用幾何投影巧妙解傅里葉級(jí)數(shù)

1、用幾何投影巧妙解傅里葉級(jí)數(shù)2作者:日期:3用幾何投影巧妙理解傅里葉級(jí)數(shù)最近我在重新學(xué)習(xí)偏微分方程的時(shí)候又遇到“傅里葉級(jí)數(shù)”了，我曾經(jīng)覺得這個(gè)公式非常繁瑣，用到的時(shí)候就去翻書查看，沒法自己信心滿滿的寫出來?，F(xiàn)在我找到訣竅了，可以不需要任何參考書，給我一個(gè)周期函數(shù)，我可以馬上寫出它的傅里葉級(jí)數(shù)。訣竅就在于從“幾何”的角度來看待傅里葉級(jí)數(shù)。當(dāng)我們把一個(gè)周期函數(shù)表達(dá)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，其實(shí)我們只是在做一個(gè)動(dòng)作，那就是把函數(shù)“投影”到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的“坐標(biāo)軸”上1.什么是投影我們先來復(fù)習(xí)什么是投影吧?？紤]一個(gè)簡(jiǎn)單的二維平面的例子。如下圖所示，給定兩個(gè)向量 u 和 v,我們從 u 的末端出發(fā)作到 v 所

2、在直線的垂線，得到一個(gè)跟 v 同向的新向量 p。這個(gè)過程就稱作 u 到 v 所在直線的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。圖中的系數(shù) c 是 p 跟 v 的比例，也就是u 在 v 軸上的“坐標(biāo)”。我們可以用尺規(guī)作圖來完成投影這個(gè)動(dòng)作，問題是：如果給定的向量 u 和v都是代數(shù)形式的，我們?cè)趺从么鷶?shù)的方法求 c?圖片1:向量到I所在直線的投翌我相信只要有基本線性代數(shù)知識(shí)的同學(xué)都可以輕松解決這個(gè)問題。我們知道 u-cv這個(gè)向量是正交”于 v 的，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是（u-cv）Tv=0。我們馬上就可以得到 c 的表達(dá)式如下。Urv(1)42.向量在一組正交基上的展開在講傅里葉級(jí)數(shù)之前

3、，我們還需引進(jìn)線性代數(shù)中“正交基”的概念。如果這個(gè)概念你覺得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐標(biāo)軸”。回到剛才這個(gè)例子，如下圖所示，現(xiàn)在我們引進(jìn)一組正交基v1,v2），那么 u可以展開成以下形式(2)圖片”1叫量U在正交VUY：上的廉升從圖上來看，（2）式其實(shí)說的是我們可以把 u“投影”到 v1 和 v2 這兩個(gè)坐標(biāo)軸上，cl 和 c2 就是 u 的新坐標(biāo)”。問題是：我們?cè)趺辞?cl 和 c2 呢？你會(huì)說，我們可以（2）式兩邊同時(shí)乘以 v1 或 v2,然后利用它們正交的性質(zhì)來求 cl,c2。沒錯(cuò),數(shù)學(xué)上是這么做的。但是利用之前關(guān)于投影的討論，我們可以直接得出答案，直接利用（1）式就可以得到如下的

4、表達(dá)式：3.傅里葉級(jí)數(shù)的幾何意義現(xiàn)在我們已經(jīng)明白一件事情了：如果想把一個(gè)向量在一組正交基上展開，也就是找到這個(gè)向量沿每條新“坐標(biāo)軸”的“坐標(biāo)”，那么我們只要把它分別投影到每條坐標(biāo)軸(3)5上就好了，也就是把(1)式中的 v 換成新坐標(biāo)軸就好了。說了半天，這些東西跟傅里葉級(jí)數(shù)有什么關(guān)系？我們先回憶一下傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式。給定一個(gè)周期是 21 的周期函數(shù) f(x),它的傅里葉級(jí)數(shù)為：fWfW二Oo+2?久cos十b b sin)K=1*/其中系數(shù)表達(dá)式如下:fx)eosJx/-/f(x)ndx如=I,1(5)我不喜歡記憶這些公式，有辦法可以更好的理解他們來幫助記憶嗎？答案是有的，那就是從幾何的角度

5、來看。傅里葉告訴我們，f(x)可以用下面這組由無限多個(gè)三角函數(shù)(包括常數(shù))組成的正交基”來展開，H.sin.cos,5in.(6)這里我們需要在廣義上來理解“正交”。我們說兩個(gè)向量，或兩個(gè)函數(shù)之間是正交的，意思是它們的“內(nèi)積”(innerproduct)為零?！皟?nèi)積”在有限維的“向量空間”中的形式為點(diǎn)積”(dotproduct)。在無限維的函數(shù)空間”中，對(duì)于定義在區(qū)間a,b上的兩個(gè)實(shí)函數(shù) u(x),v(x)來說，它們的內(nèi)積定義為正交基(6)中的每個(gè)函數(shù)都可以看做是一條獨(dú)立的坐標(biāo)軸，從幾何角度來看，傅里葉級(jí)數(shù)展開其實(shí)只是在做一個(gè)動(dòng)作，那就是把函數(shù)“投影”到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的坐標(biāo)軸上。上面(5

6、)式中的系數(shù)則是函數(shù)在每條坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)?，F(xiàn)在的問題是我們不能直接用(1)式來求這些坐標(biāo)了，因?yàn)樗贿m用于有限維的向量空間。在無限維的函(4)6數(shù)空間，我們需要把(1)式中分子分母的點(diǎn)積分別替換成式。那么（5）式中的所有系數(shù)馬上可以輕松的寫出:值得注意的是，（8）式中所有積分可以在任意一個(gè)長(zhǎng)度是 21 的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行。也就是說，不管是-l,l還是0,21,答案都是一樣的。有同學(xué)會(huì)說，老師上課教的是對(duì)（4）式兩邊乘以 1,cos（n 兀 x/l）,或 sin（n 兀 x/l）,然后積分，利用這些函數(shù)之間的正交性來得到（5）式。這些當(dāng)然是對(duì)的，而且我們應(yīng)該學(xué)會(huì)這種推導(dǎo)來加深對(duì)正交性的理解。但是在應(yīng)用

7、上，我更喜歡用幾何的角度來看傅里葉級(jí)數(shù)，把函數(shù)看成是無限維的向量，把傅里葉級(jí)數(shù)跟幾何中極其簡(jiǎn)單的“投影”的概念聯(lián)系起來，這樣學(xué)習(xí)新知識(shí)就變得簡(jiǎn)單了，而且可以毫無障礙的把公式記住，甚至一輩子都難忘。熟悉傅里葉級(jí)數(shù)的同學(xué)會(huì)問，那么對(duì)于復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們是否也能用幾何投影的觀點(diǎn)來看，然后寫出級(jí)數(shù)中的所有系數(shù)呢？答案是肯定的。給定一個(gè)周期是 2l的周期函數(shù) f（x）,它的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式為：JM-JM-Z其中系數(shù)表達(dá)式如下:(10)這意味著我們用了下面這組“正交基”來展開原函數(shù),Hxo.?-MJ!2xx.-i2oI)deK*-J2121H1f fnx.nxnx.nx工、JTIJC,I I嚴(yán)

8、亍5JL*!q-rtxLnjcxnjcxpipi一yJ，池|-醐 B：挪*擊i i泗一廠n：)J；m-廠益面|(C0Sqdx、建(8)(9)(11)我們之前提到了兩個(gè)函數(shù)正交，意思是它們的內(nèi)積為零。對(duì)于定義在區(qū)間a,b上的兩個(gè)復(fù)函數(shù) u(x),v(x)來說，它們的內(nèi)積定義為其中 v 加上劃線意思是它的共軸。(10)中指數(shù)函數(shù)里的負(fù)號(hào)就是因?yàn)槿×斯草S的關(guān)系。現(xiàn)在我們同樣可以把原函數(shù)分別投影到(11)中的每個(gè)函數(shù)所在的“坐標(biāo)軸”來求出對(duì)應(yīng)的“坐標(biāo)”，也就是系數(shù) cn：(13)這里我想強(qiáng)調(diào)一下這個(gè)“正交基”的重要性。在一個(gè)有限維的向量空間，給定任何向量都可以被一組基展開，它可以不必是正交的，這個(gè)時(shí)候

9、展開項(xiàng)中的系數(shù)(也就是沿這組基中任一坐標(biāo)軸的坐標(biāo))需要求解一個(gè)線性方程組來得到。只有當(dāng)這組基是正交的時(shí)候，這些系數(shù)才能從給定向量往各坐標(biāo)軸上投影得出，也就是(1)式。同樣的，在無限維的函數(shù)空間，我們可以把一個(gè)函數(shù)在某個(gè)“基”中展開，但是只有在“正交基”中，展開項(xiàng)中的系數(shù)才能看成是函數(shù)投影的結(jié)果。最后做一個(gè)總結(jié)，不管是向量 u 還是函數(shù) u，他們都可以被一組正交基(vn:n=1,.,N(有限個(gè)向量)或(vn:n=1,.,8(無限個(gè)函數(shù))展開如下：上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐標(biāo)軸上投影產(chǎn)生的坐標(biāo)。 而(14)式中內(nèi)積的定義視情況而定， 在有限維的向量空間(實(shí)數(shù)域)，向量 u 和 v

10、 的內(nèi)積是點(diǎn)積 uTv;在無限維的函數(shù)空間，函數(shù) u(x)和 v(x)的內(nèi)積的通用形式是(12)，如果它們是實(shí)函數(shù)，那么(12)就可以簡(jiǎn)化成(7)的形式。我們可以看到，用幾何投影的觀點(diǎn)來看待傅里葉級(jí)數(shù)，理解變得更加容易，因?yàn)槲蚁嘈潘腥硕寄芾斫馔队暗母拍?；同時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)所有的公式都可以輕松的記住，想要遺忘都難了。我們?cè)趯W(xué)習(xí)不同學(xué)科的時(shí)候可以經(jīng)常的去做聯(lián)系，嘗試著用不同的角度去看待同一個(gè)問題，我相信這么做是很有好處的。9陳宇航寫于 2013 年 3 月 23 號(hào)轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。后記（寫于 2013 年 3 月 28 號(hào)）：這篇文章的核心思想其實(shí)是來自 MIT 的教授 GilbertStrang 寫的IntroductiontoLinearAlgebra這本書（第三版）。我在好幾個(gè)月前重新學(xué)了一遍線性代數(shù)，就是看 MIT的開放課程，授課老師是 Gilbert,他用的書就是上面提到這本。我從沒有如此享受過數(shù)學(xué)課。以前學(xué)的數(shù)學(xué)課似乎老師更注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算和推導(dǎo)，而不是討論數(shù)學(xué)背后的本質(zhì)。Gilbert 的講課方式講究原理，也就是why”，而不是how”，同時(shí)也有非常有趣的應(yīng)用。有興趣