釋疑解難曲線積分與曲面積分

1、釋疑解難 曲線積分與曲面積分問(wèn)題1如何認(rèn)識(shí)多元函數(shù)的幾種積分的定義？答：多元函數(shù)的幾種積分的定義可以用統(tǒng)一形式給出，統(tǒng)稱(chēng)為幾何形體上的積分： ，其中是將積分區(qū)域任意分割為塊后的任一塊，為內(nèi)的任一點(diǎn)，它是定積分的推廣。若為平面域，則是二重積分。若為空間區(qū)域，則是三重積分。若為曲線弧，則是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。若為曲面，則是對(duì)面積的曲面積分。另外還有對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 其中為有向曲線弧的切向量的方向角。對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，其中為有向曲面的法向量的方向角。問(wèn)題2如何正確理解兩類(lèi)曲線積分和曲面積分的概念？答：由于實(shí)際需要，曲線積分與曲面積分為兩種類(lèi)型，有關(guān)質(zhì)量重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等數(shù)量積分問(wèn)題導(dǎo)出第一類(lèi)線面積分；有關(guān)

2、變力作功、流體流過(guò)曲面的流量等向量問(wèn)題導(dǎo)出第二類(lèi)線、面積分。前者被積函數(shù)化為數(shù)量函數(shù)沿區(qū)域積分，無(wú)需考慮方向性，而后者被積函數(shù)是向量函數(shù)，必須考慮方向。因此，一個(gè)函數(shù)的積分可以由積分區(qū)域的有向或無(wú)向分為兩種類(lèi)型的積分，在所學(xué)過(guò)的積分中：區(qū)域無(wú)向的積分有：重積分第一類(lèi)曲線積分和第一類(lèi)曲面積分；區(qū)域有向的積分有：定積分第二類(lèi)曲線積分和第二類(lèi)曲面積分。曲線的方向是由起點(diǎn)到終點(diǎn)（定積分）或切向量的方向來(lái)確定，曲面的方向則由曲面上點(diǎn)的法向量所指向的側(cè)來(lái)確定，我們常會(huì)把兩類(lèi)積分相互轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換時(shí)必須注意符號(hào)，它體現(xiàn)了有向積分的方向。將無(wú)向域的積分化為有向域的積分，如重積分化為累次積分（定積分），方向性體現(xiàn)為

3、定積分的上下限的確定，而將有向域的積分化為無(wú)向域的積分，如第二型曲面積分化為二重積分或三重積分，第二型曲線積分化為二重積分等，必須注意符號(hào)的確定問(wèn)題。問(wèn)題3應(yīng)用格林公式時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題？答：應(yīng)用格林公式應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1必須注意格林公式的條件是否滿(mǎn)足，否則，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。 例如，設(shè)，其中為取正向，若按如下解法： , , 由格林公式，得 而事實(shí)上 。 上述前一種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵诓贿B續(xù)，而，故不滿(mǎn)足格林公式的條件，不能直接應(yīng)用格林公式。2格林公式對(duì)復(fù)連通區(qū)域，結(jié)論也成立，但必須是的所有邊界曲線取正向。 曲線正向的規(guī)定：沿的邊界曲線正向前進(jìn)，區(qū)域總在其左側(cè)。 例如，其中是：的正向邊界曲線，如圖1

4、0-1，的正向?yàn)榈哪鏁r(shí)針和的順時(shí)針?lè)较?。因?yàn)?，故由格林公式，得 。問(wèn)題4設(shè)為橢圓，為圓周均為逆時(shí)針?lè)较?，?wèn)下列積分的計(jì)算是否正確？ 。 答：不正確。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故在與圍成的區(qū)域中，因此 。正確的解法是利用的參數(shù)方程：從變到， 。注：將曲線積分改變?yōu)榱硪宦窂缴系姆e分，一定要檢查條件是否在與所圍成的區(qū)域內(nèi)成立，且與方向要一致。問(wèn)題5計(jì)算積分，為球面：的外側(cè)。 下面作法是否正確： 。 答：這個(gè)作法不正確，錯(cuò)在三重積分的計(jì)算，像這樣的錯(cuò)誤，一不注意就會(huì)發(fā)生。因?yàn)榻o出的是上的曲面積分，在上應(yīng)滿(mǎn)足方程，這是對(duì)的。但在用了高斯公式以后，曲面積分已轉(zhuǎn)換成了三重積分，積分域?yàn)椋?，即在閉域上變動(dòng),而對(duì)于內(nèi)部的點(diǎn)，

5、已不滿(mǎn)足了。正確的結(jié)果應(yīng)是 。問(wèn)題6設(shè)為平面在柱面內(nèi)那一部分的上側(cè)，下面兩個(gè)積分的解法是否正確？ （1）。 （2）。 答：第一個(gè)積分的解法是對(duì)的，第二個(gè)的解法不對(duì)。因?yàn)榈诙€(gè)積分是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，其中的微分元是在面上的投影，故正確的作法是：，是在上的投影：，故 如果是下側(cè)，那末。曲面積分 之所以稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，就是上式中 和分別是的面積元素在坐標(biāo)面和上的投影。因此計(jì)算時(shí)應(yīng)分別把投影于和面上，化為二重積分，這時(shí)，需要注意的側(cè)，據(jù)此以定投影的正負(fù)，亦即二重積分的正負(fù)。問(wèn)題7設(shè)是半球面的外側(cè)。有人說(shuō)：“由對(duì)稱(chēng)性知，故同樣也有?！边@樣說(shuō)對(duì)不對(duì)？答：這樣說(shuō)不對(duì)。我們知道，對(duì)面積的曲面積分與曲面（

6、積分域）的側(cè)（方向）無(wú)關(guān)。故考慮對(duì)稱(chēng)性時(shí)比較容易。但對(duì)坐標(biāo)的曲面積分與曲面的側(cè)有關(guān)，所以在考慮它的對(duì)稱(chēng)性時(shí)，還要考慮曲面的側(cè)。也即要顧及被積函數(shù)與曲面，情形就比較復(fù)雜。因此，在計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分時(shí)，不如先把它轉(zhuǎn)化為二重積分，再化為定積分，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中可考慮利用二重積分或定積分的對(duì)稱(chēng)性，這是基本方法。利用對(duì)稱(chēng)性只是對(duì)具有這種特殊性質(zhì)的積分所用的解題技巧，并非每個(gè)曲面積分都具有這種特殊性質(zhì)。問(wèn)題中的積分是對(duì)的。因?yàn)榍鎸?duì)稱(chēng)于平面，而被積函數(shù)在關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上，它的值差一個(gè)符號(hào)（奇函數(shù)）。所以，但是不對(duì)的。因?yàn)榍骐m關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，但在對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上，的方向不同，因而投影不等。故對(duì)稱(chēng)性不能用。計(jì)算可用兩種方法：（1