chapter矩陣與行列式小結(jié)

1、一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)2. 行列式定義和性質(zhì)行列式定義和性質(zhì)3. 關(guān)于行列式的一些重要公式關(guān)于行列式的一些重要公式1. 矩陣運(yùn)算及分塊矩陣的運(yùn)算矩陣運(yùn)算及分塊矩陣的運(yùn)算4. 關(guān)于逆矩陣的一些重要結(jié)論關(guān)于逆矩陣的一些重要結(jié)論5. 初等變換與初等矩陣初等變換與初等矩陣6. 克萊姆法則克萊姆法則7. 注意比較注意比較二、題型及方法二、題型及方法1. 行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算2. 逆矩陣的求法逆矩陣的求法3. 矩陣的秩的求法矩陣的秩的求法4. 矩陣方程的解法矩陣方程的解法5. Gramer法則的應(yīng)用法則的應(yīng)用一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié)1. 矩陣運(yùn)算及分塊矩陣的運(yùn)算矩陣運(yùn)算及分塊矩陣的運(yùn)算 mnmmnn

2、aaaaaaaaaA112222111211 mnmmnnaaaaaaaaa112222111211(1) 行矩陣行矩陣: ;,112111nnaaaA 列矩陣列矩陣: 121111mmaaaA方陣方陣: 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣的矩陣A,稱為稱為n階方陣階方陣.nA記記為為(2) 零矩陣零矩陣(3) 上上(下下)三角方陣三角方陣 mnnnaaaaaa00022211211(4) 對(duì)角方陣對(duì)角方陣(5) 單位矩陣單位矩陣(方陣方陣)(6) 矩陣矩陣A,B同型同型(7) 相等矩陣相等矩陣(8) 階梯形矩陣階梯形矩陣(9) 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 nnnnnnaaaaaaaaa21222

3、1211211(10) 反對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣 00021212112nnnnaaaaaa(11) 伴隨矩陣伴隨矩陣 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111 112222111211 mnmmnnkakakakakakakakakakA加法：加法：數(shù)乘：數(shù)乘： skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，矩陣， 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，那末規(guī)定矩陣矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個(gè)是一個(gè)

4、矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB乘法：乘法：乘方，轉(zhuǎn)置，共軛乘方，轉(zhuǎn)置，共軛分塊矩陣也有這些運(yùn)算分塊矩陣也有這些運(yùn)算. rrBOBOBAOAOAAB2121.2211 rrBAOBAOBA,11 srAAA設(shè)設(shè)rA11sA.11TTsrTTAAA 則則TsA1TrA1TsA1TrA1.11 TsrTTAAA則則注意要轉(zhuǎn)置兩次注意要轉(zhuǎn)置兩次.2. 行列式的定義和性質(zhì)行列式的定義和性質(zhì)定義定義 2122221112112nnnnnnaaaaaaaaaDnn 階階行行列列式式個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由是一個(gè)算式，且是一個(gè)算式，且,1 ,1 ,11121211

5、1111111 nAaAaAaAanaDnnnjjj.), 2 , 1(11的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式是是其中其中njaAjj 定義定義. 代數(shù)余子式代數(shù)余子式 ,212222111211列列行行與與第第所所在在的的第第中中劃劃去去元元素素在在jiaaaaaaaaaaijnnnnnn剩下的元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)新的行列式剩下的元素按原來(lái)的排法構(gòu)成一個(gè)新的行列式,111111111111111111111111ijnnnjnjnnijijiinijijiinjjMaaaaaaaaaaaaaaaa記為記為 .)1( ;,的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式稱為稱為而而記為記為的余子式的余子式稱為元素稱為元素i

6、jijjiijijijaMAMa 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .推論推論 如果行列式有兩行如果行列式有兩行( (列列) )完全相同完全相同, ,則行列式為零則行列式為零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kk行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果

7、有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式若行列式D的某一列（行）的元素都是的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，兩數(shù)之和，則則D等于下列兩個(gè)行列式之和等于下列兩個(gè)行列式之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不

8、變性質(zhì)性質(zhì)7. 行列式按行（列）展開(kāi)法則行列式按行（列）展開(kāi)法則 ;,0,1jijiAAAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiAAAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .,0,1jijiij當(dāng)當(dāng)，當(dāng)當(dāng)其其中中性質(zhì)性質(zhì)8. Laplace定理定理3. 關(guān)于行列式的一些重要公式關(guān)于行列式的一些重要公式AA )1(11)2( AA1*)3( nAAAkkAn )4(BAAB )5(BAkkABn )6( jijiAAajijiAAankkjkinkjkik 0 , 0 )7(11BAOBAOBABCOABABOCAmn)1( , ,)8( kkAAAAOAOAA2121)9( . )10(主對(duì)角線

9、上元素的乘積主對(duì)角線上元素的乘積式的值為式的值為三角行列式與對(duì)角行列三角行列式與對(duì)角行列nnnnOO 212)1(21)1()11( 行行列列式式eVandermond)12(112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD)( )()()(122311312 nnnnxxxxxxxxxxxx njiijxx1)(4. 關(guān)于逆矩陣的一些重要結(jié)論關(guān)于逆矩陣的一些重要結(jié)論ABBAEBAAB 11,)1(則則若若EAAAAA *)2(*11, 0)3(AAAAA 且且可可逆逆1111111)( ,1)( ,)(4( ABABAAAA )()()( ,)()(11111 BAABAA

10、*1*11*)( ,1)()(5(AkkAAAAAn AAAAAnn2*1*)( ,)1()( acbddcba*:注注 11111. 6kkAOOAAOOA OAAOOAAOkk11111 11111. 7BOCBAABOCA 11111BCABOABCOA5. 初等變換與初等矩陣初等變換與初等矩陣定義定義.下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: ）；記記作作兩兩行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行（對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的

11、的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定義定義. . 由單位矩陣由單位矩陣E 經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方 陣稱為初等矩陣陣稱為初等矩陣. .定理定理1. 任何矩陣任何矩陣A可以只用初等行變換化成階梯形矩陣可以只用初等行變換化成階梯形矩陣.定理定理2. 任何矩陣任何矩陣A可以用初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣可以用初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.定理定理3. 初等變換不改變方陣的可逆性與不可逆性初等變換不改變方陣的可逆性與不可逆性.定理定理4. .EAAn 可可逆逆階階方方陣陣 定理定理5 5 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣

12、，對(duì) 施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換，相當(dāng)于施行一次初等列變換，相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA可可逆逆A)1(0 AEA 的的乘乘積積可可表表成成有有限限個(gè)個(gè)初初等等矩矩陣陣A化化成成單單位位矩矩陣陣可可經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等行行變變換換A等等價(jià)價(jià)與與BA)2(BPAQQP 使得使得存在可逆矩陣存在可逆矩陣,經(jīng)初等變換得到經(jīng)初等變換得到可由可由AB)()(BrankArank 6. 克萊姆法則克萊姆法則定理定理1. 如果線

13、性方程組的系數(shù)行列式不等于如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于0，則方，則方 程組一定有解，且解是唯一的程組一定有解，且解是唯一的.定理定理2. 如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則如果線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則 它的系數(shù)行列式必為它的系數(shù)行列式必為0.推論推論1. 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 則齊次線性方程組只有唯一零解則齊次線性方程組只有唯一零解., 0 A推論推論2. 如果齊次線性方程組有非零解，則它的如果齊次線性方程組有非零解，則它的 系數(shù)行列式系數(shù)行列式. 0 A7. 注意比較注意比較BAABABABABAB ,)( ,)(1(111BABAB

14、ABABABA ,)( ,)(2(111 )3(以下為錯(cuò)誤的表達(dá)式以下為錯(cuò)誤的表達(dá)式2222)(BABABA 22)(BABABA CBOAACAB 則則且且若若,EAEAEA 或或則則若若,20, AOA則則若若AA BABA 二、題型及方法二、題型及方法1. 行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算方法一、方法一、利用行列式的性質(zhì)，或通過(guò)將行列式化為利用行列式的性質(zhì)，或通過(guò)將行列式化為三角行列式來(lái)計(jì)算行列式的值三角行列式來(lái)計(jì)算行列式的值. .方法二、方法二、當(dāng)行列式各行當(dāng)行列式各行( (列列) )元素之和相同時(shí)，應(yīng)先元素之和相同時(shí)，應(yīng)先把各列把各列( (行行) )加到第加到第1 1列列( (行行) )，提

15、取公因式后再考慮，提取公因式后再考慮. .方法三、方法三、根據(jù)行列式的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，根據(jù)行列式的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某一行將行列式的某一行( (列列) )化出盡量多的化出盡量多的0 0元素，然后元素，然后由定義按該行由定義按該行( (列列) )展開(kāi)展開(kāi). .方法四、方法四、當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時(shí)，可利當(dāng)各階行列式具有同一結(jié)構(gòu)形式時(shí)，可利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算或證明行列式的值用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算或證明行列式的值. .方法五、方法五、先用展開(kāi)或拆項(xiàng)等方法，將原行列式表成先用展開(kāi)或拆項(xiàng)等方法，將原行列式表成低階同型行列式的線性關(guān)系，再由遞推法得出結(jié)果低階同型行列式的線性關(guān)系，再

16、由遞推法得出結(jié)果. .方法六、方法六、當(dāng)行列式為三線非當(dāng)行列式為三線非0 0行列式時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為行列式時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為三角行列式來(lái)計(jì)算三角行列式來(lái)計(jì)算. . 方法七、方法七、加邊法，即在行列式值不變的情況下，加加邊法，即在行列式值不變的情況下，加上一行一列上一行一列. . 用于主對(duì)角線上元素不同，其余元素用于主對(duì)角線上元素不同，其余元素相同相同( (或各行其余元素成比例或各行其余元素成比例) )的行列式的行列式. .2. 逆矩陣的求法逆矩陣的求法(1)利用定義及恒等變形得到利用定義及恒等變形得到 (用于證明題或不知道用于證明題或不知道A的具體內(nèi)容的具體內(nèi)容)*11)2(AAA 利用公式利用公式(

17、3)利用初等行變換利用初等行變換 1 AEEA行行(4)利用分塊矩陣來(lái)求逆矩陣?yán)梅謮K矩陣來(lái)求逆矩陣3. 矩陣的秩的求法矩陣的秩的求法)(0(ArankA行的個(gè)數(shù)即行的個(gè)數(shù)即非非階梯形矩陣階梯形矩陣行行4. 矩陣方程的解法矩陣方程的解法BAXBAX1)1( XEBAEBA 1行行即即1)2( BAXBXA XEBAEBA1列列即即5. Gramer法則的應(yīng)用法則的應(yīng)用199421022130113. 1 計(jì)算計(jì)算exSolution.120042210021130013199421022130113 142221113200421002130013 1422211130 252414446 0

18、)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(. 22222222222222222 ddddccccbbbbaaaaDex 證證明明Solution.5232125232125232125232122222 ddddccccbbbbaaaaD42124212421242122222 ddccbbaa0 3111131111311113. 3 Dex 計(jì)算計(jì)算Solution.4321rrrrD 311113111131666631111311113111116 141312rrrrrr 2000020000201111648 bacccbacbbaacbaex 22

19、2222. 4 計(jì)計(jì)算算Solution.bacccbacbbcbacbacba 2222原原式式bacccbacbbcba 2222111)(baccacbbcba 0202001)(.)(3cba 110000030000220000111321. 5 nnnnex計(jì)計(jì)算算Solution.110000030000220000101322)1( nnnnnn原式原式11000000002200012)1( nnnn)1()2)(1(2)1( nnn)!1()1(2)1(1 nnnn)!.1()1(211 nnnex2222223222222222221. 6計(jì)計(jì)算算Solution.200

20、00001002222200001 n原式原式200000102222)1( n)!.2(2)1( n., 0 ,. 7BABAEBBBBEAAAAnBAex 求求及及滿滿足足階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)Solution.ABBA , 0EBAEBA 而而B(niǎo)AABBA BABA)( BBAA)( BBAA)( BBAA)( BBAA BAA 20)1(2 BAA故故0 BA,3. 8333222111333222111 dcbdcbdcbBdcadcadcaAex階階方方陣陣設(shè)設(shè)有有. |,21| , 2|BABA 求求且且已已知知Solution.333322221111222222|dcbadcb

21、adcbaBA 333222111333222111222222222222dcbdcbdcbdcadcadca .10|4|4 BAex9. |)( | |,2|, 5| , 3|,100,1 ABABBABA求求且且階階方方陣陣為為設(shè)設(shè)Solution.;215|2|2|100100 BAAB.15115|)|(|)( |1111 BAABAB,22OEAA 由由 EEAA2 得得, 0 AEEAA 212 EAA.,2,:,22并并求求它它們們的的逆逆矩矩陣陣都都可可逆逆證證明明滿滿足足方方程程設(shè)設(shè)方方陣陣EAAOEAAA ex10.可可逆逆故故A1 A .211EAA Solution

22、.OEAA 22又又由由 OEEAEA 432 EEAEA 3412.EA可逆可逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA , 13412 EAEAex11 求方陣求方陣 的逆矩陣的逆矩陣. . 343122321ASolution.343122321 A, 02 .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 .,0000000000000000.121121 Aaaaa

23、Aexnn求求設(shè)設(shè)Solution. OaAOAnn 1記記 OAaOAnn1111則則 00000000000000001112111nnaaaa.,3800026000002000001200011.131 AAex求求設(shè)設(shè)Solution.,321 AOAOAA,3826),2(,1211321 AAA,12111211111 A),21(12 A,6823213826113 A 1312111AOAOAA.340001230000021000001200011 .234311111012110:.14OXex 解解矩矩陣陣方方程程Solution.,BXA 100010001 1110

24、12110 001010100 110012111 001213100 110100111 213001100 100110111 213212113 100010011 213212305 100010001,2132123051 A1 BAX 234311 213212305.658326 ex15. 用初等變換法求解下列矩陣方程用初等變換法求解下列矩陣方程:.1000210012103211000110011101111 nnnXSolution. 1000100021001100121011103211111nnn 10001000110001001110001011110001.10

25、00110011101111 X.,2001,2111,.16101ADPDAPPex求求其其中中設(shè)設(shè) Solution.,1 PDPA,1112211111 P11010 PPDA1020012111 1112 1020012111 1112 11102121 1112.1222122211111010 .,101020101 ,3.172BABAEABBAex求求且且滿滿足足階階方方陣陣設(shè)設(shè) Solution.,2EABAB ),)()(EAEABEA 001010100| EA, 01 .可逆可逆EA )(EAB .201030102 .,161117231461203211.18的秩的秩求求設(shè)設(shè)AbaAex Solution. babaA4420126101221003211161117231461203211 020000008001221003211ba; 2)(,2, 8 Arba時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng); 3)(,2, 8 Arba時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng); 3)(,2, 8 Arba時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng). 4)(,2, 8 Arba時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng). 3)(, 2)(, ,2111212112.192 ArAraaaAex使使的值的值確定確定設(shè)設(shè)Solution. 2112121211211121211222aaaaA 22330330211222aaaa 2000330211222a