衍射的Matlab 模擬

1、衍射的MATLAB模擬劉雁 三峽大學(xué)理學(xué)院2013.4內(nèi)容提要n衍射的基本理論n單縫衍射的Matlab模擬一衍射的基本原理光的衍射現(xiàn)象：光波在空間傳播遇到障礙時，其傳播方向會偏離直線傳播，彎入到障礙物的幾何陰影中，并呈現(xiàn)光強(qiáng)的不均勻分布的現(xiàn)象。4 S K 衍射現(xiàn)象的分類衍射現(xiàn)象的分類 (Classification of light diffraction)： 根據(jù)光源、衍射屏和觀察屏三者之間的位置確定 （1）夫瑯和費(fèi)衍射(Fraunhofer diffraction)： 距離衍射屏遠(yuǎn)處的衍射。 （2）菲涅耳衍射（ Fresnel diffraction ）： 距離衍射屏近處的衍射。 菲涅耳衍

2、射與夫瑯和費(fèi)衍射的區(qū)別1234源點(diǎn)和場點(diǎn)均滿足傍軸近似源點(diǎn)和場點(diǎn)均滿足傍軸近似，但不同時滿足遠(yuǎn)場近似，但不同時滿足遠(yuǎn)場近似源點(diǎn)和場點(diǎn)（或二者之一）源點(diǎn)和場點(diǎn)（或二者之一）在有限遠(yuǎn)。在有限遠(yuǎn)。非平行光衍射非平行光衍射光源面和接收面非光源面和接收面非物象共扼面物象共扼面源點(diǎn)和場點(diǎn)均滿足遠(yuǎn)源點(diǎn)和場點(diǎn)均滿足遠(yuǎn)場近似場近似源點(diǎn)和場點(diǎn)均在無源點(diǎn)和場點(diǎn)均在無限遠(yuǎn)處限遠(yuǎn)處平行光衍射平行光衍射光源面和接收面物光源面和接收面物象共扼面象共扼面菲涅耳衍射夫瑯和費(fèi)衍射6 12121.1.光波的標(biāo)量衍射理論光波的標(biāo)量衍射理論 一、惠更斯菲涅耳原理一、惠更斯菲涅耳原理 1、惠更斯原理 (Huygens principle

3、)： （1）波陣面的形成， （2）波面的傳播方向。惠更斯作圖法解釋波的衍射惠更斯作圖法解釋波的衍射8 SZPrRQZ圖1 點(diǎn)光源S對P點(diǎn)的作用 2、惠更斯菲涅耳原理波陣面外任一點(diǎn)光振動應(yīng)該是波面上所有子波相干疊加的結(jié)果。9 波陣面外任一點(diǎn)光振動應(yīng)該是波面上所有子波相干疊加的結(jié)果。SZPrRQZ drikrECKPEdQexp子波向P點(diǎn)的球面波公式子波法線方向的振幅子波振幅隨角的變化 RikRAEQZZSQexp點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅：任意上在波面光源點(diǎn)的貢獻(xiàn)為：對PEQ10 當(dāng) = 0 時，K()=Max, p/2 時，K()=0. 若S發(fā)出的光源振幅為A（單位距離處）,整個波面的貢獻(xiàn) drikrKi

4、kRRCAPEexpexp菲涅爾假設(shè)：（實(shí)驗(yàn)證明是不對的） drikrECKPEdPdQQexp點(diǎn)的作用：對點(diǎn)處的面光源求解此公式主要問題：C、K()沒有確切的表達(dá)式。 11 二、菲涅耳基爾霍夫衍射公式（確定了二、菲涅耳基爾霍夫衍射公式（確定了C、K( )基爾霍夫 (Kirchhoff) 從波動方程出發(fā)，用場論得出了比較嚴(yán)格的衍射公式。其中，設(shè)定方向角 ( n, l ) 和 ( n, r ) 為與 l 和 r 的夾角。 wwSRw( n,l )( n,r )rPl dlnrnrikrlikliAPE2,cos,cosexpexpP點(diǎn)：由多個虛設(shè)的子波源產(chǎn)生。 12 。前于入射波表示子波的振動位

5、相超p90 21 exp iii成反比。成正比，與波長子波的復(fù)振幅與 2 lnrnK,cos,cos)( dlnrnrikrlikliAPE2,cos,cosexpexp13 cos121 K則RikRlikl)exp()exp(cos),cos( , 1),cos(rnln( n,l )( n,r )rP當(dāng)光線接近于正入射時14 將近似條件代入得到：菲涅耳基爾霍夫衍射近似公式SR( n,l )( n,r )rP drikrRikRAiPEcos1expexp215 三、基爾霍夫衍射公式的近似三、基爾霍夫衍射公式的近似CQPEKy1x1yz1rP0 x 孔徑 的衍射1、傍軸近似（兩點(diǎn)近似）1c

6、oscosrn 1cos121K(1)(2)在振幅項(xiàng)中111zr drikrRikRAiPEcos1expexp216 (3)設(shè)定孔徑函數(shù)1111dydxdyxE,。之內(nèi)，在之外它在RikRAyxEyxE)exp(,1111 0 孔徑 的衍射CQPEKy1x1yz1rP0 x1111dydxikryxEAziyxEexp,進(jìn)一步的計(jì)算需要將exp( ikr )中的r表示成(x,y,z)的函數(shù)。 17 2.菲涅耳近似（對位相項(xiàng)的近似）.821)(31221211212112121211212121zyyxxzyyxxzzyyxxzyyxxzrCQPEKy1x1yz1rP0 x1212112zyy

7、xxzrpp312212182 zyyxx近似條件：18 1212112zyyxxzr稱為菲涅耳近似。11212111112exp,1dydxyyxxzkiyxEzieyxEikzCQPEKy1x1yz1rP0 x得到菲涅耳衍射：19 12211112zyxzyyxxzr3.夫瑯合費(fèi)近似繼續(xù)展開.12121122111122zyxzyxzyyxxz1212112zyyxxzr取上式前三項(xiàng)112212zizyxzikyxE)(exp,1111111dydxyyxxzkiyxEexp,20 菲涅耳衍射和夫瑯合費(fèi)衍射的判別式；pzyxk22121max或者Z(夫瑯合費(fèi)衍射)菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射是

8、兩個經(jīng)常應(yīng)用的衍射計(jì)算。21 2 .2 .典型孔徑的夫瑯合費(fèi)衍射典型孔徑的夫瑯合費(fèi)衍射 一、衍射系統(tǒng)與透鏡作用一、衍射系統(tǒng)與透鏡作用 夫瑯合費(fèi)衍射對z的要求 =600nm,2max21212cmyxmyxz330max21211、透鏡的作用：無窮遠(yuǎn)處的衍射圖樣成象在焦平面上。P f ( x,y ) ( x 1 ,y 1 ) L 2 L 1 S 圖12-5 夫瑯合費(fèi)衍射裝置 22 2、夫瑯合費(fèi)衍射公式變化1111111dydxyyxxzkiyxECyxEexp,其中)(exp1221121zyxzikziC可以寫成11111111dydxzyyzxxikyxECyxEexp,加有透鏡之后，衍射公

9、式如何變化？ 23 fxzx1在傍軸近似下，公式中 x/Z1 由 x /f 代替。計(jì)算公式變?yōu)椋篺iCfyxfik)(exp222pxpz1fx(x, y )(x, y )在無透鏡時，觀察點(diǎn)為P；有透鏡時，在透鏡焦平面上為P 111111dydxfyyfxxikyxECyxEexp,24 加有透鏡之后，有兩個因子與透鏡有關(guān)：（1）復(fù)數(shù)因子其中 r CP y x f 2 2 2 f y x f 2 2 2 結(jié)論：若孔徑很靠近透鏡，r 是孔徑原點(diǎn)O處發(fā)出的子波到P點(diǎn)的光程，而 kr 則是O點(diǎn)到P點(diǎn)的位相延遲。 二、夫瑯合費(fèi)衍射公式的意義二、夫瑯合費(fèi)衍射公式的意義 P ( x,y ) f O H P

10、 ( x 1 ,y 1 ) r D Q C )2(exp122fyxfikfiC25 孔徑上其它點(diǎn)發(fā)出的光波與O 點(diǎn)的光程差： y x 1 1 1 1 sin sin y f x f y x QP OP OH y x D 而位相差恰好是積分中的位相因子，它表示孔徑上各點(diǎn)子波的位相差。（2）位相因子P0 P ( x,y ) f O H P ( x 1 ,y 1 ) r D Q C fyyfxx112pfyfxOHyxD,， 光程差光程差26 夫瑯合費(fèi)衍射公式的意義（總結(jié)）111111dydxfyyfxxikyxECyxEexp,)(expfyxfikfiC2122O點(diǎn)到P點(diǎn)的位相延遲 孔徑上其它

11、點(diǎn)發(fā)出的光波與O 點(diǎn)的位相差。 積分式表示孔徑上各點(diǎn)子波的相干疊加。疊加結(jié)果取決于各點(diǎn)發(fā)出的子波與中心點(diǎn)發(fā)出子波的位相差。 27 三、矩孔衍射三、矩孔衍射 (Diffraction by a rectangular aperture) 1、強(qiáng)度分布計(jì)算 （Intensity distribution calculation） 設(shè)矩形孔的長和寬分別為 a 和 b，用單位平面波照射，即 0111yxE,在矩孔以內(nèi)在矩孔以外b x 1 y 1 ab28 設(shè)sin, sinxyxylmff11112222exp,dydxmylxikCyxEaabb 111111exp,dydxfyyfxxikyxEC

12、yxE將矩孔的復(fù)振幅分布代入下式：29 1221122111112222expexpexp,dyikmydxiklxCdydxmylxikCyxEbbaaaabb 222sin2sinkmbklakmbklaCab若令：,sin2 ,sin2yxbbfykmbaafxklapppp則sinsin,0EyxEabCE 0和30 2、強(qiáng)度分布特點(diǎn)先討論沿y軸方向的分布。 在Y軸上， 20sinIIy當(dāng)當(dāng) =0時，時，I有主極大值有主極大值 ImaxI0， 故：1sin , 02-10-505100.00.20.40.60.81.0 p 2p 2p -p I/I0 -2p 2200220sinsin

13、CabEIII , （1）主極大值的位置：31 （2）極小值的位置：當(dāng)當(dāng) =np p, n=+1,+2,時，即時，即 bfnynfybpp,I=0,有極小值有極小值。-10-505100.00.20.40.60.81.0 p 2p 2p -p I/I0 -2p 20sinIIy主極大值的寬度：bfYp2Y32 對于其它的極大值點(diǎn)，有tgdd，即0sin2可用作圖求解。 （3）次極大值的位置：（4）暗條紋的間隔bfe注意：次極大值位置不在兩暗紋的中間。 -10-505100.00.20.40.60.81.0pp2p2pY=2e e e -1.43p -2.45p 2.45p 1.43p 33 M

14、020406002040600.20.40.60.8220sinsin II0.0470.00220.00220.0470.0470.0470.00220.0022衍射在 X軸呈現(xiàn)與 Y 軸同樣的分布。在空間的其它點(diǎn)上，由兩者的乘積決定。 （5）沿X軸與 Y 軸有同樣的分布：34 四、單縫衍射四、單縫衍射 (Diffraction by a single slit) 已知矩孔衍射的強(qiáng)度分布：sinsin,0EyxE其中bfyafxpp ,x1y1abx1 y1 1. 光強(qiáng)分布計(jì)算 （Intensity distribution calculation）35 當(dāng)ba時，矩孔變?yōu)楠M縫，此時，入射光

15、在Y方向上的衍射效應(yīng) 可以忽略。因此單縫衍射的分布為psin2 ,sin20aklaII36 yx00.511010因?yàn)檩^小，sin=x/f=, 中央極大條紋的角半徑半寬度： faea00P(y)fOP(y1)r衍射條紋與中央條紋e0 2e0 x 2. 光強(qiáng)分布特點(diǎn)37 五、多縫的夫瑯合費(fèi)衍射五、多縫的夫瑯合費(fèi)衍射 )sin(APEpsin2d 2) 1(exp2sin2sin)sin() 1(exp)2exp()exp(1)sin(NiNANiiiAPE2202sin2sin)sin()(NIPI38 所以P點(diǎn)處光強(qiáng)度為： 光強(qiáng)度由兩個因子決定：2sin）（是單縫衍射因子，22/sin)2/

16、sin(N是多縫干涉因子。2202sin2sin)sin()(NIPI40 2、條紋分析（1）干涉因子的影響1）主極大值條件：ppmdmdsinsin22當(dāng) 時,222/sin)2/sin(NN在方向上產(chǎn)生極大，極值為： 202maxsin）（INI2202sin2sin)sin()(NIPI41 次極大的個數(shù)與強(qiáng)度yzfx22024010202222)sin()sin(NN=4在兩個極大之間有N1個零點(diǎn)，有N2個次級極值。 主極大的角半徑）(cosNdD42 （2）衍射因子的影響（3）缺級現(xiàn)象及條件：adnm43 七、夫瑯合費(fèi)圓孔衍射七、夫瑯合費(fèi)圓孔衍射 (Fraunhofer diffra

17、ction by a circular aperture) 1、光強(qiáng)分布：設(shè)圓孔半徑為a，則孔徑函數(shù)變?yōu)?ayx2121當(dāng)ayx2121當(dāng)變?yōu)闃O坐標(biāo)ararYXL2X1Y12rr1111111sincosryrxsincosryrx11111ddrrdydx直角坐標(biāo)變極坐標(biāo)：01E01E44 代入夫瑯合費(fèi)衍射公式1112001111 sinsincoscosexppddrrrrfrikCrEa，設(shè)r/f = 得到： 11120011 pddrrrikCEa)cos(exp，111111dydxfyyfxxikyxECyxEexp,得到極坐標(biāo)夫瑯合費(fèi)衍射公式：45 其中pp10120112krJ

18、drik)cos(exp10krJ是零階貝賽爾函數(shù) 21100111001122ppkkrdkrJkrdrkrJrEaa，即有 kaJkadxxxJkrdkrJkraka1001100111120011 pddrrrikCEa)cos(exp，其中應(yīng)用了遞推公式 xtJdxxxJt1001krx 設(shè)， 當(dāng)ar 1時，akx46 最后得到pkakaJCaE122,其中2ap是圓孔面積，設(shè) 220)(CaIp f r 2 ) ( 2 1 0 ka ka J I I 11120011 pddrrrikCEa)cos(exp，YXL2X1Y12rr147 2.衍射圖樣其中：z = ka, 2102zzJIzI)(當(dāng)z=0時， ,)(lim01021IIzzJz在中心有極大強(qiáng)度點(diǎn)。在中心有極大強(qiáng)度點(diǎn)。 ，時，當(dāng)00)(01IzJz出現(xiàn)暗環(huán)位置。出現(xiàn)暗環(huán)位置。 -10-505100.00.20.40.60.81.0出現(xiàn)次級極大的位置是 021zzJzzJd