1990考研數(shù)二真題及解析

1、 Born to win1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上.)(1) 曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)點(diǎn)處的法線(xiàn)方程是.(2) 設(shè),則.(3) .(4) 下列兩個(gè)積分的大小關(guān)系是： . (5) 設(shè)函數(shù),則函數(shù).二、選擇題(每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 已知,其中是常數(shù),則 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù),且,則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時(shí),的階導(dǎo)數(shù)是

2、 ( )(A) (B) (C) (D) (4) 設(shè)是連續(xù)函數(shù),且,則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè),其中在處可導(dǎo),則是的 ( )(A) 連續(xù)點(diǎn) (B) 第一類(lèi)間斷點(diǎn)(C) 第二類(lèi)間斷點(diǎn) (D) 連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)不能由此確定三、(每小題5分,滿(mǎn)分25分.)(1) 已知,求常數(shù).(2) 求由方程所確定的函數(shù)的微分.(3) 求曲線(xiàn)的拐點(diǎn).(4) 計(jì)算.(5) 求微分方程滿(mǎn)足條件的特解.四、(本題滿(mǎn)分9分)在橢圓的第一象限部分上求一點(diǎn),使該點(diǎn)處的切線(xiàn)、橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面積為最小(其中).五、(本題滿(mǎn)分9分)證明：當(dāng),有不等式.六、(本題滿(mǎn)分9分)設(shè),其中,求.七、(本題滿(mǎn)分

3、9分)過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),該切線(xiàn)與上述拋物線(xiàn)及軸圍成一平面圖形,求此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成旋轉(zhuǎn)體的體積.八、(本題滿(mǎn)分9分)求微分方程之通解,其中為實(shí)數(shù).1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.)(1)【答案】【解析】將代入?yún)?shù)方程得在處的函數(shù)值:,得切點(diǎn)為.過(guò)已知點(diǎn)的法線(xiàn)方程為,當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí),.所以需求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,可得 , ；法線(xiàn)斜率為所以過(guò)已知點(diǎn)的法線(xiàn)方程為【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果在點(diǎn)可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為或.(2)【答案】【解析】原函數(shù)對(duì)求導(dǎo),有【相關(guān)知

4、識(shí)點(diǎn)】1.兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：.2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:如果在點(diǎn)可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為或.(3)【答案】【解析】 對(duì)于原定積分,有換元法或拆項(xiàng)法可選擇,不管是何種方法,最終的目的都是去掉積分式子中的根式或使得根式積分可以單獨(dú)積分出結(jié)果.方法1：換元法,令,原積分區(qū)間為,則,進(jìn)而,新積分區(qū)間為；當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故新積分上限為0,下限為1.,則.原式 方法2：拆項(xiàng)法,原式 (4)【答案】【解析】由于,在連續(xù)且,根據(jù)比較定理得到.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)于相同區(qū)間上的定積分的比較,有“比較定理”如下：若與在區(qū)間(為常數(shù),)上連續(xù)且可積,且,則有(5)【答案】【解析】對(duì)于分段函數(shù)的復(fù)合

5、函數(shù)求解必須取遍內(nèi)層函數(shù)的值域,不能遺漏,求出復(fù)合后函數(shù)的所有可能的解析式.根據(jù)的定義知,當(dāng)時(shí),有代入,又于是當(dāng)時(shí),復(fù)合函數(shù)；當(dāng)時(shí),有代入,又即當(dāng)時(shí),也有.因此,對(duì)任意的,有.二、選擇題(每小題3分,滿(mǎn)分15分.)(1)【答案】C【解析】本題考查多項(xiàng)式之比當(dāng)時(shí)的極限.由題設(shè)條件,有,分析應(yīng)有 否則.所以解以上方程組,可得所以此題應(yīng)選C.(2)【答案】B【解析】由函數(shù)的不定積分公式:若是的一個(gè)原函數(shù),有所以本題應(yīng)該選(B).(3)【答案】A【解析】本題考查高階導(dǎo)數(shù)的求法.為方便記.由,逐次求導(dǎo)得,由第一歸納法,可歸納證明.假設(shè)成立,即,則,所以亦成立,原假設(shè)成立.(4)【答案】A【解析】對(duì)兩邊求

6、導(dǎo)數(shù)得故本題選A.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則.2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果在點(diǎn)可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為或.(5)【答案】B【解析】由于 ,由函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義, 得所以函數(shù)不連續(xù),且極限存在但不等于函數(shù)值,故為第一類(lèi)(可去)間斷點(diǎn),故本題選B.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1. 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,如果則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).2.函數(shù)的間斷點(diǎn)或者不連續(xù)點(diǎn)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,只要滿(mǎn)足一下三種情況之一即是間斷點(diǎn).(1) 在沒(méi)有定義；(2) 雖在有定義,但不存在；(3) 雖在有定義,且存在,但通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：

7、如果是函數(shù)的間斷點(diǎn),但左極限及右極限都存在,那么稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)；不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn),稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn).三、(每小題5分,滿(mǎn)分25分.)(1)【解析】此題考查重要極限：,得.或由 ,同理可得.(2)【解析】方程兩邊求微分,得,整理得 .(3)【解析】對(duì)分式求導(dǎo)數(shù),有公式,所以,令得,在此變號(hào),即是時(shí),時(shí),故拐點(diǎn)為.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.拐點(diǎn)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域連續(xù),函數(shù)的圖形在點(diǎn)處的左右側(cè)凹凸性相反,則稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn).2.拐點(diǎn)判別定理：(1)設(shè)函數(shù)在連續(xù),在去心鄰域,就是區(qū)間內(nèi)不包括點(diǎn)二階可導(dǎo),且在上不變號(hào),則為拐點(diǎn).(2)設(shè)函數(shù)在二階可導(dǎo),又則為拐點(diǎn).本題利用第一個(gè)判別定

8、理就足夠判定所求點(diǎn)是否是拐點(diǎn)了.(4)【解析】由有, 為任意常數(shù).注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰(shuí)先進(jìn)入積分號(hào)的問(wèn)題,如果選擇不當(dāng)可能引起更繁雜的計(jì)算,最后甚至算不出結(jié)果來(lái).在做題的時(shí)候應(yīng)該好好總結(jié),積累經(jīng)驗(yàn).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】分部積分公式：假定與均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),則或者(5)【解析】所給方程為一階線(xiàn)性非齊次方程,其標(biāo)準(zhǔn)形式為.由于 ,兩邊乘以得.積分得 ,通解為 .代入初始條件可得,所求特解為.四、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】對(duì)橢圓方程進(jìn)行微分,有.過(guò)曲線(xiàn)上已知點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,當(dāng)存在時(shí),.所以點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,化簡(jiǎn)得到.分別令與,得切線(xiàn)在上的截距分別為；又由橢圓的面積計(jì)算公式,其中為半長(zhǎng)軸和半短軸,

9、故所求面積為.為常數(shù),欲使得的最小,則應(yīng)使得最大；從而問(wèn)題化為求(由橢圓方程所確定)當(dāng)時(shí)的最大值點(diǎn). 令,得,再對(duì)兩邊求導(dǎo)得,聯(lián)合可得(唯一駐點(diǎn)),即在此點(diǎn)取得最大,取得最小值.由于,所以在上存在最小值,必為最小點(diǎn),所求點(diǎn)為.五、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】證明不等式的一般方法是將表達(dá)式移到不等號(hào)的一邊,令其為,另一邊剩下0,再在給定區(qū)間內(nèi)討論的單調(diào)性即可證明原不等式. 令,則.因此,在上單調(diào)減；又有,所以,故時(shí),所以原不等式得證.六、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】方法1：,由換元積分,；所以 .由區(qū)間相同的積分式的可加性,有 =.方法2：令,則 由牛頓-萊布尼茲公式,有,而,故.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】牛頓-萊

10、布尼茲公式：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),為在上的任意一個(gè)原函數(shù),則有1O123七、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】先求得切線(xiàn)方程：對(duì)拋物線(xiàn)方程求導(dǎo)數(shù),得,過(guò)曲線(xiàn)上已知點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,當(dāng)存在時(shí),.所以點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,此切線(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以把點(diǎn)代入切線(xiàn)方程得,再代入拋物線(xiàn)方程得,由此,與拋物線(xiàn)相切于斜率為的切線(xiàn)方程為.旋轉(zhuǎn)體是由曲線(xiàn)直線(xiàn)與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的,求旋轉(zhuǎn)體體積：方法1：曲線(xiàn)表成是的函數(shù),是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差,套用已有公式得.方法2：曲線(xiàn)表成是的函數(shù),并作水平分割,相應(yīng)于小橫條的體積微元,如上圖所示,于是,旋轉(zhuǎn)體體積 .【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.由連續(xù)曲線(xiàn)、直線(xiàn)及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的

11、旋轉(zhuǎn)體體積為：.2.設(shè)在連續(xù),非負(fù),則曲線(xiàn),直線(xiàn)及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積為：(可用微元法導(dǎo)出).八、(本題滿(mǎn)分9分)【解析】所給方程為常系數(shù)二階線(xiàn)性非齊次方程,特征方程的根為,原方程右端中的.當(dāng)時(shí),可設(shè)非齊次方程的特解,代入方程可得,當(dāng)時(shí),可設(shè)非齊次方程的特解,代入方程可得,所以通解為 ,.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.二階線(xiàn)性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)是二階線(xiàn)性非齊次方程的一個(gè)特解.是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解,則是非齊次方程的通解.2. 二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常數(shù),方程變?yōu)?其特征方程寫(xiě)為,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特