人工舉升理論第9講有桿泵診斷技術(shù)

1、人工舉升理論 第第9講講 故障診斷技術(shù)故障診斷技術(shù) 吳曉東抽油機(jī)井故障診斷技術(shù)抽油機(jī)井故障診斷技術(shù) 人們認(rèn)識到地面示功圖診斷的缺陷后，就試圖直接或間接繪出抽油泵示功圖 美國吉而伯特和薩金特于1936年發(fā)明井下動力儀，可以直接獲得泵示功圖 1966年美國S.G.吉布思和A.B.內(nèi)利研究出診斷分析技術(shù) ，建立了抽油桿系的一維帶阻尼波動方程，并用分離變量法求得其截斷的付立葉級數(shù)近似解 。邊界條件就應(yīng)用地面示功圖的載荷時間曲線和位移時間曲線 。用該方法可以給出井下任意截面和泵的示功圖 吉布思建立了帶阻尼一維波動方程： ttxuvxtxucttxu,22222診斷模型及付氏級數(shù)解診斷模型及付氏級數(shù)解 邊

2、界條件用截斷的付立葉級數(shù)作為這些以曲線方式給出的邊界條件的近似表達(dá)式 10sincos2)(nnnrtntnWtLtD10sincos2nnntntnvvtUtdtntDTTncos)(20nn.3 , 2 , 1 , 0TntdtntDT0sin2tdtntUTvTncos)(20TntdtntUT0sin2角速度；D(t)光桿動載荷函數(shù)；L(t)光桿總載荷函數(shù)；Wr抽油桿柱在液體中重力 U(t)光桿位移函數(shù)。 傅立葉系數(shù)將曲線離散化 11112cos2KppnKpnUKvKppnKpnDK12sin2KppnKpnDK12cos211112sin2KppnKpnUK令令=t ,設(shè)設(shè)為離散變

3、量為離散變量 光桿動載荷與關(guān)系曲線 光桿位移與關(guān)系曲線 傅氏級數(shù)解傅氏級數(shù)解 Z（x）和T（t）分別僅為x和t的函數(shù)，微分，并代入(a)中 )()(),(tTxXtxZ令Z（x，t）為一維波動方程的復(fù)數(shù)形式解，則一維波動方程變?yōu)閼?yīng)用分離變量法，解的乘積形式為ttxZvtxZcttxZ,22222(a) (b) )()()()()()( 22 xXxXtTctvTtTctT(c) 2 22 )()()()()()(nxZxZtTctvTtTctT(d) 0)()()(22tTctvTtTn0)()(2xXtXn(f) (e) 偏微分方程（a）分離為兩個常微分方程 首先尋找方程（e）的周期解： 將

4、其微分，并代入方程（e）得出 tinetT: )(傅氏級數(shù)解傅氏級數(shù)解 02222tinntintineceivnen(g) 因?yàn)?0tine222civnnnnnni(i) (h) 代入（h）式，并注意取n,與n為實(shí)數(shù)，解得2112nvcnn2112nvcnn傅氏級數(shù)解傅氏級數(shù)解 n為為方程（d）的本征值。當(dāng)n=0時，0=0，方程(e),(f)成為 0)( vTtT0)(xX(j) (k) （j j）與（）與（k k）的解為）的解為 xxXtT: )(: )(方程（f）的解為諧波方程xxxXnnnncossin)(式中n和n是復(fù)常數(shù) nnninnni(l) (n) (m) 則方程(a)的解應(yīng)

5、為1cossin),(ntinnnnnexxxtxZ(o) 由于txZtxU,Re,(p) 所以，邊界條件是：xtoZEAtD,Re)(q) (r) ),(Re)(toZtU傅氏級數(shù)解傅氏級數(shù)解 (t) (u) (v) (s) tntnEAtDnnnnnnnnsincos)(將（將（o o）代入（）代入（q q）得）得 對比得對比得EAo2nnnnnEAnnnnnEA由（u）（和(v)有 (3-2-6) 22nnnnnnnEA22nnnnnnnEA傅氏級數(shù)解傅氏級數(shù)解 將（o）式代入(r)得 應(yīng)用(o)和一下復(fù)數(shù)恒等式，可以確定位移U（x，t）的公式 對比得 1sincostntntUnn(z

6、) (y) (x) (w) nnvnn2ovxxixxxnnnnnsinhcoscoshsinsinxxixxxnnnnnsinhsincoshcoscostnitnetinsincos傅氏級數(shù)解傅氏級數(shù)解 使用這些恒等式，分離Z（x，t）的實(shí)部，得到 1sin)(cos)(22),(nnnootnxPtnxOxEAvtxUxxvxxxxxPxxvxxxxxOnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsin)sinhcosh(cos)coshsinh()(cos)coshsinh(sin)sinhcosh()(式式中中 利用以上方程和虎克定律可以計算任意截面的動載荷F（x，t）xtxUEAt

7、xF),(),(得到 傅氏級數(shù)解傅氏級數(shù)解 1sin)(cos)(2),(nnnotnxPtnxOEAEAtxF式中 xxvxEAxxvxEAxOxxvxEAxxvxEAxOnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsincosh)(sinhcossinh)(cosh)(cossinh(coshsincosh)(sinh)(等步長有限差分等步長有限差分解解 傅氏級數(shù)解存在的問題是，由于傅氏系數(shù)數(shù)目太低就不能保證精度，因此計算時間較長。此外，傅氏級數(shù)法將使地面示功圖平滑化。有限差分解可以克服這個問題。 可以用臺勞級數(shù)推導(dǎo)出波動方程的有限差分解。設(shè)驢頭下死點(diǎn)為x坐標(biāo)原點(diǎn)，

8、向下為正。u(x,t)也以向下為正，x為x的步長，t為時間步長。足標(biāo)i表示位置，j表示時間，則 tuutujijiji,1,21,1,222tuuutujijijiji2, 1, 1,222xuuuxujijijiji(a) (b) (c) 等步長有限差分等步長有限差分解解 將（a）、(b)、(c)式代入一維波動方程，并經(jīng)整理就得 jijijijijijiuuuutvutvtcxu, 1,1,1,2, 12)2()1 (上式為診斷模型的有限差分解 已知地面光桿位移為u1,u2, uk，光桿動載荷為Fl，F(xiàn)2 Fk,則邊界條件為 kkuuuuuu, 122, 111 , 1;(d) xuuEAx

9、uEAF1 , 11 , 21 , 11xuuEAxuEAF2, 12, 22, 12xuuEAxuEAFkkkk, 1, 2, 1等步長有限差分等步長有限差分解解 111 , 2uEAxFu222, 2uEAxFukkkuEAxFu, 2 (d)和（和（e）即有限差分方程的邊界條件）即有限差分方程的邊界條件 (e）差分格式，見左圖。這種十字形差分格式結(jié)果會形成三角形，見右圖。其中x為無法得出元點(diǎn)，但我們知道示功圖是一個周期函數(shù)，根據(jù)這個概念得出 等步長有限差分等步長有限差分解解 1,.1,;kiioikiuuuu等步長有限差分等步長有限差分解解 上式實(shí)際是阻尼波動方程的兩個初始條件。這樣我們

10、可以采取補(bǔ)格的辦法求出全部未知點(diǎn)，見圖 等步長有限差分等步長有限差分解解 收斂條件：我們使用無阻尼波動方程推導(dǎo)收斂條件。無阻尼波動方程可寫成 22222xuctu將(b)(c)代入（f）得出 (f）jijijijijiutcxuuutcxu,2, 11,1,2, 112)(上式是無阻尼波動方程的有限差分解 阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 抽油機(jī)井筒內(nèi)的阻尼力主要有抽油桿柱、接箍與液體之間的粘滯性阻尼力；桿柱及接箍與油管之間的非粘滯性摩擦力；光桿與盤根之間的摩擦力；泵柱塞與泵筒之間的摩擦損失；泵閥和閥座內(nèi)孔的流體壓力損失以及桿柱材料的遲滯損失等 阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思

11、阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 等效粘滯阻尼系數(shù) 首先恢復(fù)帶阻尼的波動方程的原始形狀 dxtuvdxxuAdxxuEA2222式中v為等效粘滯阻尼因子，它是單位長度抽油桿的等效粘滯阻尼因子，量綱是ML-1T-1。以A除以上式就得出一維波動方程，其中等效粘滯性阻尼系數(shù)為 ，它的量綱是T-1。 Avv阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 等效粘滯阻尼系數(shù) 另外，抽油桿柱可視為一端固定一端自由的桿，其縱向振動的第一階固有頻率為 ，則臨界阻尼系數(shù)為 ，它的量綱和v一樣。將 除v，得無量綱阻尼因子 lcn2lcAAvnc 22cvclvcAlvvvvcd2221lcvvd2

12、阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 等效粘滯阻尼系數(shù)v可以在現(xiàn)場進(jìn)行測試，等效的標(biāo)準(zhǔn)是等效力每.一個周期從抽油桿系統(tǒng)中吸收的能量同實(shí)際阻尼力所耗散的能量相等。根據(jù)測試可以得出各油田的無量綱阻尼因子曲線。右圖無量綱阻尼因子與光桿速度的關(guān)系曲線 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 等效粘滯阻尼系數(shù) 阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 根據(jù)光桿功率與水力功率計算阻尼系數(shù) 原始波動公式右邊第二項可以寫成 ，即阻尼力等于阻尼系數(shù)乘單元質(zhì)量再乘以瞬時速度。故總阻尼力應(yīng)為tuAdxvtuMvFDmiiiixAM1平均速度可用抽油桿運(yùn)動一周的均方根速度 計算。假設(shè)抽

13、油桿是作簡諧運(yùn)動rmau Ttstu2sin2)(a）(b）(c）阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 瞬時速度為S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 根據(jù)光桿功率與水力功率計算阻尼系數(shù) TtTStutu2cos)( (d）則速度的均方根值為 TSdtTtTSTuTrms22cos12102(e）將(b)與(e)代入(a)得TSxAvFmiiiiD21 (f）阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 根據(jù)光桿功率與水力功率計算阻尼系數(shù) 將FD乘2S除以T就得到阻尼力單位時間所作功，它等于抽油桿的功率損耗，所以10001221 TSTSxAvPPmiiiihr(

14、g）解(g)式得21)(08.225STxAPPvmiiiihr21)(29.143STxAclPPvmiiiihrd無量綱阻尼因子水力功率Ph可由下式計算 fnphLQP710135. 1阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 用迭代法計算阻尼系數(shù) 計算水力功率，但是事先需要知道動液面Ln及產(chǎn)液量Qp。Qp的計算需要預(yù)先知道泵的有效沖程。泵的有效沖程可以根據(jù)泵示功圖來確定，但這又需要事先知道阻尼系數(shù)v。于是就需要使用迭代法，其計算步驟如下： 首先假設(shè)泵有效沖程是光桿沖程的百分?jǐn)?shù)，計算阻尼系數(shù)； 根據(jù)假設(shè)的阻尼系數(shù)計算泵示功圖，從而確定泵約有效沖程； 根根據(jù)

15、泵的有效沖程，重新計算阻尼系數(shù)，再計算新的泵示功圖，從而重新確定泵的有效沖程； 根據(jù)不再變化的泵有效沖程重新計算阻尼系數(shù) ； 應(yīng)用新的阻尼系數(shù)計算泵示功圖； 阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 用迭代法計算阻尼系數(shù) 根據(jù)泵示功圖計算泵功率Ppump； 如果泵功率與水力功率之差的絕對值在允差范圍內(nèi) 即認(rèn)為阻尼系數(shù)收斂，即 式中為允許誤差 (例如0.0lkW)。如果上式不滿足，則令 nAPpumppump51067. 1hpumpPPhpumpPPvv*式中v*為前一次迭代的v值。繼續(xù)迭代直至滿足要求為止。事實(shí)證明，最多45次迭代即可滿足斂要求 阻尼系數(shù)的確

16、定阻尼系數(shù)的確定 i=1計算ph計算v計算泵示功圖確定泵凈沖程計算泵示功圖及泵功率計算vi = 2？ii1hpumpPP阻尼系數(shù)的計算框圖停S.S.G.G.吉吉布布思思阻阻尼尼系系數(shù)數(shù) 用迭代法計算阻尼系數(shù) 阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式 抽油桿在運(yùn)動過程中，假設(shè)液體是處于層流狀態(tài)(Re2300)，粘滯性摩阻是由剪應(yīng)力rz造成的，參見右圖。假設(shè)液體是不可壓縮的，故在層流狀態(tài)下，力矩為常量。在半徑r處 0)(drrdrz（a）阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 （c）（b）（d）rGcrzS.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉

17、布思阻尼系數(shù) 假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式 所以 流體流速為 則根據(jù)牛頓定理得 )(rvzdrrvdzrz)(rGdrrvdcz)(將(b)代入(c)得 阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式 邊界條件是當(dāng)rRt（油管半徑）時，當(dāng)RRr（抽油桿半徑）時， （抽油桿速度） 0zvvvzrdrGrvdcz)(（e）所以，當(dāng)rRr時 trcRRzRRGrvdvrtrln)(（f）阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 tcrRzzRrGrvdrvtln)()(S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)

18、出的阻尼公式 （g）vRRRrrvtrtzlnln)(（h）將（h）代入（c）得 vRRrvdrrvdtrzrzln)(當(dāng)rRr時 trzrzRRrvdrrvdln)(（i）（j）阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 假設(shè)液體是在層流狀態(tài)推導(dǎo)出的阻尼公式 該式乘以液體與dx段抽油桿的接觸表面積2Rrdx并令 ，則阻尼力為 xvdxxvxRRdxFtrDln2（k）等效粘滯阻尼因子 等效粘滯阻尼系數(shù) trRRvln2trRRvln2阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 根據(jù)A.M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù)單

19、元長度dx的阻尼力為 dxtuAvFD（a）單元功為 dxdttuAvdttuFduFdWDD2)(（b）則長度為L抽油桿柱在一個循環(huán)中總的粘滯摩擦功為 LTdxdttuAvW002（c）阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 根據(jù)A.M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù) LTdxdttuAWv002（d）A.M.皮爾維爾江的單位長度上摩擦力公式為 LxDtuBBtuBBmF2122144ln12rtRRm 1ln211mmBmmmBln) 1(12242阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S.G.S.G.吉布思阻尼系數(shù)吉布思阻尼系數(shù) 根據(jù)A.M.皮爾維爾江的阻尼力公式推導(dǎo)出的阻尼系數(shù)根據(jù)(b),單元功為 dxdttutuBBtuBBmdWLx21222144ln12（f）（e）如果考慮壓力梯度損失，則單元功為dxdttugRtutuBBtuBBBmdWrLx2212121) 1(414ln12整個抽油桿一個循環(huán)總粘滯摩擦功為 LTdWW00（g）阻尼系數(shù)的確定阻尼系數(shù)的確定 S