Chapter隨機變量及其分布

1、2022-3-271第二章 隨機變量及其分布 隨機變量及其分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量函數(shù)的分布2022-3-2722.1 隨機變量及其分布函數(shù)定義定義1：設E為隨機試驗， =為其樣本空間，若對任意，有唯一實數(shù)X（ ）與之對應，則稱X（ ）定義定義2：設有隨機變量X，對任意x-，+ ，稱)()(xXPxF為隨機變量隨機變量為隨機變量X的分布函數(shù)分布函數(shù).實質上是定義在上的單值函數(shù)函數(shù)注意：1.不是等于2.一定要區(qū)分X與x2022-3-273分布函數(shù)的性質分布函數(shù)的性質設隨機變量X的分布函數(shù)為F（x），則（1）（2）F（x）是x的非降函數(shù)（3）F（x）右連續(xù)（4）, 1)(

2、0 xxF0)(lim)(, 1)(lim)(xXPFxXPFxx分布函數(shù)的每一個取值都是一個概概率率2022-3-2742.2 離散型隨機變量定義：定義：若隨機變量X只取有限個可能值或至多可列個可能值x1,x2 ,xi ,，則稱X為離散型隨機變量離散型隨機變量，稱 , 2 , 1,)(ipxXPii為隨機變量X的概率分布列概率分布列表示為：XPx1,x2, , xi , p1,p2, , pi , 離散型隨機變量X的分布列的兩條基本性質：基本性質：（1）非負性 , 2 , 1, 0 ipi（2）規(guī)范性 11iiPn個人中至少兩人生日相同的概率的表格是不是分布列？2022-3-275離散型隨機

3、變量的分布函數(shù)xPxXPxFxxii)()(例：例：給定離散型隨機變量X的分布列如下：XP0 1 2101106103（1）求X的分布函數(shù)F（x）（2）作出F（x）的圖形（3）求).231 (),231 (),230(XPXPXP通常說的隨機變量的概率分布（常簡稱分布分布）是指隨機變量的分布列或者分布函數(shù).2022-3-276兩點分布兩點分布定義：定義：設離散型隨機變量X的分布列為XP 0 11-p p其中 ，則稱X服從兩點分布，亦稱X服從（01）分布，記為X（01）分布10 p兩點分布的分布函數(shù), 1,1, 0)(pxF0 x10 x1x區(qū)分以下概念：區(qū)分以下概念：分布函數(shù)，概率分布列（分布

4、列），概率分布圖，概率分布（分布）注意并熟悉這種提法2022-3-277二項分布二項分布n重獨立試驗將試驗E重復進行n次，且各次試驗的結果在概率上互不影響伯努利試驗一次試驗只有兩種可能的結果n重伯努利試驗中，X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則A發(fā)生k次的概率：（p是A在各次試驗中出現(xiàn)的概率，q1-p）顯然0)( kxP10nknknkknqpqpC定義：定義：若離散型隨機變量X的分布列為, 2 , 1 , 0,)(nkqpCkXPknkkn 其中0p1，q=1-p.則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，簡稱X服從二項分布，記為XB（n，p）, 2 , 1 , 0,)(nkqpCkXPknkkn 兩點分布是

5、其n1時的特例2022-3-278定理：定理：設離散型隨機變量XB（n，p），若記(n+1)p為(n+1)p的整數(shù)部分，則 ;若(n+1)p)(max) 1(0kXPpnXPnk為正整數(shù)，則P(X= (n+1)p)=P(X =(n+1)p-1)均為pk, k=0,1, 2, ,n中的最大值.稱(n+1)p是二項分布B(n,p)中最可能出最可能出現(xiàn)次數(shù)現(xiàn)次數(shù)，稱 P(X= (n+1)p)為二項分布的中心項中心項例：例： 有9位工人，間歇的使用電力，假設在每一時刻每位工人都以同樣的概率0.2需要一個單位的電力，并且各位工人工作（需要電力）相互獨立，求最大可能有多少位工人同時需要供應一個單位的電力？

6、解：X任一時刻同時需要供應電力的工人數(shù)XB(n,p)， n=9,p=0.2(n+1)p=(9+1) 0.2=2與第一章解題的關鍵在于提煉出事件A相對應，本章關鍵在于提煉出隨機變量提煉出隨機變量X2022-3-279例：某種疾病據(jù)歷史資料顯示，這種疾病的患者自然痊愈率為0.25，為了試驗一種新藥，在有關部門批準后，某醫(yī)生把此藥給10個病人服用.該部門實現(xiàn)規(guī)定一個決策原則：若這10個病人中至少有4個治好了，則認為這種藥有效，提高了痊愈率；反之則認為無效，問：雖然新藥有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通過實驗卻被否定的概率是多少？30103105136. 0)65. 0()35. 0()3(kkk

7、CXP例：設有一決策系統(tǒng)，其中每個成員作出的決策互不影響，且每個成員作出正確決策的概率均為p（0p0）是不依賴于t的參數(shù)，求電子設備在T小時內損壞的概率.)( tt本題目其實是導出指數(shù)分布的過程，比較復雜2022-3-2720正態(tài)分布正態(tài)分布定義：定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為 xexfx,212220；分布函數(shù)分布函數(shù) xdtexFxt，22221標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布(XN(0,1)： 即0，1時概率密度函數(shù)分布函數(shù) xexx,2122 xdtexxt，2221其圖形關于x= 對稱,故被稱為位置參數(shù);且x= 取到最大值其中 為常數(shù).則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布或高斯分布，記為X

8、N(,2).2022-3-2721例：例：設隨機變量XN(,2)，試求 3 , 2 , 1,kkXP例：例： 由歷史記錄，某地區(qū)年總降雨量XN(600,1502),(單位：mm),求（1）明年年降雨量在400mm700m之間的概率為多少？（2）明年年降雨量至少為300mm的概率為多少？（3）明年年降雨量小于何值時概率為0.1？);(1xx）（重要性質：)(xxF）（若XN(,2)說明只需通過一個線性變換，即可將正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布2022-3-27222.4 隨機變量函數(shù)的分布定義：定義： 設y=g(x)為 一個通常的連續(xù)函數(shù)，令Y=g(X)，其中X為隨機變量，那么Y也是隨機變量，并稱它為

9、隨機變量X的函數(shù).2022-3-2723離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布設隨機變量X的分布列為：XPx1,x2, , xk , p1,p2, , pk , Y=g(X)為X的函數(shù)，求Y的分布列例：例：設X的分布列為XP(X=xi)-2 -1 0 1 20.1 0.2 0.4 0.1 0.1試求：(1)Y=2X+1，(2)Y=X2兩種場合下Y的分布列2022-3-2724連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設有連續(xù)型隨機變量X，其概率密度函數(shù)為fX(x)，又函數(shù)y=g(x)嚴格單調，反函數(shù)g-1(y) 有連續(xù)導數(shù)，則Y=g(X)也是一個連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為 , 0,11yygygfyfXY其他其中，)(),(max)(),(mingggg，例：例：設隨機變量XN(,2)，求Y=aX+b（a，b為常數(shù)，a 0）的概率密度函數(shù)2022-3-2725本章的核心內容核心內容是四個概念：1.隨機變量X2.概率P（Xx）3.分布函數(shù)F（x）4.概率密度f（x）作業(yè)：設隨機變量X具有概率密度0, 00,)(3xxKexfx試確定常數(shù)K，并求P（X0.1）2022-3-2726問題問題：1.什么是隨機變量？其實質是什么？2.分布列是離散型隨機變量的概念還是連續(xù)型隨