(shù)的斂散性，這需要對泰勒展開式能夠較為熟練的使用，以及對各種等價式能夠熟練的運用。例：（1） （泰勒展開式） = =因為收斂 所以原級數(shù)收斂8、當?shù)闹悼苫癁樘├臻_式，則選用高斯判別法。如：（1） ， 級數(shù)收斂， 級數(shù)發(fā)散（2） ，當n充分大時，當，級數(shù)為如果，則級數(shù)收斂；如果，則級數(shù)發(fā)散當， = 其中當時，由洛必達法則級數(shù)收斂9、當通項或可以選用對數(shù)判別法。例：對當時， 級數(shù)收斂四、應(yīng)用舉例例1 分析：本題無法使用根式判別法與比值判別法，因此選擇比較判別法進行判斷解 且級數(shù)收斂所以級數(shù)收斂例2 分析：本題無法使用根式判別法、比值判別法，或比較判別法以及其他的判別法進行判斷，因此

10、選用充要條件進行判斷。解 單調(diào)遞增且有界所以級數(shù)收斂例3 分析：本題中通項含有階層，但不能使用根式判別式或比值判別式進行判斷，因此選用拉貝判別法。解 所以當，即，級數(shù)收斂例4 分析：本題中分子含有，無法用比值判別法或其他方法判別，這種類型也是根式判別法的典型類型，取上極限進行判斷，因此，選用根式判別法。解 極限收斂例5 分析：通過觀察，本題可以使用充要條件進行判斷，但等價判斷法進行判斷更為便捷。解 所以又收斂收斂五、 總結(jié)與展望判斷正項級數(shù)的一般順序是先檢驗通項的極限是否為0，若為0則發(fā)散，若不為0則判斷級數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散。若級數(shù)的一般項可以進行適當?shù)姆趴s則使用比較判別

11、法，或可以找到其等價式用等價判別法。當通項具有一定的特點時，則根據(jù)其特點選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法或拉貝判別法。當上述方法都無法使用時，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法、庫默判別法或高斯判別法。庫默爾判別法可以推出比值判別法、拉貝爾判別法與伯爾特昂判別法。當無法使用根式判別法時，通?？梢赃x用比值判別法，當比值判別法也無法使用時，使用比較判別法，若比較判別法還是無法判別時再使用充要條件進行斷。由此，我們可以得到正項級數(shù)的判別法是層層遞進使用的，每當一種判別法無法判斷時，就出現(xiàn)一種新的判別法來進行判斷，因此正項級數(shù)的判別法有無窮多種。正項級數(shù)收斂性判斷的方法雖然較多，但使用起來仍有

12、一定的技巧，根據(jù)不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷，能夠最大限度的節(jié)約時間，提高效率，特別是一些典型問題，運用典型方法，才能事半功倍。本文歸納總結(jié)正項級數(shù)收斂性判斷的一些典型方法，比較這些方法的不同特點，總結(jié)出一些典型的正項級數(shù)，根據(jù)不同的題目特點分析、判斷選擇適宜的方法進行判斷。正項級數(shù)收斂判別法也可用于判定負項級數(shù)及變號級數(shù)的絕對收斂性，也可以推廣到傅立葉級數(shù)的斂散性判別，在復(fù)變函數(shù)中也可以用于判定級數(shù)在復(fù)平面上的斂散性和收斂半徑。由于時間倉促，本文尚有許多不足之處，歡迎大家提出意見和建議，同時希望通過本文能加深學(xué)習(xí)者對正項級數(shù)的了解。參考文獻1陳欣. 關(guān)于數(shù)項級數(shù)求和的幾種特殊方法 J . 武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2002，4.2陳金梅. 冪級數(shù)求和法例談 J . 石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院報，2005，9.3夏學(xué)啟. 貝努利數(shù)的簡明表達法 J . 蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2006，2.4吳良森等編著. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解 M . 北京：科學(xué)出版社，2002，2.5費定暉，周學(xué)圣編著. 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解 M . 濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2005，1.6周應(yīng)編著. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題及解答 M .