高數(shù)___極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

1、1二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限 第一章 2azynnnnlimlim)2(1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則1),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件 (2) ,010,N當(dāng)1Nn 時(shí),ayn當(dāng)2nN時(shí),nza令,max21NNN 則當(dāng)Nn 時(shí), 有,ayan,azan由條件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn20,N一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則若若, nnnxyz滿足下列條件：滿足下列條件：3注意注意: : , .nnnnyzyz利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出與并且與的極限是容

2、易求的準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則準(zhǔn)則I. 函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則4例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解22111nnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn2nnn21nn5記記住住結(jié)結(jié)果果：11nnnlim)()(lim)(012aann2lim 1 234nnnnn例解：解：nnnnn4443214444nnlim而而44321nnnnnlim62.2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限1

3、21nnxxxxMmxxxxnn121lim()nnxaMlim()nnxbmnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab7222222的極限存在，并求此極限。證證：設(shè)212xx12nnxxnxxxx321又221x222212xx12222,nnxx單調(diào)有界數(shù)列,必有極限設(shè)axnnlimaa2022aa12aa2limnnx例例3 求證數(shù)列21xnx（舍去）81()2aAAA故極限存在，例例4 4 設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設(shè)Axnnlim則由遞推公式有aA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212

4、nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)則,0nx91sincosxxx圓扇形AOB的面積二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 011sin. limxxx 證證: 當(dāng)即xsin21x21xtan21)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1o11sincosxxx故有10當(dāng)20 x時(shí)01 cosx 2sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注( )0sin( )lim1,( )f xf xf x1sinlim330 xxx如說明：說明

5、：更一般的形式更一般的形式11例例5. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim0112.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsinxt 則則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例6. 求求例例7. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x211311lim().nnen可可得得：注注：exxx1011)(lim）等等價(jià)價(jià)形形式式：（exfxfxf)()()(lim1012）一

6、般形式：）一般形式：（例例8 8xxx231)(lim6331xxx)(lim6331)(limxxx6e(2)exxx )11(lim14例例9 9.)(limxxx521求求解解10221)(limxxx原式原式10 e例例1010 xxxxcot)(lim110 xxxxxxxxxsincos)(lim12210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e1511例 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e16三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 1