結(jié)構(gòu)動力計算概念

1、 結(jié)構(gòu)動力計算概念，動力計算自由度，建立體系的運動方程。單自由度體系的自由振動（頻率、周期和振幅的計算）。 單自由度體系在簡諧荷載作用下的的強(qiáng)迫振動（動內(nèi)力、動位移計算）。 阻尼對振動的影響。 多自由度體系的自由振動（頻率、振型及振型正交性）。 多自由度體系在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動（動內(nèi)力、動位移計算）。 頻率、振型的近似計算方法。學(xué)習(xí)目的和要求 學(xué)習(xí)內(nèi)容 在動荷載作用下，結(jié)構(gòu)發(fā)生振動，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力、位移等將隨時間變化。確定它們的變化規(guī)律，從而得到這些量值的最大值，以便做出合理的動力設(shè)計是本章的學(xué)習(xí)目的。 第第1 14章章 結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué) 本章基本要求： 掌握動力自由度的判別方法。 掌握

2、單自由度、多自由度體系運動方程的建立方法。 熟練掌握單自由度體系、兩個自由度體系動力特性的計算。 熟練掌握單自由度體系、兩個自由度體系在簡諧荷載作用下 動內(nèi)力、動位移的計算。 掌握阻尼對振動的影響。 了解自振頻率的近似計算方法。 1. 結(jié)構(gòu)動力計算的特點結(jié)構(gòu)動力計算的特點 (1) 荷載、約束力、內(nèi)力、位移等隨時間變化，都是時間的函數(shù)。 (2) 建立平衡方程時要考慮質(zhì)量的慣性力。2. 動荷載分類動荷載分類 (1) 周期荷載周期荷載 (2) 沖擊荷載沖擊荷載 (3) 快速移動荷載快速移動荷載 14-1 概概 述述 (4) 隨機(jī)荷載隨機(jī)荷載3結(jié)構(gòu)動力計算的內(nèi)容結(jié)構(gòu)動力計算的內(nèi)容(1) 確定結(jié)構(gòu)的動力

3、特性 即結(jié)構(gòu)本身的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。 (2) 計算結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng) 即結(jié)構(gòu)在動荷載作用下產(chǎn)生的動內(nèi)力、動位移等。 1. 結(jié)構(gòu)振動的自由度結(jié)構(gòu)振動的自由度 確定運動過程中任意時刻全部質(zhì)量的位置所需獨立幾何參數(shù)的數(shù)目稱為體系的振動自由度。 (1) 單自由度結(jié)構(gòu)單自由度結(jié)構(gòu)：具有1個自由度的結(jié)構(gòu)。2. 連續(xù)質(zhì)量的簡化連續(xù)質(zhì)量的簡化 (1) 集中質(zhì)量法集中質(zhì)量法 (2) 多自由度結(jié)構(gòu)多自由度結(jié)構(gòu)：自由度大于1的結(jié)構(gòu)。14-2 結(jié)構(gòu)振動的自由度結(jié)構(gòu)振動的自由度 (2) 廣義坐標(biāo)法廣義坐標(biāo)法 3. 振動自由度的確定振動自由度的確定 基本假定：（1）不考慮集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動；（2）受彎直桿任兩點之間的距離

4、保持不變。對于具有集中質(zhì)量的體系，可通過加支桿限制質(zhì)量運動的辦法確定體系的自由度。自由度數(shù)目即等于所加入鏈桿的數(shù)目（如圖14-2）。 圖14-2振動體系的自由度數(shù)與計算假定有關(guān)，而與集中質(zhì)量的數(shù)目和超靜定次數(shù)無關(guān)。如圖14-3所示的體系。 圖14-3自由振動是指結(jié)構(gòu)在初始干擾（初位移或初速度）下開始振動，而在振動過程中不受外部干擾力作用的那種振動。如圖14-4所示。原有平衡位置強(qiáng)迫偏離位置圖14-414-2 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動1不考慮阻尼時的自由振動不考慮阻尼時的自由振動 (1) 剛度法列動力平衡方程剛度法列動力平衡方程 各單自由度的振動狀態(tài)，都可以用一個簡單的質(zhì)點彈

5、簧模型來描述，如圖14-5a所示。(c)(b)(a)FIymFIFem靜力平衡位置my圖14-511eFk y IFmy 設(shè)質(zhì)點位移y和質(zhì)點受到的力都以向下為正。取質(zhì)點為研究對象(圖14-5b)作用在質(zhì)點上的彈性力( )和假想地加在質(zhì)點上的慣性力( )互相平衡，建立平衡方程得運動方程為：110myk y （a）令： 211km（14-1）有 20yy （14-2）這就是單自由度結(jié)構(gòu)在自由振動時的微分方程。(2) 柔度法列位移方程柔度法列位移方程 取體系為研究對象，在質(zhì)點上假想地加上慣性力IFmy 看作是一靜力荷載，質(zhì)點位移為慣性力產(chǎn)生的靜位移，列出運動方程為： 1111IyFmy 即 110m

6、yk y （3）運動微分方程的解）運動微分方程的解0y0y 設(shè)初位移，初速度為，則求解以上方程可得任一時刻質(zhì)點 位移為：00( )cossinsin()yy tyttAt (14-3)其中y0為初始位移，0y 為初始速度，為自振頻率。結(jié)構(gòu)的振動是由兩部分組成，一部分是由初位移引起，表現(xiàn)為余弦規(guī)律；另一部分是由初速度引起，表現(xiàn)為正弦規(guī)律（圖14-6a、b）。(a)yyytttaaaa oooy00yT=0y(b)(c)圖14-6若令0sinya0cosya， 振幅和相位角22002yay（14-4）00tanyy (14-5) 則有 sin()yat （14-6） cos()yat（14-7）（

7、4）自振頻率的計算）自振頻率的計算 自振周期：T=2/。1111111stkggmmmg (14-8)其中： 柔度系數(shù)11表示在質(zhì)點上沿振動方向加單位荷載時，使質(zhì)點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。 剛度系數(shù)11k表示使質(zhì)點沿振動方向發(fā)生單位位移時，須在質(zhì)點上沿振動方向施加的力。 st=W11表示在質(zhì)點上沿振動方向加數(shù)值為W=mg的力時質(zhì)點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。 計算自振頻率計算自振頻率時可根據(jù)體系的具體情況，視時可根據(jù)體系的具體情況，視d11、k11、DST三三者中哪一個最便于計算來選用。者中哪一個最便于計算來選用。 (1) 自振頻率（自振周期）只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，自振頻率（自振周期）只

8、與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，與初始條件及外界的干擾力無關(guān)。初始條件及干擾力只影響振幅與初始條件及外界的干擾力無關(guān)。初始條件及干擾力只影響振幅a和相位角和相位角f 。 (2) 自振頻率與質(zhì)量的平方根成反比，質(zhì)量越大，頻率越小；自振自振頻率與質(zhì)量的平方根成反比，質(zhì)量越大，頻率越小；自振頻率與剛度的平方根成正比，剛度越大，頻率越大；要改變結(jié)構(gòu)的頻率與剛度的平方根成正比，剛度越大，頻率越大；要改變結(jié)構(gòu)的自振頻率，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或度著手。自振頻率，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或度著手。 例例14-1 圖圖14-7所示三種支承情況的梁，其跨度都為所示三種支承情況的梁，其跨度都為l，且，且EI都相都相等，在

9、中點有集中質(zhì)量等，在中點有集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮梁的自重時，試比較這三者。當(dāng)不考慮梁的自重時，試比較這三者的自振頻率。的自振頻率。 解：由式（解：由式（14-8）可知，先要計算重力位移，由前面學(xué)過的位移）可知，先要計算重力位移，由前面學(xué)過的位移計算方法，可分別求得在自重計算方法，可分別求得在自重F=mg作用下的靜力位移為作用下的靜力位移為m(a)Fl(b)m3Fl5Fl32m(c)FlFlFll22ll22ll22l888416圖14-73148FlEI 327768FlEI 33192FlEI ，代入式（14-8）即可求得三種情況的自振頻率分別為1348EIml237687EIml33192E

10、Iml ， ，距此可得123:1:1.51:2說明隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)地增高。 2 2考慮阻尼時的自由振動考慮阻尼時的自由振動 y FIFeFRm粘滯阻尼力的分析比較簡單，表達(dá)式為： FR=。其它形式的阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析， 質(zhì)點上受到的力如圖14-8所示。結(jié)構(gòu)自由振動時的動力平衡方程為 0IReFFF即，110myyk y 圖14-8 211km2km令，則有 220ykyy（14-9）令 220ykyy（14-10） 為有阻尼自振頻率。 （1）在小阻尼在小阻尼（k）的情況下，微分方程的解為 000cossinktykyybeytt（14-11）sin()kty

11、bet（14-12）其中 22000()ykyby000tanyyky（14-13）（14-14）令 k，稱為阻尼比阻尼比。22221 ()1kk通常當(dāng)1為大阻尼為大阻尼，體系不具有振動的性質(zhì)，在實際問題中很少遇到。cr（3）當(dāng)）當(dāng)=1時的阻尼稱為臨界阻尼時的阻尼稱為臨界阻尼；相應(yīng)的值稱為表示，則臨界阻尼系數(shù)，用22crmkm22crkmkm， cr阻尼比即為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。 1414-4 4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動單自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動 當(dāng)干擾力( )F t直接作用在質(zhì)點上，質(zhì)點的受力將如圖14-10所示，動力平衡方程為 mFeFIFRF(t)圖1

12、4-10( )0IReFFFF t11( )myyk yF t即 212( )yyyP tm（14-18） 齊次方程的通解為012(cossin )tyeBtBt簡諧荷載的一般式可表示為 ( )sinF tFt（a） （14-19） 微分方程（14-18）為：22sinFyyytm（14-20） 設(shè)式（14-20）有一個特解12sincosyCtCt（b） 代入式（14-20）可求出C1、C2，再由初始條件確定出B1、B2后，可得 000222222222222222222cossin 2()2cossin ()4()sin2cos()4ttyyyeyttFettmFttm （14-21） 振

13、動由三部分組成：第一部分是由初始條件決定的自由振動；第二部分是與初始條件無關(guān)而伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動，但其頻率與體系的自振頻率 一致，稱為伴生自由振動。 隨時間的推移而很快衰減掉， 最后只剩下按干擾力頻率稱為純強(qiáng)迫振動或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動（圖14-11）。 而振動的第三部分，o22yt圖14-11 1. 不考慮阻尼的純受迫振動不考慮阻尼的純受迫振動無阻尼體系平穩(wěn)階段的動位移 22( )sin()Fy ttm 最大的動力位移（即振幅）為 222221()1FFAmm即 2211stAy112211stAFy式中11styF代表將振動荷載的最大值F作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)上時所引起的靜力位移，而（14

14、-22） （14-23） （14-24） （14-25） 為最大的動力位移與靜力位移之比，稱為位移動力系數(shù)。 2. 考慮阻尼的純受迫振動考慮阻尼的純受迫振動取式（14-21）的第三項，整理后有 sin()yAt其中 2222221()4FAm 1222tan ()振幅 相位差 振幅A可寫為 222222214(1)stFAym （14-29） （14-28） （14-27） （14-26） 動力系數(shù) 2222221(1)4（14-30） 548.8 10ImFsintG2m2mm 例例14-2 重量G=35kN的發(fā)電機(jī)置于簡支梁的中點上（圖14-14），E=210GPa，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動時其并知梁的

15、慣性矩離心力的垂直分量為Fsint，且F=10kN。若不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時，梁的最大彎矩和撓度（梁的自重可略去不計）。圖14-14 解：解：在發(fā)電機(jī)重量作用下，梁中點的最大靜力位移為 33339535 1042.53 104848 210 108.8 10stGlmEI故自振頻率為 139.8162.32.53 10stgs干擾力的頻率為122 3.14 50052.36060ns動力系數(shù)為222113.452.31 ()162.3梁中點的最大彎矩為max35 43.4 10 46944GFstMMMkN m梁中點的最大撓度為3333max953(353

16、.4 10) 104484848 210 108.8 104.98 104.98FststGlFlyyEIEImmm 1414-5 5多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動1剛度法剛度法 列質(zhì)點的動力平衡方程，以質(zhì)點im為例，有 0iiRim yF （a） 由疊加原理可得1122RiiiiiiijjinnFk yk yk yk yk y（b） (e)yj=1kiikjikjikiiyi=1(d)FRi(c)y1yiyjyn-miyi(b)ynyjyiy1mnmjmi(a)m1圖14-19將式（b）代入（a）有11220iiiiinnm yk yk yk y（c） 對每個質(zhì)點可建立n個方程

17、 1111112212221122221122000nnnnnnnnnnnm yk yk yk ym yk yk yk ym yk yk yk y （14-31） 寫成矩陣形式為11111211222122221200000nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky （14-32） 或簡寫為MY+KY = 0（14-33） 即為多自由度結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動微分方程。 2柔度法柔度法任一質(zhì)點mi處的位移為 (c)(b)ynyjyiy1mnmjmi(a)m1ijiiji 1-miyi-m1y1-miyi-mnyn 1jjijji圖14-20111222()()()()()iiiiiii

18、ijjjinnnym ym ym ym ym y可建立n個上述類似的位移方程 11111122212211122222111222000nnnnnnnnnnnnnym ym ym yym ym ym yym ym ym y 寫成矩陣形式為11112111221222221200000nnnnnnnnnymyymyymy 或簡寫為Y +MY = 0（14-36） （14-35） （14-34） (d) 3按柔度法求解按柔度法求解振幅方程為 (21MI)A = 0 （14-37）頻率方程 21M-I = 0 （14-38）12n求解上述方程得出n個自振頻率，。 各階主振型為 ( )2(1,2, )

19、kkkn1MI)A= 0 （14-39） 4兩個自由度的結(jié)構(gòu)兩個自由度的結(jié)構(gòu)兩個自由度體系的振幅方程 1111122222111222221()01()0mAm Am AmA（g） 令21，則頻率方程為 （h） 頻率計算公式 (14-40) 兩個自振頻率為 112211（14-41） 第一主振型 111(1)2211(1)11221mAAm第二主振型 例例14-3 試求圖14-21a所示等截面簡支梁的自振頻率并確定其主振型。111(2)2222(2)11221mAAm（14-43） （14-42） 解：解：結(jié)構(gòu)有兩個自由度，由圖乘（圖14-21b、c）可得 311224243lEI312217

20、486lEI，代入式（14-40）且12mmm ,有(e)A1(2)(2)A2A2(1)(1)A1(d)l9229lF2=1(c)M2圖M1圖(b)(a)l33llmF1=13m 圖14-21 31111215()486mlmEI321112()486mlmEI，于是有133114865.6915EIEImlml2332148622.05EIEImlml第一振型為 (1)2111111121111(1)1122122()1AmmmAmm第二振型為(2)2211111121112(2)1122122()1AmmmAmm 5. 主振型的正交性主振型的正交性 主振型的正交性是指在多自由度體系和無限自

21、由度體系中，任意兩個不同的主振型相對于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。即：( )( )()0jTiAMA( )( )()0jTiAKA (14-44) (14-45) 14-6 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動多自由度結(jié)構(gòu)在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動1位移幅值計算位移幅值計算 (1) 柔度法柔度法建立的振動微分方程為 sinPtY+MY （14-46） 穩(wěn)態(tài)振動時的振幅方程 022110PMI Y000012TnyyyY (14-47)，為位移幅值向量；式中：P=1P 2P nPT，為荷載幅值引起的靜力位移列向量。 0iy0iy 求解式(14-47)，可得到各質(zhì)量的位移幅值，為正時表示質(zhì)量mi的

22、運動方向與計算柔度系數(shù)時置于其上的單位力方向相同，為負(fù)時，表示與單位力方向相反。(1,2, )kkn2KM0時，當(dāng)， 由式(14-38)可知，此時式（14-47）得到位移為無窮大。所以，一般情況下，n個自由度體系有n個共振點。 對于兩個自由度體系，穩(wěn)態(tài)振動時的位移幅值方程為 001111112222200221112222221()01()0PPmym ym ymy(14-48) (2) 剛度法剛度法建立的動力平衡方程（荷載作用在質(zhì)點上） sin tY+Y = F(14-49) 穩(wěn)態(tài)振動時的振幅方程為 20KM YF(14-50) 式中， F=F1 F2 FnT，為荷載幅值向量。2慣性力幅值計

23、算慣性力幅值計算慣性力 200sinsin,IiiiiiIiFm ymytFt 020IiiiFmy為慣性力幅值。 慣性力始終與位移同向。 (1) 求得位移后，由 020IiiiFmy求慣性力幅值。 (2) 如果只求動內(nèi)力，可不求動位移幅值，直接由下式求慣性力幅值。 10121PMF0(14-51) 兩個自由度體系慣性力幅值計算公式 001111121212100211122122221()01()0PPFFmFFm(14-52) 求得慣性力幅值Ii如為正，表示與計算柔度系數(shù)時置于質(zhì)量mi處的單位力方向相同，為負(fù)時，表示與單位力方向相反。 3. 動內(nèi)力幅值計算動內(nèi)力幅值計算 位移、慣性力、動荷

24、載頻率相同。對于無阻尼體系三者同時達(dá)到幅值。于是可將荷載幅值和慣性力幅值加在結(jié)構(gòu)上，按靜力學(xué)方法求解，即得到體系的最大動內(nèi)力和最大動位移。 4. 對稱性的利用對稱性的利用振動體系的對稱性是指：結(jié)構(gòu)對稱、質(zhì)量分布對稱，強(qiáng)迫振動時荷載對稱或反對稱。 多自由度和無限自由度對稱體系的主振型不是對稱就是反對稱，可分別取半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算。對稱荷載作用下，振動形式為對稱的；反對稱荷載作用下，振動形式為反對稱的，可分別取半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算。一般荷載可分解為對稱荷載和反對稱荷載兩組，分別計算再疊加。14-7 計算頻率的近似法1. 能量法能量法V( )( )T tV t 結(jié)構(gòu)在振動過程中，具有兩種形式的能量，一種是由于具有質(zhì)量和速度而構(gòu)成的動能，另一種是由于結(jié)構(gòu)變形而儲存的應(yīng)變能。由能量守恒原理，結(jié)構(gòu)在無阻尼自由振動過程