第三章力系的平衡

1、工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡工程力學第三章第三章 力系的平衡力系的平衡工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡匯交力系匯交力系F2F3FnF1平行力系平行力系F3F2F1F2F3FnF1任意力系任意力系空間力系空間力系F1F2Fn3-1 3-1 空間力系的平衡條件空間力系的平衡條件工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡一、空間任意力系的平衡方程FR0，MO 0 =0,0,0()0,()0,()0 xyzxyzFFFMMMFFF空間任意力系平衡的必要與充分條件為：空間任意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個力系中各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和等于零，

2、且各力對三個軸的矩的代數(shù)坐標軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對三個軸的矩的代數(shù)和也等于零。和也等于零。FnF1F2yzxOMOFROxyz工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡匯交力系：各力作用線均匯交于一點。匯交力系：各力作用線均匯交于一點。AFCFBFWAOCB空間匯交力系空間匯交力系二、空間匯交力系的平衡方程工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡0,xF 0,yF 0zF 即即: :匯交力系的平衡條件是匯交力系的平衡條件是力系中所有各力在各個坐力系中所有各力在各個坐標軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。標軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。2220RxyzFFFF匯

3、交力系平衡的充要條件是：匯交力系平衡的充要條件是：力系的合力等于零力系的合力等于零, ,即即: :工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡三、空間平行力系的平衡方程0,zF ()0,xMF()0yMF工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡即：力偶系各力偶矩矢分別在三個坐標軸投影的代數(shù)和為即：力偶系各力偶矩矢分別在三個坐標軸投影的代數(shù)和為零，稱為力偶系作用下剛體的平衡方程。零，稱為力偶系作用下剛體的平衡方程。000 xyzMMM0M 空間力偶系平衡的充分必要條件是空間力偶系平衡的充分必要條件是: :合力偶矩矢等于零，合力偶矩矢等于零，力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零力偶系各力偶矩

4、矢的矢量和等于零 。寫出解析的形式，有：寫出解析的形式，有：222()()()RxyzMMMM四、空間力偶系的平衡方程工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡平面任意力系平衡的充要條件是：平面任意力系平衡的充要條件是： 力系的主矢和對任意點的主矩都等于零。力系的主矢和對任意點的主矩都等于零。00RFM o 22 ()()( )RxyOOFFFMMF 平面任意力系的平衡方程：平面任意力系的平衡方程：000 xyoFFM1、平面任意力系的平衡方程、平面任意力系的平衡方程F2F3FnF1平面任意力系平面任意力系工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡平面任意力系平衡方程的三種形式：平

5、面任意力系平衡方程的三種形式：剛體平衡條件剛體平衡條件二矩式二矩式A、B連線與連線與x軸不垂直軸不垂直三矩式三矩式A、B、C三點不共線三點不共線一矩式一矩式Fx =0Fy=0 MA=0Fx =0MA=0 MB=0MA=0M B=0 MC=0工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡2、平面平行力系的平衡方程、平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程為兩個，有兩種形式：平面平行力系的方程為兩個，有兩種形式：00yoFM各力不得與投影軸垂直。各力不得與投影軸垂直。00BAMM兩點連線不得與各力平行。兩點連線不得與各力平行。BA,工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡0yF 0,xF

6、 3、平面匯交力系的平衡方程、平面匯交力系的平衡方程4、平面力偶系的平衡條件、平面力偶系的平衡條件0M即：力偶系各力偶力偶矩的代數(shù)和等于零。即：力偶系各力偶力偶矩的代數(shù)和等于零。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡求解平衡問題的步驟求解平衡問題的步驟1、選擇合適的平衡對象，從系統(tǒng)中隔離；、選擇合適的平衡對象，從系統(tǒng)中隔離；2、進行受力分析；、進行受力分析；3、應用平衡方程進行求解、應用平衡方程進行求解工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：圓弧桿例：圓弧桿AB與折桿與折桿BDC在在B處鉸接，處鉸接，A、C兩處均為固定兩處均為固定鉸支座，結構受力如圖所示。試求鉸支座，結構

7、受力如圖所示。試求A、C兩處的約束力。兩處的約束力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：平面鋼架受力及各部分尺寸如圖所示，所有外力的作例：平面鋼架受力及各部分尺寸如圖所示，所有外力的作用線都位于鋼架平面內。用線都位于鋼架平面內。A處為固定端約束，求處為固定端約束，求A處約束力。處約束力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：圖示結構中，例：圖示結構中，A、B、C三處均為鉸鏈約束。橫桿三處均為鉸鏈約束。橫桿AB在在B處承受集中載荷處承受集中載荷F。試求撐桿。試求撐桿CD的受力及的受力及A處的約束力。處的約束力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：圖中

8、所示結構，例：圖中所示結構，AB、AC、AD三桿由活動球鉸連接于三桿由活動球鉸連接于A處；處；B、C、D三處均為固定球鉸支座。在三處均為固定球鉸支座。在A處懸掛重物，處懸掛重物，重物的重量重物的重量W為已知。試求三桿的受力。為已知。試求三桿的受力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：如圖所示為水利渦輪發(fā)電機中的主軸。水力推動渦輪例：如圖所示為水利渦輪發(fā)電機中的主軸。水力推動渦輪轉動的力偶矩轉動的力偶矩M=1200N.m。在錐齒輪。在錐齒輪B處受到的力分解為處受到的力分解為三個分立：圓周力，軸向力和徑向力。三者大小的比例為三個分立：圓周力，軸向力和徑向力。三者大小的比例為1:0.

9、32:0.17。已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為。已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為W=12Kn，其作用線沿軸其作用線沿軸Cz；錐齒輪的平均半徑；錐齒輪的平均半徑OB=0.6m ，試求止推，試求止推軸承軸承C和軸承和軸承A的反力。的反力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡 塔式起重機的結構簡圖如塔式起重機的結構簡圖如圖所示。起重機自重為圖所示。起重機自重為W，載，載重為重為W1，平衡物重，平衡物重W2。要使。要使起重機在空載、滿載且載重在起重機在空載、滿載且載重在最遠處時均不翻到，試求平衡最遠處時均不翻到，試求平衡物重。物重。解：解：（1）取塔式起重機整體為研究對象）取塔式起重機整

10、體為研究對象,受力分析如圖。受力分析如圖。（整機在平面平行力系作用下處于平衡。）（整機在平面平行力系作用下處于平衡。）2W1WWeCbla例：翻到問題例：翻到問題工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡( (2) ) 列平衡方程：列平衡方程：0,AM0BF 1) 空載時（空載時（ W1 =0）：）：不翻倒的條件是：不翻倒的條件是：B2()0Fb W ebWa B21()0FW ebWab可得空載時平衡物重量可得空載時平衡物重量W2的條件：的條件：2()W ebWa2W1WWeCbla工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡0,BM0AF 2) 滿載且載重位于最遠端時滿載且載重位

11、于最遠端時,不翻到不翻到的條件是：的條件是：A21()0FbW abWe W l A121()0FWe WlWabb 211()WWeWlab2W1WWeCbla121()()W ebWeWlWaba綜合考慮，平衡物重量綜合考慮，平衡物重量W2應滿載的條件應滿載的條件：可得滿載時平衡物重量可得滿載時平衡物重量W2的條件：的條件：工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡解：解：（1）取汽車及起重機為研究對象）取汽車及起重機為研究對象,受力分析如圖。受力分析如圖。例例7 ： 翻到問題翻到問題 （自學）（自學） 一種車載式起重機，車重一種車載式起重機，車重Q = 26kN，起重機伸臂重，起重

12、機伸臂重G= 4.5kN，起重機的旋轉部分與固定部分共重，起重機的旋轉部分與固定部分共重W = 31kN。尺。尺寸如圖所示，單位是寸如圖所示，單位是m，設伸臂在起重機對稱面內，且放，設伸臂在起重機對稱面內，且放在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起重量在圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起重量Pmax。AB3.02.51.82.0AFFBQWGP工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡122.55.53.8AFQGP0,yF 0ABFFPQGW 0,BMF 5.52.523.80APGQF（3）聯(lián)立求解：）聯(lián)立求解： （2）列平衡方程：）列平衡方程：（4）不翻條件：）不翻條件：FA0122

13、.57.55.5PQGkN由由上上式式可可得得 故故最大起重重量為最大起重重量為 Pmax= 7.5 kNAB3.02.51.82.0AFFBQWGP工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡 一、靜定與靜不定的概念一、靜定與靜不定的概念靜定問題靜定問題未知量數(shù)目未知量數(shù)目NR不超出不超出獨立獨立平衡方程的數(shù)目平衡方程的數(shù)目NE靜不定問題靜不定問題未知量數(shù)目未知量數(shù)目NR超出超出獨立獨立平衡方程的數(shù)目平衡方程的數(shù)目NENR NE自由度數(shù)自由度數(shù)NRNE靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)N = NE - NRI = NR -NE3-4 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡靜定與靜不定的概念靜定與靜不定的概念工工

14、程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡靜定靜定靜不定靜不定靜定靜定靜不定靜不定靜不定靜不定NR=3NE =3NE =3NE =2NE =3NE =3NR=3NR=3NR=4NR=4靜定靜定NE =3NR=3工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡BCPQANR = 4+2=6NE = 2 3=6NR =5+2=7NE = 2 3=6NR = 5+1=6NE = 2 3=6靜定靜定靜定靜定靜不定靜不定YAXAYBXBYAXAACPXCYCYBXBBCQXCYC剛體系統(tǒng)剛體系統(tǒng)工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡1、整體平衡與局部平衡的概念、整體平衡與局部平衡的概念 系統(tǒng)

15、如果整體是平衡的，則組成系統(tǒng)的每一個局系統(tǒng)如果整體是平衡的，則組成系統(tǒng)的每一個局部以及每一個剛體也必然是平衡的。部以及每一個剛體也必然是平衡的。二、剛體系統(tǒng)平衡問題的特點二、剛體系統(tǒng)平衡問題的特點2、研究對象有多種選擇、研究對象有多種選擇 一般先整體后局部一般先整體后局部3、對剛體系統(tǒng)作受力分析時，要分清內力和外力、對剛體系統(tǒng)作受力分析時，要分清內力和外力4、每個剛體上的力系都必須滿足平衡條件、每個剛體上的力系都必須滿足平衡條件工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡三、剛體系的平衡問題的解法三、剛體系的平衡問題的解法1、剛體系平衡問題的基本步驟：、剛體系平衡問題的基本步驟：選擇研究對

16、象；選擇研究對象；取分離體畫受力圖；取分離體畫受力圖；列平衡方程；列平衡方程；求解。求解。2、物體系平衡方程的數(shù)目：、物體系平衡方程的數(shù)目： 由由n個物體組成的物體系，總共有不多于個物體組成的物體系，總共有不多于3n個獨個獨立的平衡方程；如有匯交力系和平行力系，平衡方程立的平衡方程；如有匯交力系和平行力系，平衡方程數(shù)目減少。數(shù)目減少。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：所示結構由桿例：所示結構由桿AB與與BC在在B處鉸接而成。結構處鉸接而成。結構A處為固定端，處為固定端，C處為輥軸支座。結構在處為輥軸支座。結構在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為段承受均布載荷作用，載荷集度為q

17、; E 處作用有外加力偶，其力偶矩為處作用有外加力偶，其力偶矩為M。q 、M、l等均為已知。等均為已知。試求試求A、C兩處的約束力。兩處的約束力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：如圖所示為一種起吊裝置的結構簡圖。圖中尺寸例：如圖所示為一種起吊裝置的結構簡圖。圖中尺寸d , 載荷載荷F， FAD =60均為已知。若不計各桿自重，試求桿均為已知。若不計各桿自重，試求桿AF與桿與桿AD在各在各自的約束處所受的約束力。自的約束處所受的約束力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例：滑輪支架系統(tǒng)如圖所示。已知例：滑輪支架系統(tǒng)

18、如圖所示。已知G G，a,r,a,r,其余物體重其余物體重量不計量不計, ,試求試求A A和和B B的約束力。的約束力。工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡0,2(2)(2)2oAyTAyMFaFarGarFG 0,00,2 tan(4)00,0yAyByABxxAxBxFFFGMFaGarFFF3 ,(4)cos/(2 sin ),(4)cos/(2 sin )ByBxAxBxFG FGaraFFGara 1、研究桿、研究桿AC和滑輪重物系統(tǒng)和滑輪重物系統(tǒng)2、研究整體、研究整體工工程程力力學學第第三三章章力力系系的的平平衡衡例例： 梁梁ACB如圖。梁上起重小車重如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊，吊 重重 P=10kN，求，求A、B處的約束力。處的約束力。由由(1)知，知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。剩余二個方程中含三個未知約束反力，不足以求解。 列平衡方程：列平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-P-W=0 -(2) MA(F) =MA+12FBy-4W-8