§7.2估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1、7.2 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 上一節(jié)我們看到，對于總體上一節(jié)我們看到，對于總體X的同一個(gè)的同一個(gè)未知參數(shù)，由于采用的估計(jì)方法不同，可未知參數(shù)，由于采用的估計(jì)方法不同，可能會(huì)產(chǎn)生多個(gè)不同的估計(jì)量這就提出一能會(huì)產(chǎn)生多個(gè)不同的估計(jì)量這就提出一個(gè)問題，當(dāng)總體的一個(gè)參數(shù)存在不同的估個(gè)問題，當(dāng)總體的一個(gè)參數(shù)存在不同的估計(jì)量時(shí)，究竟采用哪一個(gè)好呢？或者說怎計(jì)量時(shí)，究竟采用哪一個(gè)好呢？或者說怎樣評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性能呢？下面給樣評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性能呢？下面給出幾個(gè)常用的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則出幾個(gè)常用的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則一無偏性一無偏性 對于待估參數(shù)，不同的樣本值就會(huì)得到不同對于待估參數(shù)，不同的樣本值就會(huì)得到不同的

2、估計(jì)值這樣，要確定一個(gè)估計(jì)量的好壞，就的估計(jì)值這樣，要確定一個(gè)估計(jì)量的好壞，就不能僅僅依據(jù)某次抽樣的結(jié)果來衡量，而必須由不能僅僅依據(jù)某次抽樣的結(jié)果來衡量，而必須由大量抽樣的結(jié)果來衡量對此，一個(gè)自然而基本大量抽樣的結(jié)果來衡量對此，一個(gè)自然而基本的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計(jì)量無系統(tǒng)偏差也就是說，的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計(jì)量無系統(tǒng)偏差也就是說，盡管在一次抽樣中得到的估計(jì)值不一定恰好等于盡管在一次抽樣中得到的估計(jì)值不一定恰好等于待估參數(shù)的真值，但在大量重復(fù)抽樣時(shí)，所得到待估參數(shù)的真值，但在大量重復(fù)抽樣時(shí)，所得到的估計(jì)值平均起來應(yīng)與待估參數(shù)的真值相同換的估計(jì)值平均起來應(yīng)與待估參數(shù)的真值相同換句話說，我們希望估計(jì)量的均

3、值（數(shù)學(xué)期望）應(yīng)句話說，我們希望估計(jì)量的均值（數(shù)學(xué)期望）應(yīng)等于未知參數(shù)的真值，這就是所謂等于未知參數(shù)的真值，這就是所謂無偏性無偏性(Unbiasedness)的要求的要求定義定義7.1 設(shè)是來自總體設(shè)是來自總體X的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本， nXXX,21 是總體參數(shù)是總體參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)量，若的一個(gè)估計(jì)量，若 （7-7） 則稱則稱 是是 的的無偏估計(jì)量無偏估計(jì)量(Unbiased Estimator) 一個(gè)估計(jì)量如果不是無偏的就稱它是一個(gè)估計(jì)量如果不是無偏的就稱它是有偏估計(jì)量有偏估計(jì)量 稱為估計(jì)量稱為估計(jì)量 的的偏差偏差. 無偏估計(jì)的實(shí)際意義就是無系統(tǒng)偏差估無偏估計(jì)的實(shí)際意義就是無系統(tǒng)偏差估計(jì)量

4、是否無偏是評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重計(jì)量是否無偏是評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)要標(biāo)準(zhǔn) 若若 ，但有，但有 ，則稱，則稱 是是 的的漸近無偏估計(jì)漸近無偏估計(jì) EEElimEn二有效性二有效性 比較兩個(gè)無偏估計(jì)量優(yōu)劣的一個(gè)重要比較兩個(gè)無偏估計(jì)量優(yōu)劣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是觀察它們哪一個(gè)取值更集中于待標(biāo)準(zhǔn)就是觀察它們哪一個(gè)取值更集中于待估參數(shù)的真值附近，即哪一個(gè)估計(jì)量的方估參數(shù)的真值附近，即哪一個(gè)估計(jì)量的方差更小，這就是下面給出的差更小，這就是下面給出的有效性有效性(Effectiveness)概念概念定義定義7.2 設(shè)設(shè) 與與 都是總都是總體參數(shù)體參數(shù) 的無偏估計(jì)，若的無偏估計(jì)，若 （7-8） 則稱則稱 比

5、比 更有效更有效nXXX,2111nXXX,2122 21DD12三三 相合性相合性 在在 的所有無偏估計(jì)量中，如果存在的所有無偏估計(jì)量中，如果存在一個(gè)估計(jì)量一個(gè)估計(jì)量 ，它的方差最小，則此估計(jì)，它的方差最小，則此估計(jì)量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計(jì)量量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計(jì)量 為為 的的最最小方差無偏估計(jì)小方差無偏估計(jì)，也稱其為，也稱其為最有效的最有效的可可以證明，對于正態(tài)總體以證明，對于正態(tài)總體 ， 是是 的最小方差無偏估計(jì)有效性的意義是，的最小方差無偏估計(jì)有效性的意義是，用用 估計(jì)估計(jì) 時(shí)，除無系統(tǒng)偏差外，還時(shí)，除無系統(tǒng)偏差外，還需考慮估計(jì)的精度需考慮估計(jì)的精度 002,N2,SX2, 估計(jì)量估計(jì)量

6、 的無偏性和有效性都是在樣的無偏性和有效性都是在樣本容量本容量n固定的情況下討論的由于估計(jì)量固定的情況下討論的由于估計(jì)量 和樣本容量和樣本容量n有關(guān)，我們自然希望當(dāng)有關(guān)，我們自然希望當(dāng)n很大很大時(shí)，一次抽樣得出的的時(shí)，一次抽樣得出的的 值能以很大的概值能以很大的概率充分接近被估參數(shù)率充分接近被估參數(shù) ，這就提出了，這就提出了相合相合性性(Consistency)（一致性）的要求（一致性）的要求定義定義7.3 設(shè)設(shè) 是總體參數(shù)是總體參數(shù) 的估計(jì)的估計(jì)量，如果對任意量，如果對任意 都有都有 （7-9） 則稱則稱 是是 的的相合估計(jì)量相合估計(jì)量（或（或一致估計(jì)量一致估計(jì)量）),(21nXXX01li

7、mPn 由第五章定義由第五章定義5.2及（及（7-9）知，）知， 是是 的相合估計(jì)就意味著的相合估計(jì)就意味著 依概率收斂于依概率收斂于 . 根據(jù)大數(shù)定律，無論總體根據(jù)大數(shù)定律，無論總體X服從什么分布，服從什么分布，只要其只要其k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 存在，則對任意存在，則對任意 都有都有 所以樣本的所以樣本的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 始終是總始終是總體體k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩 的相合估計(jì)的相合估計(jì). 進(jìn)一步地進(jìn)一步地, 可可以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計(jì)以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計(jì)必定是相合估計(jì)特別地，必定是相合估計(jì)特別地， 總是總是 的相合估計(jì)的相合估計(jì), 樣本方差樣本方差 和樣本的二階中和樣本的二階中 kkEX011lim1nikkinEXXnPnikikXnA11kXEX2S 心矩心矩 都是總體方差都是總體方差 的相合估計(jì)，的相合估計(jì)， 和和 又都是又都是