角平分線定理和中垂線定理

1、 角平分線定理和角平分線定理和 中垂線定理中垂線定理 要點、考點聚焦要點、考點聚焦 課前熱身課前熱身 典型例題解析典型例題解析 課時訓練課時訓練幾何第八課時幾何第八課時教學目標教學目標 1學生理解角平分線的性質定學生理解角平分線的性質定理與逆定理理與逆定理 2.中垂線定理中垂線定理 與逆定理與逆定理 3.應用定理與逆定理進行有應用定理與逆定理進行有關的證明與計算關的證明與計算 要點、考點聚焦要點、考點聚焦1.1.角平分線的性質定理和逆定理角平分線的性質定理和逆定理 (1)(1)點在角平分線上點在角平分線上 點到這個角的兩邊的距點到這個角的兩邊的距離相等離相等. . (2) (2)用符號語言表示

2、角平分線的性質定理和逆定理用符號語言表示角平分線的性質定理和逆定理. .如如圖圖4-4-14-4-1所示所示. .性質定理：性質定理：PP在在AOBAOB的平分線上，的平分線上，PDOAPDOA，PEOBPEOBPD=PEPD=PE逆定理：逆定理：PD=PE,PDOA,PEOBPD=PE,PDOA,PEOB點點P P在在AOBAOB的平分線上的平分線上. .判定定理判定定理性質定理性質定理(3)(3)角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點組成的集角平分線是到角兩邊的距離相等的所有點組成的集合合. .(4)(4)互逆命題與互逆定理互逆命題與互逆定理. .2.2.線段垂直平分線的性質定理及逆定理線段

3、垂直平分線的性質定理及逆定理(1)(1)性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等端點的距離相等. .(2)(2)逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上條線段的垂直平分線上. .(3)(3)用符號語言表示線段垂直平分線的性質定理和逆定用符號語言表示線段垂直平分線的性質定理和逆定理理. .如圖如圖4-4-24-4-2所示所示. . 要點、考點聚焦要點、考點聚焦性質定理：性質定理：PCPC是線段是線段ABAB的中垂線的中垂線PA=PBPA=PB逆定理：逆定理：PA=PB

4、PA=PB點點P P在在ABAB的中垂線上的中垂線上. .【注意】【注意】 這里不可這里不可說說PCPC是是ABAB的中垂線的中垂線. . (4)(4)線段中垂線是和線段兩個端點距離相等的所有線段中垂線是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合點的集合. . 要點、考點聚焦要點、考點聚焦2.如圖如圖4-4-3所示，直線所示，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有等，則可供選擇的地址有( ) A1處處 B.2處處 C.3處處 D. 4處處 課前熱身課前熱身C

5、D1.下列說法正確的是下列說法正確的是( ) A.每個命題都有逆命題每個命題都有逆命題 B.直角都是鄰補角直角都是鄰補角 C.若若1/a=1/b則則a=b. D.真命題的逆命題是真命題真命題的逆命題是真命題.圖圖4-4-33.如圖所示，在如圖所示，在ABC中，中，P為為BC上一點，上一點，PRAB于于R，PSAC于于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三個結論：，下面三個結論：(1)AS=AR(2)QPAR(3)BRP CSP，正確的是，正確的是 ( ) A.(1)和和(2) B.(2)和和(3) C.(1)和和(3) D.全對全對.A 課前熱身課前熱身4.如圖所示，在如圖所示，在ABC中，中，C

6、=90，B=15，AB的垂直平分線交的垂直平分線交BC于于D，交，交AB于于E，DB=10cm，則，則AC=( ) A.6 B.8 C.5 D.10C 課前熱身課前熱身5.如圖所示，在如圖所示，在RtABC中，中，C=90，AB的垂直平分的垂直平分線交線交BC于于D，CAD DAB=1 2，則，則B= . 36 課前熱身課前熱身 典型例題解析典型例題解析AB+AD=BC 【例【例1】 如圖所示，在如圖所示，在ABC中，中，A=90，AB=AC，BD是是ABC的平分線，請你猜想圖中哪兩條線段之和等的平分線，請你猜想圖中哪兩條線段之和等于第三條線段，并證明你的猜想的正確性于第三條線段，并證明你的猜

7、想的正確性(證明你的猜想證明你的猜想需用題中所有的條件需用題中所有的條件)【例【例2】 (2003河南省河南省)已知：如圖所示，在已知：如圖所示，在RtABC中，中，ACB=90，AC=BC，D為為BC中點，中點，CEAD，垂足，垂足為為E.BFAC交交CE的延長線于的延長線于F.求證：求證：AB垂直平分垂直平分DF. 典型例題解析典型例題解析【例【例3】 (2003浙江省舟山市浙江省舟山市)如圖所示是人字型屋架的如圖所示是人字型屋架的設計圖，由設計圖，由AB、AC、BC、AD四根鋼條焊接而成，其中四根鋼條焊接而成，其中A、B、C、D均為焊接點，且均為焊接點，且AB=AC、D為為BC的中點，的

8、中點，現在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標出現在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標出BC的中點的中點D.如果焊接工身邊只有可檢驗直角的角尺，那么為了準確快如果焊接工身邊只有可檢驗直角的角尺，那么為了準確快速地焊接，他首先應取的兩根鋼條及焊接的點是速地焊接，他首先應取的兩根鋼條及焊接的點是 ( ) A.AB和和BC，焊接點，焊接點B B.AB和和AC，焊接點，焊接點A C.AD和和BC，焊接點，焊接點D D.AB和和AD，焊接點，焊接點AC 典型例題解析典型例題解析【例【例4】 (2003黑龍江省黑龍江省)已知：如圖已知：如圖4-4-10(1)所示，所示，BD、CE分別是分別是ABC的外角平分線，

9、過點的外角平分線，過點A作作AFBD，AGCE，垂足分別為，垂足分別為F、G.連接連接FG，延長，延長AF、AG、與、與直線直線BC相交，易證相交，易證FG=1/2(AB+BC+BC).(1)若若BDCE分別是分別是ABC的內角平分線的內角平分線(如圖如圖4-4-10(2)所示所示).(2)BD為為ABC的內角平分線，的內角平分線，CE為為ABC的外角平的外角平分線分線(如圖如圖4-4-10(3)所示所示)，則在此，則在此兩種情況下，線段兩種情況下，線段FG與與ABC三邊又有怎樣的數量關三邊又有怎樣的數量關系系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證

10、明. 典型例題解典型例題解析析圖圖4-4-10(1) 圖圖4-4-10(2)圖圖4-4-10(3) 1.1.全等運用的干擾全等運用的干擾角平分線定理及中垂線性質定理都是不用全等，而直角平分線定理及中垂線性質定理都是不用全等，而直接能得出邊相等，但好多學生還是喜歡再重新證一遍接能得出邊相等，但好多學生還是喜歡再重新證一遍. .2.2.證線段的中垂線時，往往只得出一個點到一條線段證線段的中垂線時，往往只得出一個點到一條線段的兩個端點距離相等，就下結論的兩個端點距離相等，就下結論過這一點的直線是過這一點的直線是這條線段的中垂線，實際上由直線公理：這條線段的中垂線，實際上由直線公理：“兩點確定一兩點確

11、定一條直線條直線”，還要再找出一個這樣的點，還要再找出一個這樣的點. .1.(2004四川四川)如圖，已知點如圖，已知點C是是AOB平分線上一點，平分線上一點，點點P、P分別在邊分別在邊OA、OB上。如果要得到上。如果要得到PO=OP ，需，需要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能結果要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能結果的序號的序號 。 OCP= OCP ; OPC= OP C ;PC=PC ;PP OC 課時訓練課時訓練或或或或 2.(2004河北省河北省)如圖是一個經過改造的臺球桌面的示意如圖是一個經過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，

12、如果圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射），一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射），那么該球最后將落入的球袋是那么該球最后將落入的球袋是 ( ) A.1號袋號袋 B.2號袋號袋 C.3號袋號袋 D.4號袋號袋B 課時訓練課時訓練3.(2004廣州廣州)如圖，如圖，CB、CD分別是鈍角分別是鈍角AEC和銳角和銳角ABC的中線，且的中線，且AC=AB，給出下列結論，給出下列結論AE=2ACAE=2AC；CE=2CDCE=2CD； ACD=BCE； CBCB平分平分DCE。請寫。請寫出正確結論的序號出正確結論的序號 。 課時訓練課時