平面問題的有限元分析及三角形單元的應(yīng)用

1、.羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇襖螃芇芃蒀裊聿腿葿羈芅薇蒈螇肈蒃蒈袀莃荿蕆羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃節(jié)薂蚈羅膈薂袁膁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇羋膀蚇罿肀葿蚆蠆芆蒞蚆螁聿芁蚅羄莄芇蚄肆膇薆蚃螆羀蒂螞袈膅莈蟻羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇襖螃芇芃蒀裊聿腿葿羈芅薇蒈螇肈蒃蒈袀莃荿蕆羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃節(jié)薂蚈羅膈薂袁膁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇羋膀蚇罿肀葿蚆蠆芆蒞蚆螁聿芁蚅羄莄芇蚄肆膇薆蚃螆羀蒂螞袈膅莈蟻羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇襖螃芇芃蒀裊聿腿

2、葿羈芅薇蒈螇肈蒃蒈袀莃荿蕆羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃節(jié)薂蚈羅膈薂袁膁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇羋膀蚇罿肀葿蚆蠆芆蒞蚆螁聿芁蚅羄莄芇蚄肆膇薆蚃螆羀蒂螞袈膅莈蟻羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇 第八章 平面問題的有限元分析及三角形單元的應(yīng)用第一節(jié) 概述分析彈性力學(xué)平面問題時，最簡單的單元式由三個結(jié)點組成的三角形單元。當(dāng)用以分析平面應(yīng)力問題時，可將其視為三角板；當(dāng)用以分析平面應(yīng)變問題時，則可式為三棱柱。各單元在結(jié)點處為鉸結(jié)。圖8-1所示位移懸臂梁離散為三角形單元的組合體以矩陣形式列出彈性力學(xué)平面問題的基本量和基本方程。談形體所受體力分量可表示為 (

3、8-1)所受面力分量可表示為 （8-2）體內(nèi)任一點應(yīng)力分量可表示為 （8-3）任一點的應(yīng)變分量可表示為 （8-4）任一點的位移分量可表示為 （8-5）彈性力學(xué)平面問題的幾何方程的矩陣表達(dá)式為 （8-6）平面應(yīng)力問題的物理方程的矩陣表達(dá)式為 （8-7）或簡寫成為 （8-8）式中 （8-9）稱為彈性矩陣。平面應(yīng)變問題的物理方程也可寫成式（8-8），但須將式（8-9）中的E換成，換成，因此得出 （8-10）平衡微分方程及邊界條件也可以用矩陣表示，但彈性力學(xué)有限元位移法中，通常用虛功方程代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。虛功方程的矩陣表達(dá)式為 （8-11）式中：，表示虛位移；，表示與虛位移相對應(yīng)的虛應(yīng)變

4、。為了便于計算，作用于彈性體上的體力和面力替換為作用在結(jié)點上的集中力，即等效結(jié)點荷載。設(shè)作用于各個結(jié)點上的外力分量用如下列陣來表示與這些結(jié)點外力分量相對應(yīng)得結(jié)點虛位移分量列陣為則外力在虛位移上做的虛功為如平面彈性體的厚度為t，該虛功除以t，即可得出單位厚度薄板上的外力虛功。于是，式（8-11）所示虛功方程可寫成 （8-11）虛功方程不僅僅應(yīng)用于彈性力學(xué)，也可用于塑性力學(xué)。其應(yīng)用條件是：只要變形體的全部外力和應(yīng)力滿足平衡方程；位移是微小的，并滿足邊界條件，位移與應(yīng)變滿足幾何方程。所以，通常稱為變形體虛功方程。第二節(jié) 單元分析圖8-2所示為一個三角形單元。三個結(jié)點按逆時針順序編號分別為i、j、m，

5、結(jié)點坐標(biāo)分別為。圖8-2由于每個結(jié)點有兩個位移分量，單元共有六個結(jié)點位移分量：，如圖8-2a）所示，因此三角形單元的結(jié)點位移分量e可表示為 （8-13）與這六個結(jié)點位移分量相對應(yīng)得結(jié)點力也有六個分量，如圖8-2b)所示 （8-14）在每個單元上，都可以把結(jié)點力用結(jié)點位移來表示，即建立如下關(guān)系式 （8-15）式中ke稱為單元剛度矩陣。尋求ke的過程稱為單元分析。單元分析按如下步驟ke結(jié)點力應(yīng)力結(jié)點位移內(nèi)部各點位移應(yīng)變 一、 位移函數(shù)為了求單元內(nèi)任一點（x，y）的位移，設(shè)該點的位移u、v為其坐標(biāo)x、y的某種函數(shù)，單元有六個結(jié)點位移分量，在位移函數(shù)中取六個任意參數(shù)i（i=1，2，6），并將位移函數(shù)取

6、為線性函數(shù)，即 （8-16）一般情況下，一個彈性變形體在外界作用下，內(nèi)部點的位移變化比較復(fù)雜，不能用簡單的線性函數(shù)描述。但是，當(dāng)把彈性體離散為許多微笑單元時，在每一個單元內(nèi)部有限小的局部內(nèi)，各點位移可以用線性函數(shù)描述。式（8-16）可寫成矩陣形式 （8-17）為了求出內(nèi)部結(jié)點位移f與結(jié)點位移e之間的關(guān)系，需求出e與間的關(guān)系。降格結(jié)點坐標(biāo)和位移代入式（8-16），可得 （a） （b）三角形單元的面積為 （8-18）求解方程組(a)得 （c）求解方程組(b)得 (d)式中，由下式計算 （i、j、m）上式中的（i、j、m）表示腳標(biāo)依次輪換，可寫出計算aj、bj、cj以及am、bm、cm的另兩組公式。

7、將式（c）和(d)代入（8-16）并展開，得到以結(jié)點位移表示的位移函數(shù) （8-20）式中，反映了單元的位移形態(tài)，故稱為單元位移的形態(tài)函數(shù)或形函數(shù)。矩陣N稱為形函數(shù)矩陣。選取得位移函數(shù)是否合理，要看隨著單元網(wǎng)格的逐步細(xì)分，有限元解是否逼近于精確解。為了保證收斂型所選擇的單元位移函數(shù)應(yīng)滿足以下條件：（1） 包含單元的剛體位移；（2） 包含單元的常量應(yīng)變；（3） 保證相鄰單元在公共邊界處位移的連續(xù)性。二、 單元的應(yīng)變和應(yīng)力選擇了位移函數(shù)并以結(jié)點位移表示單元內(nèi)點的位移后，重新寫出平面問題的幾何方程 （f）由式（8-20）得 （g）將式（g）代入式（f），并利用下式 （i、j、m） (h)得單元應(yīng)變 （

8、8-24）或簡寫成 （8-25）式中 （8-26）式（8-25）就是由結(jié)點位移求應(yīng)變的轉(zhuǎn)換式，其轉(zhuǎn)換矩陣B稱為幾何矩陣。將（8-25）代入平面問題的物理方程式（8-8）有 （8-27）或?qū)懗?（8-28）S=DB (8-29)稱為應(yīng)力矩陣。三、 單元剛度矩陣在有限單元法中，常利用虛功方程代替平衡方程。圖8-3a)所示為三角形單元的實際力系，其結(jié)點力為Fe，應(yīng)力為；圖8-3b)所示為單元虛位移狀態(tài)，其結(jié)點位移為*e,應(yīng)變?yōu)?。利用式（8-12）可得圖8-3 （8-30）式中：由式（8-25）可知因此 將此公式代入式（8-30），由于中的元素是常量，公式右邊的可以提到積分號的前面，得 由于虛位移是

9、任意的，則 因為B和都是常量矩陣，并且積分，所以 （8-31）利用（8-27），可得 （8-32）令 （8-33）則式（8-32）就變成式（8-15），即 單元剛度矩陣為一個66矩陣，它時單元結(jié)點位移與單元結(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換矩陣，具有以下性質(zhì)：（1）示對稱矩陣，其元素；（2）是奇異矩陣，由它的元素組成的行列式等于零，即它不存在逆矩陣；（3）具有分快性質(zhì)。第三節(jié) 等效結(jié)點荷載 為簡化各單元得受力情況，便于分析計算，應(yīng)將單元所受各種載荷向結(jié)點移置，化為結(jié)點荷載，荷載的移置應(yīng)安靜力等效原則進(jìn)行。靜力等效是令原來的荷載與移置后的荷載在任意虛位移上的虛功相等。一、 集中荷載 圖8-5a）所式為單元內(nèi)的任意

10、一點M受到集中荷載P的作用，沿x、y方向的分量分別為Px、Py，用矩陣表示為。設(shè)移置到該單元結(jié)點上的等效荷載列陣為圖8-5所示單元發(fā)生虛位移，其中單元內(nèi)部任意點的虛位移為 設(shè)單元各結(jié)點虛位移為由式（8-22），則 （a）圖8-5如果設(shè)Re為單元得等效結(jié)點荷載，則Re在結(jié)點虛位移上所做的虛功應(yīng)與原來集中荷載在其作用點的虛位移上做的虛功相等，即將式(a)代如上式，得由于虛位移可以式任意的，因此 （8-36）或?qū)懗?（i、j、m）二、 分布體力 設(shè)單元受分布體力的作用將微分體積tdxdy上的體力當(dāng)作集中荷載P，利用式（8-36）的積分得出 （8-38）如果單元上作用的分布體力為自重，為材料的重度，即

11、那么利用式（8-38）得到等效結(jié)點荷載列陣為 （8-39）三、分布面力設(shè)單元在邊界ij上首有分布面力的作用 將微分面積tds上的面力當(dāng)作集中荷載P，利用式（3-36）的積分可以得出 （8-40）第四節(jié) 整體剛度矩陣有限元求解彈性力學(xué)問題也要用結(jié)點平衡方程求解作為基本為質(zhì)量的整體結(jié)點位移列陣。在求出各單元的單元剛度矩陣ke和解點荷載列陣后，就可以用幾何的方法建立其平面彈性體的整體剛度矩陣和整體平衡方程。如果彈性體劃分為m各單元，n各結(jié)點，則有 （8-44）式中：整體剛度矩陣K為2n2n階方程；、R分別為整體結(jié)點位移列陣和整體結(jié)點荷載列陣，都是2n1階列陣。第六節(jié) 單元網(wǎng)格的劃分和計算成果的整理一

12、、 單元網(wǎng)格的劃分 劃分單元網(wǎng)格時，要綜合考慮單元的數(shù)目和劃分的合理性，注意以下方面：1 合理安排單元網(wǎng)格的疏密分布結(jié)構(gòu)的不同部位疏密不同，邊界比較曲折的部位，網(wǎng)格可以密一些，比較平滑的部位，可以疏一些，對于應(yīng)力應(yīng)變相對小的部位疏一些。在保證計算精度的前提下，減少單元劃分?jǐn)?shù)目。2 對稱性的利用 當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)上有對稱荷載或反對成荷載作用是，可以利用對稱性取半結(jié)構(gòu)或1/4結(jié)構(gòu)。3 單元形狀的合理性三角形單元的三個邊長較為接近最好，可以避免由于周圍應(yīng)力長分布不均而引起較大的計算誤差。4 不同材料截面處單元劃分當(dāng)計算對象為不同材料組成時，應(yīng)以材料性質(zhì)發(fā)生變化的不同材料界面作為單元的邊界。 蠆薈肂肈芅蟻裊羄芅袃膀莃芄薃羃艿芃蚅腿膅節(jié)螇羈肁芁袀螄荿莀蕿羀芅荿螞螂膁荿螄羈肇莈薄螁肅莇蚆肆莂莆螈衿羋蒞袀肅膄莄薀袇肀蒄螞肅羆蒃螅袆芄蒂蒄肁芀蒁蚇襖膆蒀蝿腿肂葿袁羂莁蒈薁螅芇蒈蚃羈膃薇螆螃聿薆蒅罿羅薅薈螂莃薄螀羇艿薃袂袀膅薂薂肅肁薂蚄袈莀薁螆肄芆蝕衿袆膂蠆薈肂肈芅蟻裊羄芅袃膀莃芄薃羃艿芃蚅腿膅節(jié)螇羈肁芁袀螄荿莀蕿羀芅荿螞螂膁荿螄羈肇莈薄螁肅莇蚆肆莂莆螈衿羋蒞袀肅膄莄薀袇肀蒄螞肅羆蒃螅袆芄蒂蒄肁芀蒁蚇襖膆蒀蝿腿肂葿袁羂莁蒈薁螅芇蒈蚃羈膃