用待定系數(shù)法求三角函數(shù)最值_第1頁
用待定系數(shù)法求三角函數(shù)最值_第2頁
用待定系數(shù)法求三角函數(shù)最值_第3頁
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文檔簡介

1、.用待定系數(shù)法求三角函數(shù)最值用均值不等式求三角函數(shù)最值時，“各數(shù)相等”及“和（或積）為定值”是兩個需要刻意湊出的條件，從何處入手，怎樣拆項，如何湊出定值且使等號成立，又能使解答過程簡捷明快，這確實既“活”又“巧”，對此問題，現(xiàn)利用待定系數(shù)法探析。例1. 設x（0，），求函數(shù)的最小值。分析：拿到此題，很容易想到下面的解法。因為sinx0，所以。故ymin=2。顯然，這種解法是錯誤的！錯誤的原因是沒有考慮“=”號成立的條件。由得sinx=2，這樣的x不存在，故為錯解。事實上，此題是可以用均值不等式來解答的，但需要拆項，如何拆，既能使其積為定值，又能使“=”號成立，這確實是一個難點，筆者認為，待定系

2、數(shù)法就能很好地解決這個問題，為此，先引入一個待定系數(shù)（02，使。由均值不等式及正弦函數(shù)的有界性，得。當且僅當且sinx=1，即=時，上式等號成立。將=代入，得ymin=。另解：y=。令sinx=t(0t1，易證在（0，1上單調(diào)遞減，所以。例2. 當x(0，)時，求函數(shù)的最小值。分析：因為x(0，)，所以sinx0，cosx0，引入大于零的待定系數(shù)k，則函數(shù)可變形為+kcos2xk3+k=12，等號成立當且僅當，時成立。由sin2x+cos2x=1,。得，即k2=64，又k0，所以k=8。故函數(shù)y的最小值為，此時x=。例3. 設x(0，)，求函數(shù)y=sinx+的最小值。分析：因為x(0，)，所以sinx0，y=sinx+可變形為。由均值不等式得。但，故上式不能取等號。下面引入待定系數(shù)k進行配湊解之。解：因為x(0，)，所以sinx0。因為故，等號當且僅當且sinx=1，即k=時等號同時成立。從而，故函數(shù)y=sinx+的最小值為2。例4. 求函數(shù)y=sin2x·cos2x+的最小值。分析：易得，由均值不等式得。但，故上式不能取等號。于是引入待定正實數(shù)，且+=4，則有=。當且僅當

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