求數(shù)列通項公式的十種方法

1、精選文檔求數(shù)列通項公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細）總述：一利用遞推關系式求數(shù)列通項的11種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關系式中消滅的根號）、數(shù)學歸納法、不動點法（遞推式是一個數(shù)列通項的分式表達式）、特征根法二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項公式的最基本方法。 三 求數(shù)列通項的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。 四求數(shù)列通項的基本方法是：累加法和累乘法。 五數(shù)列的本質是

2、一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。一、累加法 1適用于： -這是廣義的等差數(shù)列 累加法是最基本的二個方法之一。2若，則 兩邊分別相加得 例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則練習1.已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式. 答案：練習2.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式. 答案：裂項求和 評注：已知,，其中f(n)可以是關于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關于n的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關于n的二次函數(shù)，累

3、加后可分組求和;若f(n)是關于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例3.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項公式.解:由已知得,化簡有,由類型(1)有,又得,所以,又,則此題也可以用數(shù)學歸納法來求解.二、累乘法 1.。 -適用于： -這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。2若，則兩邊分別相乘得，例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由于，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為例5.設是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時，=.評注：本題是關于和的二次齊次式，可以通過

4、因式分解（一般狀況時用求根公式）得到與的更為明顯的關系式，從而求出.練習.已知,求數(shù)列an的通項公式.答案：-1.評注：本題解題的關鍵是把原來的遞推關系式轉化為若令,則問題進一步轉化為形式，進而應用累乘法求出數(shù)列的通項公式.三、待定系數(shù)法 適用于 基本思路是轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。1形如,其中)型（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構造幫助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設,得,與題設比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構成以為首項，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.

5、規(guī)律：將遞推關系化為,構造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項公式逐項相減法（階差法）：有時我們從遞推關系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進而求得通項公式. ,再利用類型(1)即可求得通項公式.我們看到此方法比較簡單.例6已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解法一： 又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即解法二： 兩式相減得，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的練習已知數(shù)列中，求通項。答案：2形如： (其中q是常數(shù)，且n0,1) 若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構造成等差數(shù)列即： ,令，則,然后類

6、型1，累加求通項.ii.兩邊同除以 . 目的是把所求數(shù)列構造成等差數(shù)列。 即： ,令,則可化為.然后轉化為類型5來解，iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構造成等差數(shù)列設.通過比較系數(shù)，求出，轉化為等比數(shù)列求通項.留意：應用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)法）：設，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略練習.（2003天津理）設為常數(shù)，且證明對任意1，；3形如 (其中k,b是常數(shù)，且)方法1：逐項相減法（階差

7、法）方法2：待定系數(shù)法通過湊配可轉化為 ; 解題基本步驟：1、確定=kn+b2、設等比數(shù)列，公比為p3、列出關系式,即4、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列的通項公式6、解得數(shù)列的通項公式例8 在數(shù)列中，求通項.（逐項相減法）解：， 時，兩式相減得 .令,則利用類型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可聯(lián)立 解出.例9. 在數(shù)列中，,求通項.（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項,公比為. 即：故.4形如 (其中a,b,c是常數(shù)，且)基本思路是轉化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的

8、通項公式。解：設 比較系數(shù)得， 所以 由，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。5.形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3 結果形式可能不同，但本質相同）則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習.數(shù)列中，若,且滿足,求.答案： .四、迭代法 (其中p,r為常數(shù))型例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由于，所以又，所以數(shù)列的通項公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。例13.（2005江西卷）已知數(shù)列，（1）證明 （2）求數(shù)列的

9、通項公式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請試一試.解法3：設c，則c,轉化為上面類型（1）來解五、對數(shù)變換法 適用于(其中p,r為常數(shù))型 p>0， 例14. 設正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項公式. 答案：例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由于，所以。兩邊取常用對數(shù)得設（同類型四）比較系數(shù)得， 由，得，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。 六、倒數(shù)變換法 適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項例16

10、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，七、換元法 適用于含根式的遞推關系例17 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則代入得即由于， 則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。八、數(shù)學歸納法 通過首項和遞推關系式求出數(shù)列的前n項，猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學歸納法加以證明。例18 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜想，下面用數(shù)學歸納法證明這個結論。（1）當時，所以等式成立。（2）假設當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。依據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。九、階差法（逐項相減法） 1、遞推公式

11、中既有，又有 分析：把已知關系通過轉化為數(shù)列或的遞推關系，然后接受相應的方法求解。例19 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。解：對任意有 當n=1時，解得或當n2時， -整理得：各項均為正數(shù)，當時，此時成立當時，此時不成立，故舍去所以練習。已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項公式.答案： 2、對無窮遞推數(shù)列例20 已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：由于所以用式式得則 故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為十、不動點法 目的是將遞推數(shù)列轉化為等比（差）數(shù)列的方法不動點的定義：函數(shù)的定義域為，若存在，使成立，則稱為的不動點或稱為函數(shù)的不動點。分析：由求出不

12、動點，在遞推公式兩邊同時減去，在變形求解。類型一：形如例21 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：遞推關系是對應得遞歸函數(shù)為，由得，不動點為-1，類型二：形如分析：遞歸函數(shù)為（1）若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸關系式兩邊分別減去不動點p,q，再將兩式相除得，其中，（2）若有兩個相同的不動點p，則將遞歸關系式兩邊減去不動點p，然后用1除，得，其中。例22. 設數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解：對等式兩端同時加參數(shù)t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首項為，公比為的等比數(shù)列, =, 解得.方法2：，兩邊取倒數(shù)得，令b，則b,轉化為累加法

13、來求. 例23 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。由于。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。練習1：已知滿足，求的通項答案：練習2。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項答案：練習3.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列；()求的通項公式。答案：（1）是以1為首項，為公比的等比數(shù)列。（2）。十一。特征方程法 形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為若有二異根，則可令是待定常數(shù)）若有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進而求得例24 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得，

14、例25 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 練習1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項練習2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項說明：(1)若方程有兩不同的解s , t,則, ,由等比數(shù)列性質可得, ,由上兩式消去可得.(2)若方程有兩相等的解，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質可知，所以例26、數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項。解：令，解得，將它們代回得，÷，得,則，數(shù)列成等比數(shù)列，首項為1，公比q=2所以，則，十二、四種基本數(shù)列1形如型 等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如型 等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，

15、周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來爭辯;（2）若f(n)為n的函數(shù)（格外數(shù)）時，可通過構造轉化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項來分求通項.例27. 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式.分析 1：構造 轉化為型解法1：令則.時,各式相加:當n為偶數(shù)時，. 此時 當n為奇數(shù)時，此時,所以.故 解法2：時，兩式相減得：.構成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列;構成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列 . 評注：結果要還原成n的表達式.例28.（2005江西卷）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項公式.解：方法一：由于以下同上例，略答案 4.形如型（1）若(p

16、為常數(shù))，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來爭辯;（2）若f(n)為n的函數(shù)（格外數(shù)）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.例29. 已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項公式.注：同上例類似，略.5形如型(1)若是常數(shù)，同題型1.(2)若是一次式同題型1(3)若是二次式。例1(2006年陜西理20)已知正項數(shù)列，其前n項和S 滿足成等比數(shù)列，且10 S= ，求數(shù)列的通項公式.解:10 S= 又10 S=(2), - ,得，即.當.此時不成等比數(shù)列，.當.此時有.評注:該題用即的關系, .消去,也可用的方法求出.例2（2007年重慶理科21）已知各項均為

17、正數(shù)的數(shù)列的前項和滿足，且，（）求的通項公式；（）設數(shù)列滿足，并記為的前項和，求證：解：（I）解由，解得或，由假設，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去因此，從而是公差為，首項為的等差數(shù)列，故的通項為（II）證法一：由可解得；從而因此令，則因，故特殊地，從而即證法二：同證法一求得及，由二項式定理知，當時，不等式成立由此不等式有證法三：同證法一求得及令，因因此從而證法四：同證法一求得及下面用數(shù)學歸納法證明：當時，因此，結論成立假設結論當時成立，即則當時，；因故從而這就是說，當時結論也成立綜上對任何成立例3（2008年全國理科2）設函數(shù)數(shù)列滿足，（）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；（）證明：；（）設

18、，整數(shù)證明：解：（）證明：，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)（）證明：（用數(shù)學歸納法）（i）當n=1時，由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，即成立；（）假設當時，成立，即那么當時，由在區(qū)間是增函數(shù)，得：.而，則，也就是說當時，也成立；依據(jù)（）、（）可得對任意的正整數(shù)，恒成立 （）證明：由可得：1、若存在某滿足，則2、若對任意都有，則： 成立例4.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項公式.解:由已知得,化簡有,由類型(1)有,又得,所以,又,則6. 形如型例（2008年湖南理科）（本小題滿分12分）數(shù)列()求并求數(shù)列的通項公式；()設證明：當 解 ()由于一般地，當時，即所以數(shù)列是

19、首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項公式為()由()知， -得，所以要證明當時，成立，只需證明當時，成立. 證法一(1)當n = 6時，成立. (2)假設當時不等式成立，即則當n =k+1時，由(1)、(2)所述，當6時，即當6時，證法二 令，則 所以當時，.因此當時，于是當時，綜上所述，當時，7. 形如型例1（2008年重慶理科22）設各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足.（）若，求，并猜想的值（不需證明）；（）記對2恒成立，求的值及數(shù)列bn的通項公式.解：()因， 由此有，故猜想的通項為 （）令 由題設知x1=1且 ， 因式對n=2成立，有 下面用反證法證明： 由得 因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.故 又由知 因此是是首項為，公比為-2的等比數(shù)列,所以 由-