(6)萬有引力及天體運動

1、第七專題 萬有引力定律與天體運動解題知識與方法研究疑難題解答研究例題3（星球運動的阻力）例題1（天體軌道的判定）例題4（飛船著陸問題）例題5（飛船和宇航站對接問題）例題2（利用萬有引力作用下的質點 運動求橢圓曲率半徑）一、對宇宙中復雜的天體受力運動的 簡化二、引力問題的基本運動方程三、行星繞日運動的軌道與能量例題6（雙星問題）一、對宇宙中復雜的天體受力運動的簡化（1）天體通常相距很遠，故可將天體處理為質點.（2）很多時候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個是主要的：a、可將此兩天體作為二體問題處理.b、施力天體由于某些原因（如質量相對很大）在某慣性系中可認為幾乎不動，這時問題很簡單（我們通常

2、討論的就是這種情況）.二、引力問題的基本動力學方程（平面極坐標系中）如圖，行星m在太陽M的有心引力作用下運動.vr太陽mMrvv行星的橫向加速度 等于零.d(2=)drvavrrt有徑向動力學方程22d()drrvMmmamrGtr 解題知識與方法研究在太陽慣性參照系中，由牛頓運動定律和引力定律222dd()ddrrrarett 22ddd2dddrarettt0rvr太陽mMrvv211sin22rvr常量此式變化后即得開普勒第二定律：表明：開普勒第二定律不過角動量守恒定律的特殊表現(xiàn).開普勒第二定律不僅適用于引力作用下行星的橢 圓運動也將適用于有心引力作用下行星的任何軌 道運動. 又因萬有引

3、力為保守力，故“太陽+行星”系統(tǒng)的機械能守恒21()2MmmvGr 常量當然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運動！ 因為引力為有心力，故行星對太陽參考點角動量守恒2sinrmvrmvr m常量0r三、天體繞日運動的軌道與能量orrvMm 根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學定律（角動量守恒、機械能守恒等）可導出在如圖的極坐標下的繞日運動的天體的軌道方程：2222232.,1 1cospLELrpeeGMmG M m（其中，）軌道方程為一圓錐曲線方程： （1）01Ee時，為橢圓， （即開普勒第一定律） 2GMmEa 總能量為：（2）01Ee時，為雙曲線的一支，總能量為：2GMmEaOxy( ,0)F c

4、MmabroabcmMrxy焦點M位于其中一個內焦點M位于01Ee時，為拋物線，（3）總能量為：0E FMmxyO自行計算出上述三個能量值?。芊癫挥酶叩葦?shù)學？）M位于焦點 如圖，太陽系中星體A做半徑為R1的圓運動，星體B作拋物線運動. B在近日點處與太陽的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運動方向也相同. 設B運動到近日點時，A恰好運動到B與太陽連線上. A、B隨即發(fā)生某種強烈的相互作用而迅速合并成一個新的星體. 其間的質量損失可忽略. 試證明新星體繞太陽的運動軌道為橢圓. 解計算新星體C的機械能.在徑向： 可認為在A、B靠攏過程中質心未動.所以C到太陽的距離為123ABABm

5、 Rm RRmm在切向：A、B合并過程中動量守恒，()ABCAABBmmvm vm v則有研究式中的vA、vB：1.AGMvR故因A作圓運動，CABM日() 1R2R疑難題解答研究CvAvBv3RC.R3設 距日,三星速度如圖12ABABmmRmm 例1（天體軌道的判定）所以22BGMvR利用，111()()22ABABABABGMM mmmmGmmRRmm因此，新星體C的軌道為橢圓. 題后思考 本題能不能直接判斷？EAm），距離為d，在引力作用下繞不動的質心作圓周運動. 設這兩顆星近似為質點. 在超新星爆炸中，質量為M的星體損失質量M. 假設爆炸是瞬時的、球對稱的，并且對殘余體不施加任何作用

6、力（或作用力抵消），對另一顆星也無直接作用. 試求，在什么條件下，余下的新的雙星系統(tǒng)仍被約束而不相互遠離.解需計算爆炸后的總機械能. 如圖，爆炸前兩星繞質心旋轉. 22212.VvMmMmGrrd旋轉的速度滿足由以上諸式得到.()()GGVmvMd Mmd Mm，爆炸后的瞬間，因球對稱爆炸所以（M-M）位置、速度均不變.無作用，故m的位置、速度也不變.因爆炸對星體m也CMmr12rVv12rrd12,.mMrdrdMmMm旋轉半徑滿足例6（雙星問題）新系統(tǒng)的質心C還在兩星連線上的原處嗎？新系統(tǒng)的質心C還會靜止嗎？Cr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv新系統(tǒng)的勢能為()PMM mEGd

7、新系統(tǒng)在新質心參照系中的動能為2211()()()22KCCEMM Vvm vv 由系統(tǒng)動量的質心表達可知新系統(tǒng)質心速度為()()CmvMM VvMMm注意到式中的()0.mvMV.()CMVvMMm所以().()mvMVMVMMm進而得到系統(tǒng)在新質心系中的動能為221()()2()1()2()KMVEMMvMMmMVm VMMm 新系統(tǒng)仍被約束的條件是0.PKEEPKEE將、的表達式代入，整理得1().2MMm 題后思考以后兩星還繞新質心作圓運動嗎?(嚴格證明你的結論！)Cr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv()PMM mEGd ()GVmd Mm，.()GvMd Mm另解 用二體問

8、題折合質量法爆炸前：兩星折合質量().()MM mMMm.MmMm兩星折合質量等效的運動如圖（a）.22vMmGdd旋轉的速度v 滿足得到()G Mmvd爆炸后：等效的運動如圖（b）.新系統(tǒng)的勢能().PMM mEGd 新系統(tǒng)的動能212KEv 代入系統(tǒng)約束的條件0.PKEE解得1().2MMm（b）()MMvdMvd（a） 題后思考計算兩體的引力勢能時為何不用折合質量？()().()MM mG MmMMmd12()()()()MM mG MmMMmd212兩體問題 僅有兩個質點組成的孤立系統(tǒng)，兩個質點的質量為m1、m1，相互作用力大小為f，從m1至m2的矢徑為 .R對m2，由牛頓第二定律有2222d rfmdt（）將（1）代入（2）：212212.m md Rfmmdt121212()m mmmmm令稱為與的折合質量，則有223d Rfdt（） （3）式表明，若取m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立），則在此參照系中m2的運動完全相同于質量為 的質點在中心力 的作用下按牛頓第二定律所形成的運動，而無須考慮慣性力的作用.f取二者的質心C為參照系（慣性系）. 設C到m1的矢徑為 . rr1121mrRmm（）有Cr1m2mRff位矢長度的變化率位矢轉動的角速度類似向心加速度類似切向加速度位矢長度變