第五節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)前面研討的是冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù),如今反過來,某個函數(shù)能否可以在某個區(qū)間內(nèi)用冪級數(shù)表示一一. 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù))()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中f(x) 在 的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù).0 x余項此時, f(x)可以用前n+1項近似表示,誤差為| )(|xRn由此引入泰勒級數(shù):1. 定義 假設(shè)f(x)在 的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),那么0 x nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()()(00)(200000

2、00 xf(x)在 的泰勒級數(shù)0 x000)()(!)()(nnnxxnxfxf0)(!)0()(nnnxnfxf泰勒系數(shù)麥克勞林級數(shù)2. 泰勒定理:假設(shè)f(x) 在 的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),0 x0)(limxRnn(由泰勒公式很容易得出結(jié)論,證明略)注: (1) 那么f(x)在 的泰勒級數(shù)在該鄰域內(nèi)收斂于f(x)0 x假設(shè)f(x)在 的泰勒級數(shù)收斂于f(x),即0 x000)()(!)()(nnnxxnxfxf泰勒展開式(2) 假設(shè)函數(shù)可以展開成冪級數(shù),那么展開式獨一.那么稱 f(x)在 可以展開成泰勒級數(shù)0 x二二. 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)主要研討函數(shù)如何展開成 x 的冪級數(shù).

3、 麥克勞林級數(shù)00 x1. 直接展開法(1) 求出 ),(,),(),()(xfxfxfn假設(shè)某階導(dǎo)數(shù)不存在,闡明不能展開(2) 求出 ),0(,),0(),0(),0()(nffff(3) nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2求出收斂半徑R(4) 在(-R,R)內(nèi),假設(shè)0)(limxRnn那么 f(x)例 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)xexf)().1 (,.)2 , 1( ,)()(nexfxn,.)2 , 1( , 1)0()0()(nffn ! 212nxxxn收斂半徑R1)!1(| )(|nnxnexR)0(,)!1(|1|xnxenx有限趨于零,由于 收斂01)

4、!1(|nnnx所以0)(limxRnn)( ,! 212 xnxxxenxxxfsin)().2(,.)2 , 1(),2sin()(nnxxfn,.)2 , 1 , 0,.(1, 0 , 1 , 0)0()(nfn(循環(huán)) )!12() 1(! 5! 312153nxxxxnn收斂半徑R1)!1()21sin(| )(|nnxnnxR)0(,)!1(|1xnxn所以0)(limxRnn0)( ,)!12() 1(0121xnxnnn) 11( ,!) 1()2)(1(! 3)2)(1(! 2) 1(1)1).(3(32 xxnnxxxxn牛頓二項式級數(shù)注: 1時,展式在 x =1成立;0時

5、,展式在 x = 1成立.2.間接展開法利用知的根本展開式和冪級數(shù)的性質(zhì)(1).逐項積分,逐項求導(dǎo)法(2)變量交換法(3)四那么運算法例 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù)xxfcos)().1 ()(sincosxx)!12() 1(! 5! 3(12153 nxxxxnn)( ,!2) 1(! 4! 21242 xnxxxnn)1ln()().2(xxf) 11( ,) 1(110 xxxnnnxdxxx011)1ln() 1(00 nxnndxx) 11(x11) 1(nnnnx2)().3(xexf ! 212ntttent2xe)( ,!) 1(! 3! 212642 xnxxxxnn作變量

6、交換2xt21)().4(xxxf22111xxxx02) 1(nnnxx) 11( ,) 1(012xxnnn例 將 分別展開成 x 的及 x1 的冪級數(shù)x313113131xx)33( ,301xxnnnnnx)3(310211121) 1(2131xxxnnx)21(210)31( ,2) 1(01xxnnn例 將 展開成 x1的冪級數(shù)3412 xx)3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx)411 (81)211 (41xxnnnnnnxx)41() 1(81)21() 1(4100,) 1)(2121() 1(0322nnnnnx)31(x)53(x)31(x三三. 冪

7、級數(shù)在近似計算中的運用冪級數(shù)在近似計算中的運用有了函數(shù)的冪級數(shù)展開式,就可以用它來進(jìn)展近似計算，即在展開式成立的區(qū)間上，可以按照精度要求，選取級數(shù)的前假設(shè)干項的部分和，把函數(shù)值近似計算出來。例： 求e的近似值解 由( )xf xe的展開式)( ,! 212 xnxxxenx取 有2111 1,()2!nexn 1x 根據(jù)不同的精度要求，取不同的n值9nnn-6當(dāng)時, e2.718281當(dāng) =10時, e2.7182812可見,即當(dāng) =10時, e的計算誤差不超過10例 計算 ln2 近似值，要求誤差不超越0.0001解231234( )ln(1)11(1).,( 11)2311111(1)1.

8、( 1).234111(1).,(234nfxxlnxxxxxxlnxnnlnxxxxx 由 的 展 開 式 取有如 果 取 級 數(shù) 的 前項 和 作 為 ln2的 近 似 值 ,就 需 要 取級 數(shù) 的 前 面 很 多 項 來 計 算 ,才 能 夠 達(dá) 到 要 求 ,但 計 算 量太 大 ,我 們 試 著 用 收 斂 較 快 的 級 數(shù) 來 計 算 ln2因 為23411)111(1).,( 11)234xlnxxxxxx 353572911119111lnln(1)ln(1)2(.)135112,1311 11 111ln 22(.),33 35 37 31 1112112( .)1( )

9、.9 311 3399114.3700001ln 22(3xxxxxxxxxx4所以令得有級數(shù)的第五項以后的和,即取前4項作為ln2的近似值所產(chǎn)生的誤差r于是取3571 11 111.)0.69313 35 37 3練習(xí).21,21(,21,2121|12) 1()1ln()21ln()1)(21ln()21ln(1112級數(shù)的收斂域為散時，對應(yīng)常數(shù)項級數(shù)發(fā)當(dāng)對應(yīng)常數(shù)項級數(shù)收斂；時當(dāng)xxxxnxnxxxxxxnnnnnn的冪級數(shù)并求收斂域展開成將xxx)21ln(. 12).7 , 3(,7,373135125)5(3121) 1(3511312511213)5(12)5(12131)3)(2(16510112級數(shù)的收斂域為散時，對應(yīng)常數(shù)項級數(shù)發(fā)當(dāng)對應(yīng)常數(shù)項級數(shù)發(fā)散；時當(dāng)xxxxxxxxxxxxxxxxnnnnn的冪級數(shù)展開為5651.22xxx. 1| )1123121()13121()1ln(,131211)1ln(1012102102321nxnxxdxxnxdxxxxxnxxxxnxnnnnn102)1ln(. 3dxxxx. 1) 1 ( )!1(1) 1()( 0,1)(1)!1()(,)!1