三垂線定理及其逆定理人教版原創(chuàng)課件

1、pO 自一點向平面引垂自一點向平面引垂線，線，叫做這點在這叫做這點在這個平面上的個平面上的； 這個點與垂足間的線段叫做這點到這個平這個點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的面的。 Q 一條直線和一個平面一條直線和一個平面相交相交，但，但不和這個平面垂不和這個平面垂直直，這條直線叫做這個平，這條直線叫做這個平面的面的，斜線和平面的，斜線和平面的交點叫做交點叫做。 斜線上一點與斜足間斜線上一點與斜足間的線段叫做這點到這個平的線段叫做這點到這個平面的面的。ACB 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做足和斜足的直線叫做； 垂足與斜足間的線段叫

2、做這點到平面的垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的。 斜線上任意一點斜線上任意一點在平面上的射影，一在平面上的射影，一定在斜線的射影上。定在斜線的射影上。ACBO 定理定理 一一點點向這個平面所引的向這個平面所引的垂線段和斜線段中，垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短垂線段比任何一條斜線段都短AaOP 已知 PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a ，aAO。

3、求證： aPO在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理AaOP證明：aPOPA a AOa， AO與PA相交a平面PAOPO平面PAOPA aPCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一點，外一點， PA平面平面ABC ，AC BC， 求證：求證： PC BC證明：證明：PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜線的斜線 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂線定理得由三垂線定理得 PC BC例2 直接利用三垂線定理證明下列各題：(1) PA正方形ABCD所在平面，O為對角線B

4、D的中點求證：POBD，PCBD(3) 在正方體AC1中，求證：A1CB1D1，A1CBC1(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCDPMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我們要學會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧解題回顧，怎么找？三垂線定理解題的關鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面 內的射影和平面內的 一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作為已知條件解題回顧解題回顧PAOaPAOabcde三垂線定理是平面

5、的一條斜線與平面內的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是： 相交直線相交直線 異面直線異面直線使用三垂線定理還應注意些什么？解題回顧解題回顧直線a 在一定要在平面內，如果 a 不在平面內，定理就不一定成立。PAOa例如：當 b 時， bOA注意：如果將定理中“在平面內”的條件去掉，結論仍然成立嗎？b但但 b不垂直于OP 解題回顧解題回顧PAOa三垂線定理包含幾種垂直關系？三垂線定理包含幾種垂直關系？線射垂直PAOa線面垂直 線斜垂直PAOa直 線 和平面垂直平面內的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直PAOaPAOa平面內的一條直線和平面

6、的一條斜線在平面內的射影垂直平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOa 已知：PA，PO分別是平面 的垂線和斜線，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO求證：a AO三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理三垂線定理的逆定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理三垂線定理： 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線射垂直線斜垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直線射垂直 線斜垂直線斜垂直 定 理逆定理例3 在四面體ABCD中，已知ABCD，ACBD求證：ADBCDOBC，于是ADBC.證明：作AO平面BCD于點O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，BOCD，同理COBD，于是O是BCD的垂心，精品課件精品課件！精品課件精品課件！1.已知 PA、