高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何課時(shí)分層作業(yè)五十六8.7雙曲線理

1、- 4 -課時(shí)分層作業(yè)五十六雙曲線A組就礎(chǔ)達(dá)標(biāo)純3（25分鐘加分）一、選擇題（每小題5分，共25分）22yxi,雙曲線9-4=1的漸近線方程是（）94A.y=±4xB.y=±9x327qC.y=±-xD.y=±x【解析】選C.雙曲線9-4=i中a=3,b=2,雙曲線的漸近線方程為y=±2x.22Xy22.（2018石家莊模擬）若雙曲線M:0-°=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是Fi,F2,P為雙曲線M上一點(diǎn)，且|PFi|=15,|PF2|=7,|F后|=10，則雙曲線M的離心率為（）5534A.3B.2C.D【解析】

2、選D.P為雙曲線M上一點(diǎn)，且|PF1|=15,|PF2|=7,|F正2|二10,由雙曲線的定義可得c5|PF“-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,則雙曲線的離心率為6=4.22xy2723.（2018彭州模擬）設(shè)F為雙曲線C:a-0=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲線C的左、右支交于點(diǎn)P,Q,若|PQ|二2|QF|,/PQF=60，則該雙曲線的離心率為（）.3 C.2+a.3B.1+C.，3D.4+2'、.【解析】選B./PQF=60,因?yàn)閨PQ|二2|QF|,所以/PFQ=90，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,連接RPEQ,由對(duì)稱性可知，四邊

3、形F1PFQ為矩形，且|FF|二2|QF|,|QFi|= 3|QF|,故6=12I-)(?F|=VI=V3+1.2.2xy72【變式備選】(2018齊齊哈爾模擬)已知雙曲線C：Q-D=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，半徑為7a的圓與雙曲線C的某條漸近線交于兩點(diǎn)()A.唱c('-V)p,q,若 / PAO 3 ,則雙曲線C的離心率的取值范圍為【解析】選A.過A作AB,PQ,71b垂足為B,則B為PQ的中點(diǎn),即/PAB>6,點(diǎn)A到漸近線y=ax的距離為：|AB|=1,-,0AB婦2AP7cos/PABC乙,即“廠<乙,ab-V7a/3CL得到72.27

4、byf7c-a3?所以j2*7,c<28,e<5，又e>i,所以雙曲線C的離心率的取值范圍為4.已知雙曲線C:x2-4=1,經(jīng)過點(diǎn)M2,1）的直線1交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（）B.8x+y -17=0D.4x-y-7=0A.8x-y-15=0C.4x+y-9=0（%+%）（乃-先）=0,01+）（龍1-尤。當(dāng)4（/+x2）即直線1的斜率k=XX2=、1+y2=8,所以直線1的方程為y-1=8（%2）,即8x-y-i5=0.y2【變式備選】已知雙曲線C:x2-3=1,經(jīng)過點(diǎn)MG的直線1交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，則直線1的方程為，

5、則有【解析】設(shè)點(diǎn)兩式作差得(%+%)(乃-先)(叼+)(今一尤0=0,力一力3(叼+x2)即直線l的斜率k=%l-%2=+，2=1,所以直線l的方程為y-3=x-1,即y=x+2.答案：y=x+222xy5.已知F是雙曲線4-12=1的左焦點(diǎn)，A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|+|PA|的最小值為()A.5B.5+4C.7D.9【解析】選D.如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為E,則E(4,0).由雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程得|PF|-|PE|=4,則|PF|+|PA|=T+4+|PE|+|PA|.由圖可得，當(dāng)A,P,E三點(diǎn)共線時(shí)，(|PE|+|PA|)mini/=|AE|=5,從而|PF|

6、+|PA|的最小值為9.二、填空題(每小題5分，共15分)/57ft746.已知雙曲線C:U-o=1的離心率e="，且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為.c5xy【解析】因?yàn)閑="=4,F2(5,0),所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為16-9=1.答案：1；-=1【誤區(qū)警示】利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列22xy2出關(guān)于a,b,c的方程并求出a,b,c的值.與雙曲線以-°=1有相同漸近線時(shí)可設(shè)所求雙曲線方程為%2y1a2f 1 m = -4 ,n = - 1.7.已知雙

7、曲線經(jīng)過點(diǎn)（2、1）,其一條漸近線方程為y=2x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【解析】設(shè)雙曲線方程為：mx2+ny2=1（mn<0）,由題意可知?jiǎng)t雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：4-y2=1.答案：/-y2=1【題目溯源】本考題源于教材人教A版選修2-1P61習(xí)題A組T2（1）“求焦點(diǎn)在x軸上,2=2弋口，經(jīng)過點(diǎn)A（-5,2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”.22xy【變式備選】與雙曲線3-2=1有共同的漸近線,且經(jīng)過點(diǎn)息3,2V5）的雙曲線的方程為x2y2320【解析】設(shè)方程為3-2=入（入wo）,代入點(diǎn)ac/3,275）,可得3-2=入，所以入=-9,所以雙曲線的方程為電27=1.答案:電27=122xy2728

8、 .（2018唐山模擬）P是雙曲線a-0二1右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2分別為左、右焦點(diǎn),且焦距為2c,則PF1F2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)是.【解析】（利用定義解三角形）如圖，內(nèi)切圓圓心M到各邊的距離分別為|MA|,|MB|,|MC|,切點(diǎn)分別為A,B,C,由三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)則有：|CF1|二|AF1|,|AF2|二|BF2|,|PC|二|PB|,所以|PF1|-|PF2|二|CF1|-|BF2|二|AF1|-|AF2|二2a又|AFi|+|AF2|=2c,所以|AFi|=a+c,則|OA|=|AFi|-|OFi|=a.因?yàn)镸的橫坐標(biāo)和A的橫坐標(biāo)相同，所以M的橫坐標(biāo)為a.答案：a三、解答題(每小題

9、10分，共20分)22xyl i：y= " x9 .直線l:y=、J(x-2)和雙曲線C0-0=1(a>0,b>0)交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=、,又l關(guān)于直線對(duì)稱的直線l2與X軸平行.(1)求雙曲線C的離心率.(2)求雙曲線C的方程.2,2-T【解析】(i)設(shè)雙曲線c：Q-0=1過一、三象限的漸近線丘北-力二。的傾斜角為”.因?yàn)閘和12關(guān)于l1對(duì)稱，記它們的交點(diǎn)為P,l與x軸的交點(diǎn)為M.而l2與X軸平行，記12與y軸的交點(diǎn)為Q.依題意有/QPOhPOM=OPM=.又l:y=%口(x-2)的傾斜角為60°，則2a=60°,bV3所以tan30°

10、;=Q=3.££1423于是e2=Q=1+口=1+'=3，所以e=A.l72b、/3土y_(2)由于R=3，于是設(shè)雙曲線方程為3fc2-fc2=1(k0),即x2-3y2=3k2.將y=0(x-2)代入x2-3y2=3k2中，得x2-3x3(x-2)2=3k2.化簡(jiǎn)彳#至18x2-36x+36+3k2=0,設(shè)A(x1,yi),B(x2,y2),則|AB|=1J|xi-X2|二2一V362-4x8x(36+3fc2)=296k=、；3，求得k2=1.故所求雙曲線方程為“-y所以y0=1.410 .已知離心率為5的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長(zhǎng)軸為實(shí)軸

11、，短軸為虛軸，且焦距為23”.求橢圓及雙曲線的方程.(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)P,連接BP交橢圓于點(diǎn)M,連接PA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)N,若五面二所求四邊形ANBM勺面積.2 2Xy2 77口 -門=1且滿足22hy22【解析】(1)設(shè)橢圓方程為+匕=1(a>b>0),則根據(jù)題意知雙曲線的方程為Q5,儲(chǔ)=25,、2Jo2+肩=2手，解方程組得b2=9所以橢圓的方程為25+9=1,雙曲線的方程為259=1.(2)由得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,設(shè)M(X0,y0),則由BM=MP得m為BP的中點(diǎn)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0-5,2y0).將

12、M,P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程消去y。,得25x025=0.52解之，得X0二乙或X0=5(舍去).- 7 -由此可得M22人所以p(-io,3'3).當(dāng)P為(-10,3、)時(shí)，3一即 y=- 5 (x+5),代入 25+9 =1, 得 2x2+15x+25=0.直線PA的方程是y=一1°+5僅+5),b， 2 x 0 + q 2v 5,二,(a 【解析】(1)依題意得155 解得=(2)由 知雙曲線的漸近線方程為 y= ± 2x,設(shè)A(m,2m),B(-n,2n),fm - nm + n為I 2.2,t1故雙曲線的方程為4 -x2=1.其中m>0,n>

13、0,由八門二產(chǎn)6得點(diǎn)p的坐標(biāo)-8 -(2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若由=通，求 AOB的 面積.5所以x=-2或-5(舍去)，5所以xn=-2,xN=xM,MN±x軸.1空77q所以S四邊形anb=2Saam=2XX10X1二15'、.【誤區(qū)警示】注意區(qū)分雙曲線中a,b,c的關(guān)系與橢圓中a,b,c的關(guān)系.22yx22【變式備選】已知雙曲線a-匕=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為2x+y=0,且頂點(diǎn)到漸近線的距離為迪5.求此雙曲線的方程.y2將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入 4 -x 2=1,整理得mn=i.n2 - 0設(shè)/

14、AOB=29 ,因?yàn)閠an1=2,則 tan 0 =2，從而 sin 2 。=5 .又 |OA|= 5 m,QB|= 5 n,所以2S»OE=|OA|OB|sin 20 =2mn=2.B組能力提升練r ( 20分蚌小1分)1.(522x y2 72分）過雙曲線以-0 =1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)F作圓x2+y2=a2的切線FM（切點(diǎn)為M）,交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是a. 2b.3 c.2 D.【解析】 選A.因?yàn)镺ML PF,且|FM|=|PM|,所以|OP|=|OF|,/OFP=45 ,|OM|=|OF| sin 45x.2,故選A.即a=

15、c - 2 ,所以e=【變式備選】已知 ABP的頂點(diǎn)A,B分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線上，則sinA-sinBslnP的值等于A.Sc.-t【解析】選A.在 ABP中，由正弦定理知sinAd.7sinBsinPPBABPA | 2a 8 4.2cA0S- 16 -22.（5分）（2018漢陽模擬）已知。為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:0=1（b>a>0）上有一點(diǎn)P（5"0（m>。），點(diǎn)p在x軸上的射影恰好是雙曲線C的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線C兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A,B,若平行四邊形PAO即面積為1,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）y2

16、A.x2-4=1y2c.x2-6=1【解析】選A.設(shè)平行線方程為b.1-（x-。5）y=m-y-m=-，由Iam+/5b+解得xa=2b，則qa|=b又點(diǎn)P到直線y二0x的距離/5b-am'b211+d=M，所以qa.5b2-a2m22q8=i,5m/序又-=1?5b2-a2R=a2b2,所以ab=2,又c=',解得a=1,b=2,y2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-4=1.22xyB2T=1B.-=1/c2xyTTd.2-2=1b=-x,a（光-、，Q_am+2Q.2b,am+、弓b冕5，一2bq"+M=1,化簡(jiǎn)得22冕y【變式備選】已知雙曲線2-2=l（a>0,

17、b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y2-10x=0的圓心重合，且雙曲線的離心率等于5,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）22xya. S - 20=1b.2S.2()=122xyD2()2"D.-=1【解析】選A.因?yàn)閳Ax2+y2-10x=0的圓心為（5,0）,所以c=5,又雙曲線的離心率等于；5,所以22xya=v'5,b=2'''5.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為5-20=1.22xy3.（5分）（2018開封模擬）Fi（-4,0）,F2（4,0）是雙曲線C：m-4=i（m>。）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)m是雙曲線C上一點(diǎn)，且/EMF=60°,則4F1MF的面

18、積為.22xy【解析】因?yàn)镕1（4,0）（4,°）是雙曲線C”4=1（m>°）的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以m+4=16，所以m=12，設(shè)|MR|=m',|MF2|=n,因?yàn)辄c(diǎn)M是雙曲線上一點(diǎn)，且/EMF=60°，所以|m'-n|=4',m'2+n2-2mzncos60°=64，由-之得mn=16,15、a所以F1MF的面積S='m'nsin60°=4V0.答案：4、2A27L匕a4.（12分）已知雙曲線C:H-"=1（a>0,b>0）的一條漸近線的方程為y=Px,右焦點(diǎn)F到直線x=

19、匕的距離3為2.（1）求雙曲線C的方程.(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B,D兩點(diǎn)，已知A(1,0),若口FEF=1,證明：過A,B,D三點(diǎn)的圓與x軸相切.【解析】(1)依題意有"=J,c-1：=.因?yàn)閍2+b2=c2,所以c=2a,所以a=1,c=2,b2=3.故雙曲線C的方程為x2-3=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m(m>0),B(xi,xi+m),D(x2,x2+m),BD的中點(diǎn)為M,得2x2-2mx-m2-3=0,m2+3所以xi+x2=m,xix2=-又因?yàn)镈F.EF=1,即(2-xi)(2-x2)+(xi+m)(x2+m)=1.所以

20、m=0(舍)或m=2.7所以xi+x2=2,x1x2=-二,%+七M(jìn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為'=1,因?yàn)镈A.BA=(1x1)(1x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0.所以AD!AB,所以過A,B,D三點(diǎn)的圓以點(diǎn)M為圓心，BD為直徑，因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,所以MALx軸，所以過A,B,D三點(diǎn)的圓與x軸相切.5.(13分)已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)N(2,0)并且與圓M:(x+2)2+y2=4相外切，動(dòng)圓圓心P的軌跡為W過點(diǎn)N的直線l與軌跡W交于A,B兩點(diǎn).(1)求軌跡W勺方程.(2)若2俞=油，求直線l的方程.(3)對(duì)于l的任意一確定的位置,在直線x=2上是否存在一點(diǎn)Q,使得QAQii=0,并說明理由【解析】(1)依題意可知|PM|=|PN|+2,所以|PM|-|PN|=2<|MN|=4,所以點(diǎn)P的軌跡W是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,22Xyi77設(shè)其方程為"-"=1(a>0,b>0),則a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以軌跡W的方程為x2-3=i(x>1).(2)當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足2AN=N