三角函數的重心移向函數

1、1三角函數的重心移向函數三角函數的重心移向函數一種經典的說法是：三角函數存在的理由是加法定理一種經典的說法是：三角函數存在的理由是加法定理. .三角函數的重心何在？三角函數的重心何在？所謂加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公所謂加法定理，所指的是：和差角公式、倍半角公式、和差化積公式與積化和差公式等式、和差化積公式與積化和差公式等. .所有這些，講的都是三角函數式的恒等變形所有這些，講的都是三角函數式的恒等變形. . 所謂重心的移動，難道三角的重心已經不在這里嗎？所謂重心的移動，難道三角的重心已經不在這里嗎？請看請看20072007年的三角函數的考試年的三角函數的考試. .前臺后庫前臺后庫

2、2（1 1）20072007年高考數學大綱，要求保持平穩(wěn)年高考數學大綱，要求保持平穩(wěn). .2007年年考試大綱考試大綱中的三角函數中的三角函數（2 2）試題設計的創(chuàng)新程度，要符合中學教學實際與學生實際）試題設計的創(chuàng)新程度，要符合中學教學實際與學生實際. .（3 3）三角函數、立體幾何兩個模塊的具體要求降低）三角函數、立體幾何兩個模塊的具體要求降低（4 4）易、中、難三種題型設計的比例，容易題和中檔題為主）易、中、難三種題型設計的比例，容易題和中檔題為主體，較難題不超過體，較難題不超過30%30%，中檔題和容易題不低于中檔題和容易題不低于70%.70%.修訂后的修訂后的20072007年考綱有如

3、下引人關注的幾點：年考綱有如下引人關注的幾點：這里，明白無誤地聲明，三角函數的這里，明白無誤地聲明，三角函數的“具體要求降低具體要求降低”. .當年的考卷兌現了諾言，三角函數的要求的確降低了當年的考卷兌現了諾言，三角函數的要求的確降低了. .3【例【例1】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【點評】【點評】 本題考查函數，是函數求值問題本題考查函數，是函數求值問題. 函數式為函數式為 y = f (x)

4、= sin x ( 或或cos x )求求 x =210( 或或 x = 330)4【例【例1】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 理理1) sin210=(A) (B) (C) ( D )23232121【例【例2】 (2007年全國甲卷年全國甲卷 文文1) cos330=(A) (B) ( C ) (D)23232121【說明】【說明】 本題對本題對“任意角降低要求任意角降低要求”作了解釋：任意角的實際作了解釋：任意角的實際意義是將三角形的內角擴大到意義是將三角形的內角擴大到0到到360之間之間.這就是考題對考綱的兌現這就是考題對考綱的兌現.5關于考點要求的四個層次：了解、理解、掌握和應用，

5、人們對關于考點要求的四個層次：了解、理解、掌握和應用，人們對于于“了解了解”和和“理解理解”，從來就很模糊，因為它們在命題中不，從來就很模糊，因為它們在命題中不具備操作性具備操作性. . “理解理解”降成降成“了解了解”“任意角的概念和弧度的意義任意角的概念和弧度的意義”降低要求之后，三角函數的大降低要求之后，三角函數的大題也就隨之降低了要求題也就隨之降低了要求. .有的試卷，單一的三角函數的試題有有的試卷，單一的三角函數的試題有可能不出現在大題中可能不出現在大題中. .新大綱提出這種變動，只在告訴人們，對此考點降低了要求新大綱提出這種變動，只在告訴人們，對此考點降低了要求. .對對“弧度意義

6、弧度意義”降低要求后，人們至少不會在如下問題上大做降低要求后，人們至少不會在如下問題上大做文章了：文章了： 設設x為銳角，求證：為銳角，求證：sinx x tanx6【分析分析】 求單調區(qū)間，是在研究函數的通性求單調區(qū)間，是在研究函數的通性. 這里只不過把三角這里只不過把三角函數當成了一個具體的函數而已函數當成了一個具體的函數而已. 【例例3】 （2007年年 全國乙卷全國乙卷 理理12） 函數函數 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)欲求欲求 y = f (x)的一個單調增區(qū)間，

7、易想到先統(tǒng)一的一個單調增區(qū)間，易想到先統(tǒng)一 y = f (x)中的角，中的角，這在函數式的變換中稱作這在函數式的變換中稱作“自變量的集元自變量的集元”.7【分析分析】 為了為了“集元集元”，可將，可將 向向 x 統(tǒng)一統(tǒng)一. 這可通過將這可通過將cos2 降冪來實現降冪來實現. 然后將然后將y = f (x)化成二次函數型，化成二次函數型，再根據復合函數的單調性求解再根據復合函數的單調性求解.2x【例例3】 （2007年年 全國乙卷全國乙卷 理理12） 函數函數 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B)

8、 (C) (D)2x在這里，把三角函數的單調性化為復合二次函數的單調性求解在這里，把三角函數的單調性化為復合二次函數的單調性求解.8【解析解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos1coscos22xxx【例例3】 （2007年年 全國乙卷全國乙卷 理理12） 函數函數 f (x) = cos2 x 2 cos2 的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是2x32 ,32 ,63 , 06 ,6(A) (B) (C) (D)9【解析解析】 y = f (x) = cos2 x 2 cos22x2cos12cos2xx.45)21(cos

9、1coscos22xxx( 1 t 1).xxtcos)(45)21()(2ttfy【插話】【插話】 于是三角函數的問題轉化為二次函數求解于是三角函數的問題轉化為二次函數求解.1045)21()(2ttfy只需探求使得只需探求使得 和和 ( 1 t 1)單調性一致單調性一致的的x的范圍即可的范圍即可.xxtcos)()(tfy 而當而當 時，時， 單調遞減，單調遞減，323 xxxtcos)(此時此時 ，并且存在，并且存在 上上 單調遞減單調遞減. 21)(21tf21 ,21)(tfy 因此時因此時y = f (x)的一個單調區(qū)間為的一個單調區(qū)間為 ，故選，故選A.32 ,3【續(xù)解】【續(xù)解】

10、 對二次函數對二次函數 ( 1 t 1).11【點評點評】 此題以三角為載體，重點考查了函數的單調性、此題以三角為載體，重點考查了函數的單調性、二次函數的性質、復合函數的單調性二次函數的性質、復合函數的單調性.三角函數的值域等，在這里只作為復合函數的一員三角函數的值域等，在這里只作為復合函數的一員. 而三角函數的二倍角的余弦公式，在這里只充當了恒等而三角函數的二倍角的余弦公式，在這里只充當了恒等變換中的一個工具變換中的一個工具.盡管本題是一個選擇題，但涉及到的內涵十分豐富，特盡管本題是一個選擇題，但涉及到的內涵十分豐富，特別是函數思想在解題中的運用別是函數思想在解題中的運用.12【 例例4】

11、（全國甲卷（全國甲卷 理理2文文3）函數函數 y = |sin x|的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443 ,423 ,2 ,23【解【解1】 抽象思維變式：抽象思維變式： 【點評】【點評】 本題考函數，正弦函數與絕對值函數的復合本題考函數，正弦函數與絕對值函數的復合22cos1sin |sin| 2xxxy按復合函數的單調性易知，本題答案為按復合函數的單調性易知，本題答案為C.13【 例例4】 （全國甲卷（全國甲卷 理理2文文3）函數函數 y = |sin x|的一個單調增區(qū)間是的一個單調增區(qū)間是 (A) (B) ( C ) (D)4 ,443

12、,423 ,2 ,23【解【解2】 直覺思維看圖：直覺思維看圖：【點評】【點評】 本題考函數的圖象變換本題考函數的圖象變換. 是數形結合的代表作是數形結合的代表作.看圖易知，本題答案為看圖易知，本題答案為C.14三角函數三角函數 轉向轉向“函數函數”【例例5】 (全國甲卷全國甲卷 理理17) 在在 ABC 中，已知內角中，已知內角A= ，邊，邊 BC=2 . 設內角設內角B = x, 周周長為長為y.（）求函數）求函數 y = f (x)的解析式和定義域；的解析式和定義域；（）求）求 y 的最大值的最大值.33【評說】【評說】 本題考函數本題考函數函數建模函數建模. 三角函數只充當了一個三角函

13、數只充當了一個“載體載體”將三角函數納入普通函數將三角函數納入普通函數之之 列，考查的是函數的共性：函數的定義域、對應法則、值域、列，考查的是函數的共性：函數的定義域、對應法則、值域、函數應用等函數應用等. 本題預示：三角本題預示：三角“專題專題”，已從大題中淡出，已從大題中淡出.15 【分析】【分析】 本題本題“大中含小大中含小”，小到什么程度呢？連初中生都可，小到什么程度呢？連初中生都可拿到不少的分數拿到不少的分數 . 【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分）分）) 在在 ABC 中，已知內角中，已知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內

14、角B = x, 周長為周長為 y.（）求函數）求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33大中含小的含小的“大題大題” 【分割】【分割】 對題對題，求函數的解析式和定義域，而定義域是獨立，求函數的解析式和定義域，而定義域是獨立的，即三角形的，即三角形B角的取值范圍為角的取值范圍為 0 B ，如果，如果()的滿分是的滿分是4分，則這位初中生已經拿到了分，則這位初中生已經拿到了2分分.3216 【分割【分割 】 由正弦定理由正弦定理 . 42332sinsinsinABCBCACAB 則三角形周長則三角形周長 AB+BC+ C ACBsin4s

15、in432)sin(sin432CB【點評】【點評】 那位初中生若能寫到此步，則至少再添那位初中生若能寫到此步，則至少再添1分分.【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分）分）) 在在 ABC 中，已知內角中，已知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內角B = x, 周長為周長為 y.（）求函數）求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33大中含小的含小的“大題大題”17又又 B + C =- A =32故有故有.32,32BCCB令令 y = AB + BC + CA，B = x)3cos

16、(3432xy)32 , 0(x則由（則由（1）得函數）得函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域2cos2sin832CBCB（1）周長周長留給高中生的留給高中生的 僅剩下面僅剩下面1 1分分18【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分）分）) 在在 ABC 中，已知內角中，已知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內角B = x, 周長為周長為y.（）求函數）求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33大中含小含小 頭重腳輕頭重腳輕 實際上，沒有實際上，沒有()的結果，題的

17、結果，題()是照樣可解的是照樣可解的這是解梯式這是解梯式大題的一種迂回策略大題的一種迂回策略. 【分析】【分析】 用解析式用解析式 求其最大值已經求其最大值已經不是難事了不是難事了. 命題人將命題人將()、()兩小題進行捆綁，看來有兩小題進行捆綁，看來有“頭重頭重腳輕腳輕”之嫌，因為相比之下，第之嫌，因為相比之下，第()小題偏重小題偏重. )3cos(3432xy19【單解【單解】 （與題（與題()分離分離 用平面幾何法求解）用平面幾何法求解） 設設 y 的最大值對應的最大點為的最大值對應的最大點為 B = x0 .【題題5】 (甲卷甲卷 理理17 題（題（10分）文分）文18 題（題（12分

18、）分）) 在在 ABC 中，已知內角中，已知內角 A= ，邊，邊 BC = 2 . 設內角設內角B = x, 周長為周長為y.（）求函數）求函數 y = f (x)的解析式和定義域的解析式和定義域 （）求）求 y 的最大值的最大值.33迂回解 另番天地另番天地 內角內角 C 與與 B 是對稱關系，設是對稱關系，設 y 的最大值對應的點的最大值對應的點 C = x0 則也有則也有B=x0. 又又 A= , 故故 C =B = ， 從而從而 ABC 為為 正三角形正三角形. 所以所以 y 的最大值為的最大值為3BC = 6 .33320三角函數的重心移向函數三角函數的重心移向函數過去的經典說法是：三角函數存在的理由是加法定理過去的經典說法是：三角函數存在的