平面問題的有限元分析及三角形單元的應用

1、.羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇襖螃芇芃蒀裊聿腿葿羈芅薇蒈螇肈蒃蒈袀莃荿蕆羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃節(jié)薂蚈羅膈薂袁膁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇羋膀蚇罿肀葿蚆蠆芆蒞蚆螁聿芁蚅羄莄芇蚄肆膇薆蚃螆羀蒂螞袈膅莈蟻羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇襖螃芇芃蒀裊聿腿葿羈芅薇蒈螇肈蒃蒈袀莃荿蕆羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃節(jié)薂蚈羅膈薂袁膁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇羋膀蚇罿肀葿蚆蠆芆蒞蚆螁聿芁蚅羄莄芇蚄肆膇薆蚃螆羀蒂螞袈膅莈蟻羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇襖螃芇芃蒀裊聿腿

2、葿羈芅薇蒈螇肈蒃蒈袀莃荿蕆羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃節(jié)薂蚈羅膈薂袁膁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇羋膀蚇罿肀葿蚆蠆芆蒞蚆螁聿芁蚅羄莄芇蚄肆膇薆蚃螆羀蒂螞袈膅莈蟻羀羈芄螁蝕膃膀螀螂羆蒈蝿裊膂蒄螈肇羅莀螇螇芀芆螆衿肅薅螅羈羋蒁螅肅肁莇 第八章 平面問題的有限元分析及三角形單元的應用第一節(jié) 概述分析彈性力學平面問題時，最簡單的單元式由三個結點組成的三角形單元。當用以分析平面應力問題時，可將其視為三角板；當用以分析平面應變問題時，則可式為三棱柱。各單元在結點處為鉸結。圖8-1所示位移懸臂梁離散為三角形單元的組合體以矩陣形式列出彈性力學平面問題的基本量和基本方程。談形體所受體力分量可表示為 (

3、8-1)所受面力分量可表示為 （8-2）體內任一點應力分量可表示為 （8-3）任一點的應變分量可表示為 （8-4）任一點的位移分量可表示為 （8-5）彈性力學平面問題的幾何方程的矩陣表達式為 （8-6）平面應力問題的物理方程的矩陣表達式為 （8-7）或簡寫成為 （8-8）式中 （8-9）稱為彈性矩陣。平面應變問題的物理方程也可寫成式（8-8），但須將式（8-9）中的E換成，換成，因此得出 （8-10）平衡微分方程及邊界條件也可以用矩陣表示，但彈性力學有限元位移法中，通常用虛功方程代替平衡微分方程和應力邊界條件。虛功方程的矩陣表達式為 （8-11）式中：，表示虛位移；，表示與虛位移相對應的虛應變

4、。為了便于計算，作用于彈性體上的體力和面力替換為作用在結點上的集中力，即等效結點荷載。設作用于各個結點上的外力分量用如下列陣來表示與這些結點外力分量相對應得結點虛位移分量列陣為則外力在虛位移上做的虛功為如平面彈性體的厚度為t，該虛功除以t，即可得出單位厚度薄板上的外力虛功。于是，式（8-11）所示虛功方程可寫成 （8-11）虛功方程不僅僅應用于彈性力學，也可用于塑性力學。其應用條件是：只要變形體的全部外力和應力滿足平衡方程；位移是微小的，并滿足邊界條件，位移與應變滿足幾何方程。所以，通常稱為變形體虛功方程。第二節(jié) 單元分析圖8-2所示為一個三角形單元。三個結點按逆時針順序編號分別為i、j、m，

5、結點坐標分別為。圖8-2由于每個結點有兩個位移分量，單元共有六個結點位移分量：，如圖8-2a）所示，因此三角形單元的結點位移分量e可表示為 （8-13）與這六個結點位移分量相對應得結點力也有六個分量，如圖8-2b)所示 （8-14）在每個單元上，都可以把結點力用結點位移來表示，即建立如下關系式 （8-15）式中ke稱為單元剛度矩陣。尋求ke的過程稱為單元分析。單元分析按如下步驟ke結點力應力結點位移內部各點位移應變 一、 位移函數為了求單元內任一點（x，y）的位移，設該點的位移u、v為其坐標x、y的某種函數，單元有六個結點位移分量，在位移函數中取六個任意參數i（i=1，2，6），并將位移函數取

6、為線性函數，即 （8-16）一般情況下，一個彈性變形體在外界作用下，內部點的位移變化比較復雜，不能用簡單的線性函數描述。但是，當把彈性體離散為許多微笑單元時，在每一個單元內部有限小的局部內，各點位移可以用線性函數描述。式（8-16）可寫成矩陣形式 （8-17）為了求出內部結點位移f與結點位移e之間的關系，需求出e與間的關系。降格結點坐標和位移代入式（8-16），可得 （a） （b）三角形單元的面積為 （8-18）求解方程組(a)得 （c）求解方程組(b)得 (d)式中，由下式計算 （i、j、m）上式中的（i、j、m）表示腳標依次輪換，可寫出計算aj、bj、cj以及am、bm、cm的另兩組公式。

7、將式（c）和(d)代入（8-16）并展開，得到以結點位移表示的位移函數 （8-20）式中，反映了單元的位移形態(tài)，故稱為單元位移的形態(tài)函數或形函數。矩陣N稱為形函數矩陣。選取得位移函數是否合理，要看隨著單元網格的逐步細分，有限元解是否逼近于精確解。為了保證收斂型所選擇的單元位移函數應滿足以下條件：（1） 包含單元的剛體位移；（2） 包含單元的常量應變；（3） 保證相鄰單元在公共邊界處位移的連續(xù)性。二、 單元的應變和應力選擇了位移函數并以結點位移表示單元內點的位移后，重新寫出平面問題的幾何方程 （f）由式（8-20）得 （g）將式（g）代入式（f），并利用下式 （i、j、m） (h)得單元應變 （

8、8-24）或簡寫成 （8-25）式中 （8-26）式（8-25）就是由結點位移求應變的轉換式，其轉換矩陣B稱為幾何矩陣。將（8-25）代入平面問題的物理方程式（8-8）有 （8-27）或寫成 （8-28）S=DB (8-29)稱為應力矩陣。三、 單元剛度矩陣在有限單元法中，常利用虛功方程代替平衡方程。圖8-3a)所示為三角形單元的實際力系，其結點力為Fe，應力為；圖8-3b)所示為單元虛位移狀態(tài)，其結點位移為*e,應變?yōu)?。利用式（8-12）可得圖8-3 （8-30）式中：由式（8-25）可知因此 將此公式代入式（8-30），由于中的元素是常量，公式右邊的可以提到積分號的前面，得 由于虛位移是

9、任意的，則 因為B和都是常量矩陣，并且積分，所以 （8-31）利用（8-27），可得 （8-32）令 （8-33）則式（8-32）就變成式（8-15），即 單元剛度矩陣為一個66矩陣，它時單元結點位移與單元結點力之間的轉換矩陣，具有以下性質：（1）示對稱矩陣，其元素；（2）是奇異矩陣，由它的元素組成的行列式等于零，即它不存在逆矩陣；（3）具有分快性質。第三節(jié) 等效結點荷載 為簡化各單元得受力情況，便于分析計算，應將單元所受各種載荷向結點移置，化為結點荷載，荷載的移置應安靜力等效原則進行。靜力等效是令原來的荷載與移置后的荷載在任意虛位移上的虛功相等。一、 集中荷載 圖8-5a）所式為單元內的任意

10、一點M受到集中荷載P的作用，沿x、y方向的分量分別為Px、Py，用矩陣表示為。設移置到該單元結點上的等效荷載列陣為圖8-5所示單元發(fā)生虛位移，其中單元內部任意點的虛位移為 設單元各結點虛位移為由式（8-22），則 （a）圖8-5如果設Re為單元得等效結點荷載，則Re在結點虛位移上所做的虛功應與原來集中荷載在其作用點的虛位移上做的虛功相等，即將式(a)代如上式，得由于虛位移可以式任意的，因此 （8-36）或寫成 （i、j、m）二、 分布體力 設單元受分布體力的作用將微分體積tdxdy上的體力當作集中荷載P，利用式（8-36）的積分得出 （8-38）如果單元上作用的分布體力為自重，為材料的重度，即

11、那么利用式（8-38）得到等效結點荷載列陣為 （8-39）三、分布面力設單元在邊界ij上首有分布面力的作用 將微分面積tds上的面力當作集中荷載P，利用式（3-36）的積分可以得出 （8-40）第四節(jié) 整體剛度矩陣有限元求解彈性力學問題也要用結點平衡方程求解作為基本為質量的整體結點位移列陣。在求出各單元的單元剛度矩陣ke和解點荷載列陣后，就可以用幾何的方法建立其平面彈性體的整體剛度矩陣和整體平衡方程。如果彈性體劃分為m各單元，n各結點，則有 （8-44）式中：整體剛度矩陣K為2n2n階方程；、R分別為整體結點位移列陣和整體結點荷載列陣，都是2n1階列陣。第六節(jié) 單元網格的劃分和計算成果的整理一

12、、 單元網格的劃分 劃分單元網格時，要綜合考慮單元的數目和劃分的合理性，注意以下方面：1 合理安排單元網格的疏密分布結構的不同部位疏密不同，邊界比較曲折的部位，網格可以密一些，比較平滑的部位，可以疏一些，對于應力應變相對小的部位疏一些。在保證計算精度的前提下，減少單元劃分數目。2 對稱性的利用 當對稱結構上有對稱荷載或反對成荷載作用是，可以利用對稱性取半結構或1/4結構。3 單元形狀的合理性三角形單元的三個邊長較為接近最好，可以避免由于周圍應力長分布不均而引起較大的計算誤差。4 不同材料截面處單元劃分當計算對象為不同材料組成時，應以材料性質發(fā)生變化的不同材料界面作為單元的邊界。 蠆薈肂肈芅蟻裊羄芅袃膀莃芄薃羃艿芃蚅腿膅節(jié)螇羈肁芁袀螄荿莀蕿羀芅荿螞螂膁荿螄羈肇莈薄螁肅莇蚆肆莂莆螈衿羋蒞袀肅膄莄薀袇肀蒄螞肅羆蒃螅袆芄蒂蒄肁芀蒁蚇襖膆蒀蝿腿肂葿袁羂莁蒈薁螅芇蒈蚃羈膃薇螆螃聿薆蒅罿羅薅薈螂莃薄螀羇艿薃袂袀膅薂薂肅肁薂蚄袈莀薁螆肄芆蝕衿袆膂蠆薈肂肈芅蟻裊羄芅袃膀莃芄薃羃艿芃蚅腿膅節(jié)螇羈肁芁袀螄荿莀蕿羀芅荿螞螂膁荿螄羈肇莈薄螁肅莇蚆肆莂莆螈衿羋蒞袀肅膄莄薀袇肀蒄螞肅羆蒃螅袆芄蒂蒄肁芀蒁蚇襖膆蒀蝿腿肂葿袁羂莁蒈薁螅芇蒈蚃羈膃