第三章貝葉斯估計(jì)理論(LMMSE和小結(jié))

1、信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)Signal Detection and Estimation貝葉斯估計(jì)理論LMMSE和小結(jié)羅義軍QQ:896442923貝葉斯估計(jì)理論內(nèi)容安排主要內(nèi)容主要內(nèi)容引言引言線性貝葉斯估計(jì)量（線性貝葉斯估計(jì)量（LMMSE）估計(jì)量總結(jié)估計(jì)量總結(jié)一般貝葉斯估計(jì)量選擇估計(jì)量使得平均代價(jià)（貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)）最小對(duì)給定代價(jià)函數(shù)，可得最優(yōu)估計(jì)量的形式三種代價(jià)函數(shù)圖11.2 不同代價(jià)函數(shù)的估計(jì)量最小均方誤差（MMSE）估計(jì)最大后驗(yàn)概率（MAP）估計(jì)條件中位數(shù)估計(jì)LMMSE的引入MMSE含有多重積分，MAP含有多維最大值求解問(wèn)題。聯(lián)合高斯假設(shè)條件下容易得到，一般情況下難以求得不能做出高斯假定時(shí)

2、，選擇保留MMSE準(zhǔn)則 限定估計(jì)量線性LMMSE估計(jì)類似于BLUE估計(jì)量的顯式可由前兩階矩來(lái)確定卡爾曼濾波器是維納濾波器的重要推廣貝葉斯估計(jì)理論內(nèi)容安排主要內(nèi)容主要內(nèi)容引言引言線性貝葉斯估計(jì)量（線性貝葉斯估計(jì)量（LMMSE）估計(jì)量總結(jié)估計(jì)量總結(jié)線性MMSE估計(jì)假定標(biāo)量參數(shù)給定數(shù)據(jù)矢量假定：聯(lián)合PDF未知；已知前兩階矩； X與統(tǒng)計(jì)相關(guān)目標(biāo)：求滿足如下形式的最佳估計(jì)量選擇加權(quán)系數(shù) 使貝葉斯MSE最小，導(dǎo)出的估計(jì)量稱為L(zhǎng)MMSE估計(jì)量最佳加權(quán)系數(shù)的推導(dǎo)代入得對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，代入可得這里標(biāo)量！展開(kāi)可得對(duì)加權(quán)系數(shù) 求偏導(dǎo)可得注意：LMMSE估計(jì)僅需1階和2階矩，不需PDF代入并化簡(jiǎn)可得若 和 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則

3、完全基于先驗(yàn)信息，數(shù)據(jù)無(wú)用例12.1 WGN中具有均勻先驗(yàn)PDF的DC電平若 ，00 ,AuA A需要積分而無(wú)法得到閉合形式的解因此，采用LMMSE回顧例10.11N幾何解釋l內(nèi)積空間(IP Spaces)l矢量：全部隨機(jī)變量集合/0均值、有限方差（ZMFV）l標(biāo)量：全部實(shí)數(shù)集合l內(nèi)積： = EXYl構(gòu)成內(nèi)積空間首先：是矢量空間l用于估計(jì)標(biāo)量隨機(jī)變量l由N個(gè)隨機(jī)變量的線性組合進(jìn)行估計(jì)應(yīng)用正交原理假定 可逆矢量LMMSE估計(jì)待估參數(shù)線性估計(jì)量目標(biāo)：對(duì)每個(gè)元素，使 最小可將矩陣A的第i行和矢量a第i個(gè)元素，看成 的標(biāo)量LMMSE估計(jì)量的形式已知每個(gè)待估參數(shù)的標(biāo)量LMMSE形式得出相應(yīng)的解 組合為矢

4、量形式 矢量LMMSE的解矢量LMMSE估計(jì)若相似地，可得 矩陣LMMSE估計(jì)量的兩個(gè)性質(zhì)l1. 在線性變換上是可以轉(zhuǎn)換的 若 且 為L(zhǎng)MMSE估計(jì)量， 則 為 的LMMSE估計(jì)量l2. 未知參數(shù)之和的LMMSE估計(jì)量是每個(gè)估計(jì)量之和 若 則貝葉斯高斯-馬爾可夫定理令數(shù)據(jù)為應(yīng)用前面的結(jié)果，可得與貝葉斯線性估計(jì)（已包含高斯假定）形式相同除非最佳估計(jì)線性，通常為次佳估計(jì)LMMSE只需得到均值和協(xié)方差矩陣則若定理4.2一般線性模型的MVUE定理11.1貝葉斯線性模型下MMSE估計(jì)序貫LMMSE估計(jì)與序貫LS方法相同固定參數(shù)個(gè)數(shù)（在此為隨機(jī)的），增加數(shù)據(jù)樣本數(shù)目數(shù)據(jù)模型目標(biāo)： 給定基于 的估計(jì) ，當(dāng)新

5、的數(shù)據(jù)樣本 到達(dá)時(shí)，更新估計(jì)到求序貫LMMSEl在此，我們利用矢量空間得到“白噪聲中的直流電平”的解，再推廣到一般情況假定 和 均為0均值，給定 ，其LMMSE估計(jì)再由 尋求該估計(jì)的序貫更新看作矢量空間首先估計(jì)新數(shù)據(jù) ，即求利用正交原理由 提供的新的非冗余信息，稱為“新息”由舊數(shù)據(jù)，估計(jì)新數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)A在誤差矢量上的投影正是所求的修正項(xiàng)回顧特性：新息序列新息序列是：1. 推導(dǎo)和應(yīng)用序貫LMMSE的關(guān)鍵2. 正交的（即不相關(guān)的）矢量序列3. 在信號(hào)處理和控制中非常重要一般序貫LMMSE估計(jì) 初始化：無(wú)數(shù)據(jù)，利用先驗(yàn)信息 估計(jì)量更新： 序貫LMMSE框圖框圖與序貫LS相同 回顧貝葉斯MSE最小的估計(jì)量

6、稱為L(zhǎng)MMSE估計(jì)量 注意：LMMSE估計(jì)僅需1階和2階矩，不需PDFl矢量：全部隨機(jī)變量集合/0均值、有限方差（ZMFV）l標(biāo)量：全部實(shí)數(shù)集合l內(nèi)積： = EXYl構(gòu)成內(nèi)積空間上節(jié)課回顧上節(jié)課回顧矢量LMMSE估計(jì)若 矩陣上節(jié)課回顧 初始化：無(wú)數(shù)據(jù)，利用先驗(yàn)信息 估計(jì)量更新： 一般序貫LMMSE估計(jì)信號(hào)處理的例子維納濾波器信號(hào)模型：?jiǎn)栴}表述：用線性濾波器處理 ，得到去噪的信號(hào)，使得所求信號(hào)相關(guān)的 最小WSS廣義平穩(wěn)濾波、平滑、預(yù)測(cè)FIR維納濾波原理上：實(shí)際中：IIR維納濾波可看作 ，此時(shí)維納濾波為時(shí)不變的則維納-霍夫等式為可采用 “譜因式分解”求得維納濾波為IIR時(shí)不變的定長(zhǎng)FIR維納濾波數(shù)據(jù)：FIR平滑器為便于解釋，考慮N=1的情況：IIR平滑器基于數(shù)據(jù) 估計(jì)維納-霍夫方程為：IIR維納濾波1步預(yù)測(cè)的結(jié)果：對(duì)于自回歸AR（3）貝葉斯估計(jì)理論內(nèi)容安排主要內(nèi)容主要內(nèi)容引言引言線性貝葉斯估計(jì)量（線性貝葉斯估計(jì)量（LMMSE）估計(jì)量總結(jié)估計(jì)量總結(jié)估計(jì)方法l在經(jīng)典方法 中，數(shù)據(jù)信息總結(jié)在概率密度函數(shù)p(x;)中，其中PDF是的函數(shù)。l在貝葉斯方法 中，由于先驗(yàn)PDFp()描述了有關(guān)的知識(shí)而增加了數(shù)據(jù)的信息。數(shù)據(jù)信息總結(jié)