空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)指津

1、.高考資源網(wǎng)（ ），您身邊的高考專家荿薃肅芅蒁螈羈芅薄薁袇莄芃螇螃羀蒞薀蠆罿蒈螅羇罿膇薈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅羆薄葿肄羅芄蚄羀羄莆蕆袆肅葿蚃螂肅膈蒆蚈肂莁蟻肇肁蒃薄羃肀薅蝿袈聿芅薂螄肈莇螈蝕肇蒀薀罿膇腿螆裊膆芁蕿螁膅蒄螄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄膁膀蚄蝕芀節(jié)蒆羈艿蒞螞襖羋薇蒅袀芇芇螀螆芆荿薃肅芅蒁螈羈芅薄薁袇莄芃螇螃羀蒞薀蠆罿蒈螅羇罿膇薈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅羆薄葿肄羅芄蚄羀羄莆蕆袆肅葿蚃螂肅膈蒆蚈肂莁蟻肇肁蒃薄羃肀薅蝿袈聿芅薂螄肈莇螈蝕肇蒀薀罿膇腿螆裊膆芁蕿螁膅蒄螄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄膁膀蚄蝕芀節(jié)蒆羈艿蒞螞襖羋薇蒅袀芇芇螀螆芆荿薃肅芅蒁螈羈芅薄薁袇莄芃螇螃羀蒞薀蠆罿蒈螅羇罿膇薈

2、羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅羆薄葿肄羅芄蚄羀羄莆蕆袆肅葿蚃螂肅膈蒆蚈肂莁蟻肇肁蒃薄羃肀薅蝿袈聿芅薂螄肈莇螈蝕肇蒀薀罿膇腿螆裊膆芁蕿螁膅蒄螄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄膁膀蚄蝕芀節(jié)蒆羈艿蒞螞襖羋薇蒅袀芇芇螀螆芆荿薃肅芅蒁螈羈芅薄薁袇莄芃螇螃羀蒞薀蠆罿蒈螅羇罿膇薈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅 空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)指津在引入空間向量后，許多空間問題（如空間角、空間距離等）的求解，已經(jīng)從傳統(tǒng)的“作證算”轉(zhuǎn)化為，將所求問題表示為向量的閉回路（課本稱為“封口向量”），然后利用數(shù)量積求解，即已從傳統(tǒng)意義上的幾何方法轉(zhuǎn)向以空間向量為媒介的代數(shù)運(yùn)算特別是法向量的應(yīng)用，更是大大拓展了求解空間問題的思路！現(xiàn)對(duì)空間向量與立體幾何

3、一章予以簡(jiǎn)單梳理，供同學(xué)們復(fù)習(xí)參考高.考-資.源-網(wǎng)一、空間向量的線性運(yùn)算1空間向量的概念空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長(zhǎng)度（模）、共線向量等2空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運(yùn)算加法運(yùn)算對(duì)于有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序其和不變?nèi)齻€(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足運(yùn)算律：交換律，即；結(jié)合律，即；分配律，即及（其中均為實(shí)數(shù)）3空間向量的基本定理（）共線向量定理：對(duì)空間向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使（）共面向量定理：如果空間向量不共線，則向量c與向量共

4、面的充要條件是，存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使（）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使其中是空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡(jiǎn)述為：空間任一向量p都可以用一個(gè)基底惟一線性表示（線性組合）4兩個(gè)向量的數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積是，數(shù)量積有如下性質(zhì)：（e為單位向量）；數(shù)量積運(yùn)算滿足運(yùn)算律：交換律，即；與數(shù)乘的結(jié)合律，即；分配律，即二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1空間直角坐標(biāo)系若一個(gè)基底的三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用表示；在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，可建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使xOy=

5、135°（或45°），yOz=90°；在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系（立體幾何中建立的均為右手系）2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算給定空間直角坐標(biāo)系Oxyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使，則叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在惟一的，點(diǎn)的坐標(biāo)，記作分別叫的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律（1）若，則，（2）若，則即一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 4直線的方向向量與向量方程（）位置向量：已知向量a，

6、在空間固定一個(gè)基點(diǎn)O，作向量，則點(diǎn)A在空間的位置被所惟一確定，稱為位置向量（）方向向量與向量方程：給定一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)向量，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，以A為起點(diǎn)作向量，則此向量方程稱為動(dòng)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)直線l的參數(shù)方程，向量a稱為直線l的方向向量三、直線、平面的法向量及向量在平面內(nèi)的射影如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面（記作），向量a叫做平面的法向量法向量有兩個(gè)相反的方向法向量的具體應(yīng)用方法，可以歸結(jié)為：1空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問題來解決（）設(shè)a、b分別為直線的一個(gè)方向向量，那么；（）設(shè)a、b分別為平面的一個(gè)法向量，那么；（）設(shè)直線l的方

7、向向量為a，平面的法向量為b，那么2空間圖形的平行關(guān)系包括直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來研究（）設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么（）直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來證明線面平行問題（）平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行高.考-資.源-網(wǎng)3在立體幾何中，涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角空間角主要有：線線角：異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條直線所在向量的夾角；線面角：直線AB與平面所成角為，其中是平面的法向量；面面角：二面角的大

8、小為或，其中是兩個(gè)半平面的法向量斜線與平面所成角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角（最小角定理）與最小角定理聯(lián)系密切的一個(gè)重要公式是，要注意其應(yīng)用！4立體幾何中涉及的距離問題較多，如點(diǎn)與線的距離，點(diǎn)、線與面的距離，兩異面直線的距離等，都是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，若用向量來處理這類問題，則思路簡(jiǎn)單，解法固定可利用實(shí)現(xiàn)距離與向量之間的轉(zhuǎn)化設(shè)e是直線l的一個(gè)單位方向向量，線段AB在l上的投影是，則有，由此可求點(diǎn)到線，點(diǎn)到面的距離問題空間距離主要有：點(diǎn)面距：設(shè)n是平面的法向量，則B到的距離為；線線距：設(shè)n是兩條異面直線的公垂線的向量，若A，B分別是在上的任意一點(diǎn)，則的距離為；線面距、面面距與前面求法相同

9、對(duì)于不容易作出的空間距離（如線線距、點(diǎn)面距等）、空間角（如線線角、無棱二面角等），利用法向量求解和傳統(tǒng)方法相比具有明顯的優(yōu)勢(shì)如證明直線和平面垂直的判定定理（本文例1），傳統(tǒng)方法是構(gòu)造并多次利用平面幾何中的三角形全等，技巧性大、思想方法靈活（多次轉(zhuǎn)化），雖然典型但許多同學(xué)難以理解和熟練掌握，更不便于表述，而用向量法證明的篇幅大大縮短，容易理解記憶，方法簡(jiǎn)捷！再如，證明垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行（本文例2），使用空間向量則簡(jiǎn)單明了，易于掌握例1已知：m、n是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線l與的交點(diǎn)為O，且求證：證明：在平面內(nèi)任作一條直線，因?yàn)椴黄叫邢蛄?，由平面向量基本定理，存在唯一?shí)數(shù)對(duì)（x，y）

10、，使，由知，即（l與內(nèi)任意直線垂直），所以例2已知：直線OA、BD都垂直于平面，垂足為O、B求證：OABD證明：以O(shè)為原點(diǎn)，在平面內(nèi)作兩條互相垂直的直線分別為x、y軸，以射線OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即，因?yàn)椋瑒t，即，可得，因此，又O、B為兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以O(shè)ABD高.考-資.源-網(wǎng) 羃薁莆肁羂芁蟻羇羈莃蒄袃羀蒅蠆蝿罿膅蒂蚅肈芇蚈羃肈莀蒁衿肇蒂蚆螅肆節(jié)葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肅膆螃袂肂羋薅螈膂莁螁蚄膁蒃薄羂膀膂莇羈腿蒞薂襖膈蕆蒅螀膇膇蝕蚆膆艿蒃羅膆莁蠆袁芅蒄蒁螇芄膃蚇蚃芃芆蒀肂節(jié)蒈蚅羈芁薀薈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒅螂羄羅膄薅袀羄芆螀螆羄荿薃螞羃薁莆肁羂芁蟻羇羈莃蒄袃羀蒅蠆蝿罿膅蒂蚅肈芇蚈羃肈莀蒁衿肇蒂蚆螅肆節(jié)葿螁肅莄螄蚇肄蒆薇羆肅膆螃袂肂羋薅螈膂莁螁蚄膁蒃薄羂膀膂莇羈腿蒞薂襖膈蕆蒅螀膇膇蝕蚆膆艿蒃羅膆莁蠆袁芅蒄蒁螇芄膃蚇蚃芃芆蒀肂節(jié)蒈蚅羈芁薀薈袃芀芀螃蝿袇莂薆蚅袆蒅螂羄羅膄薅袀羄芆螀螆羄荿薃螞羃薁莆肁羂芁蟻羇羈莃蒄袃羀蒅蠆蝿