動(dòng)點(diǎn)問題(含答案)

1、動(dòng)點(diǎn)問題1. 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形？ 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中2. 如圖，ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN

2、交BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交ACB內(nèi)角平分線CE于E（1）試說明EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想ABC的形狀并證明你的結(jié)論點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對(duì)等邊”證明出結(jié)論（1），再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2），再對(duì)（3）進(jìn)行判斷解答時(shí)不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用3. 如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線

3、段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)NP、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）求NC，MC的長（用t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；（3）是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將ABC的面積和周長同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）探究：t為何值時(shí)，PMC為等腰三角形點(diǎn)評(píng)：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法4. 如圖，在矩形ABCD中

4、，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm（x0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由點(diǎn)評(píng)：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn)5.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，B=

5、90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始，沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)N從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s、點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、C出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MNCD是平行四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MNCD是等腰梯形？點(diǎn)評(píng)：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容6. 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)

6、，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從點(diǎn)D、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）設(shè)BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？點(diǎn)評(píng)：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理在解題（2）時(shí)，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象7. 直線y=- 34x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)P沿路線OBA運(yùn)動(dòng)（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），OPQ的面積

7、為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)S= 485時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)點(diǎn)評(píng)：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理在解題（2）時(shí)，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象1.分析：（1）四邊形PQCD為平行四邊形時(shí)PD=CQ（2）四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)QC-PD=2CE（3）四邊形PQCD為直角梯形時(shí)QC-PD=EC所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個(gè)方程即可解答：解：（1）四邊形PQCD平行為四邊形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即當(dāng)t=6時(shí)，四邊形PQCD平行為四邊形（2）過D作DEBC于E則四

8、邊形ABED為矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四邊形PQCD為等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即當(dāng)t=7（s）時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形（3）由題意知：QC-PD=EC時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即當(dāng)t=6.5（s）時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形2分析：（1）根據(jù)CE平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根據(jù)等邊對(duì)等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO（2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答解答：解：（1）CE平

9、分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形如圖AO=CO，EO=FO，四邊形AECF為平行四邊形，CE平分ACB，ACE= ACB，同理，ACF= ACG，ECF=ACE+ACF= （ACB+ACG）= ×180°=90°，四邊形AECF是矩形（3）ABC是直角三角形四邊形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90°，MNBC，BCA=AOM，BCA=90°，ABC是直角三角形3.分析：（1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形NC

10、=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；ABQN，CMNCAB，CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根據(jù)QN平分ABC的周長，得出MN+NC=AM+BN+AB，據(jù)此來求出t的值然后根據(jù)得出的t的值，求出MNC的面積，即可判斷出MNC的面積是否為ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t值（4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)MP=MC時(shí)，那么PC=2NC，據(jù)此可求出t的值當(dāng)CM=CP時(shí)，可根據(jù)CM和CP的

11、表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t的值當(dāng)MP=PC時(shí)，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值綜上所述可得出符合條件的t的值解答:解：（1）AQ=3-tCN=4-（3-t）=1+t在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5在RtMNC中，cosNCM= = ，CM= （2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形PC=QD，即4-t=t解得t=2（3）如果射線QN將ABC的周長平分，則有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）SMNC= （1+t）2= （1+t）2當(dāng)t= 時(shí)

12、，SMNC=（1+t）2= ×4×3不存在某一時(shí)刻t，使射線QN恰好將ABC的面積和周長同時(shí)平分（4）當(dāng)MP=MC時(shí)（如圖1）則有：NP=NC即PC=2NC4-t=2（1+t）解得：t= 當(dāng)CM=CP時(shí)（如圖2）則有：（1+t）=4-t解得：t= 當(dāng)PM=PC時(shí)（如圖3）則有：在RtMNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 （1+t）2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）當(dāng)t= ，t= ，t= 時(shí)，PMC為等腰三角形4.分析：以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分

13、為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形的必須條件是點(diǎn)P、N重合且點(diǎn)Q、M不重合，此時(shí)AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即x+3x20cm；或者點(diǎn)Q、M重合且點(diǎn)P、N不重合，此時(shí)AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x的值以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話，因?yàn)橛傻谝粏柨芍c(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，AP=MC，BQ=ND；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，AN=MC，BQ=PD所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式如果以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MCBC

14、即x+3x20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x0這些條件不能同時(shí)滿足，所以不能成為等腰梯形解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）因?yàn)锽Q+CM=x+3x=4（ -1）20，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合所以x= -1符合題意當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，由x+3x=20，得x=5此時(shí)DN=x2=2520，不符合題意故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合所以所求x的值為 -1（2）由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由20-

15、（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形所以當(dāng)x=2或x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（3）過點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)由于2xx，所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)若以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF，即2x-x=x2-3x解得x1=0（舍去），x2=4由于當(dāng)x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以P，Q，

16、M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形5.解答：解：（1）MDNC，當(dāng)MD=NC，即15-t=2t，t=5時(shí)，四邊形MNCD是平行四邊形；（2）作DEBC，垂足為E，則CE=21-15=6，當(dāng)CN-MD=12時(shí)，即2t-（15-t）=12，t=9時(shí)，四邊形MNCD是等腰梯形6.分析：（1）若過點(diǎn)P作PMBC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；（2）本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，若PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出；若BP=BQ，在RtPMB中，由PB2=BM2+P

17、M2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出；若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出解答：解：（1）過點(diǎn)P作PMBC于M，則四邊形PDCM為矩形PM=DC=12，QB=16-t，s= QBPM= （16-t）×12=96-6t（0t ）（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況： 若PQ=BQ，在RtPMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ； 若BP=BQ，在RtPMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+1

18、22=（16-t）2，此方程無解，BPPQ若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ，t2=16（不合題意，舍去）綜上所述，當(dāng) 或 時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形7.分析：（1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；（2）因?yàn)镺A=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是8秒，點(diǎn)P的速度是2，從而可求出，當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或0t3）時(shí)，OQ=t，OP=2t，S=t2，當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)（或3t8）時(shí)，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PDOA于點(diǎn)D，由相似三角形的性質(zhì)，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，進(jìn)而求出OD、PD，即可求出P的坐標(biāo)，利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，結(jié)合簡(jiǎn)單的計(jì)算即可寫出M的坐標(biāo)解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）OA=8，OB=6，AB=10點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是 81=8（秒），點(diǎn)P的速度是 6+108=2（單位長度/秒）當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或Ot3）時(shí)，OQ=t，O