函數(shù)的單調(diào)性例題

1、1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性題型一、利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 1 1作出下列函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1 1)y x21; ;(2 2)y x22x 3；(3(3)y x 1 (x 2)2; ;(4 4)y Jx26x 9 Jx26x 9相應(yīng)作業(yè) 1 1:課本 P32P32 第 3 3 題. .題型二、用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值 作差變形 定號 下結(jié)論取值，即_ ；作差變形，作差_,變形手段有_、_、_ 、_等;定號，即_ ；下結(jié)論，即_。例 2.2.用定義法證明下列函數(shù)的單調(diào)性(1 1)證明：f (x) x31在上是減函數(shù)定義法證明單調(diào)性的等價形

2、式：設(shè)xi、X2a, b,XiX2, ,那么(XiX2) f(Xi) f(X2)f(Xi) f(X2)XiX2f (X)在 a,ba,b 上是增函數(shù);(XiX2) f (Xi)f (X2)0f(Xi) f(X2)XiX2f (X)在a,b上是減函數(shù)(2)(2)證明：f (X)X2i X在其定義域是減函數(shù);(3 3)證明：f (X)法一：作差,0上是增函數(shù);法二：作商(4)已知函數(shù)y f(x)在0,上為增函數(shù)，且f(x) 0(X 0)，試判斷F(X) 在f (x)0,上的單調(diào)性，并給出證明過程;方法技巧歸納判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：1 1 直接法：熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等；如，

3、練習冊P27P27(2 2)P31P31(上 5 5、1 1)2 2、圖象法；3 3、定義法；4 4、運算性質(zhì)法：1當a 0時，函數(shù)af (x)與f (x)有相同的單調(diào)性；當a 0時，函數(shù)af (x)與f (x)有相反的單調(diào)性；2當函數(shù)f (x)恒不等于零時，f (x)與丄 單調(diào)性相反；f(x)f(x)3若f (x)0,則f(x)與.f(x)具有相同的單調(diào)性；4若f(x)、g(x)的單調(diào)性相同，則f(x) g(x)的單調(diào)性與之不變；即：增+ + 增= =增減+ +減= =減5若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則f(x) g(x)的單調(diào)性與f (x)同即：增- -減= =增減- -增= =增注意

4、：(1 1)可熟記一些基本的函數(shù)的單調(diào)性，一些較復(fù)雜的函數(shù)可化為基本函數(shù)的組合形式,再利用上述結(jié)論判斷；(2)f(x)g(x)與瑤的單調(diào)性不能確定ax相應(yīng)作業(yè) 2 2： (1 1 )討論函數(shù)f(x) 在1,1上的單調(diào)性(a 0)；x 1k( 2 2)務(wù)必記住“對勾”函數(shù)f (x) x (k 0)的單調(diào)區(qū)間(見練習冊P29P29 探究之窗. .x探究 1 1)知識拓展一一復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(難點)一、 復(fù)習回顧：復(fù)合函數(shù)的定義：如果函數(shù)y f (t)的定義域為 A A,函數(shù)t g(x)的定義域為 D,D,值域為C,則當C A時，稱函數(shù)y f(g(x)為f與g在 D D 上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變

5、量，t g (x)叫層函數(shù)，yf (x)叫外層函數(shù)。二、 引理 1 1已知函數(shù) y=fy=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c(c , d)d),又函數(shù) y=f(t)y=f(t)在區(qū)間(c,d)(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù) y=fy=f : g(x)g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是增函數(shù)引理 2 2 已知函數(shù) y=fy=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是減函數(shù)，其值域為(c(c , d)d)，又 函數(shù) y=f(t)y=f(t)在區(qū)間(c,d)(c,d)上是減

6、函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù) y=fy=f g(x)g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是增函數(shù). . 引理 1 1 的證明：重要結(jié)論 1 1：復(fù)合法則若t g(x)y f(t)則y fg(x)增增增減減增增減減減增減規(guī)律可簡記為“ _ ”（四個字）重要結(jié)論 2 2:若一個函數(shù)是由多個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡單函 數(shù)中減函數(shù)的個數(shù)決定：若減函數(shù)有偶數(shù)個，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若減函數(shù)有奇數(shù)個，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)規(guī)律可簡記為“ _ ”（四個字）題型三、求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 3.3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. .（1 1）y .7 6x x2 3（ 2 2）v1yx22x 3小結(jié)：1 1、

7、注意： （1 1）求單調(diào)區(qū)間必先求定義域；2單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集；3 寫多個單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間不能用“”并起來，應(yīng)用“，”隔開. .2 2、判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性步驟：求函數(shù)的定義域；將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：y f（t）與t g（x）；確定兩個函數(shù)的單調(diào)性；由復(fù)合法則“同増異減”得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 相應(yīng)作業(yè) 3 3:求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型五、已知單調(diào)性，求參數(shù)圍 例 5.5.已知函數(shù)f(x) x 2(x a)x 2(1)若f(x)的減區(qū)間是，4，數(shù)a的值;(2)若f(x)在,4上單調(diào)遞減，數(shù)a的取值圍. .(2b 1)xb1,x0在R上為增函數(shù)，數(shù)b的取值圍. .x2(2 b)x,

8、x 0(1 1)y8 2x x2(2 2)y1x22x 3(3 3)y1x24x單調(diào)性的應(yīng)用題型四、比較函數(shù)值的大小例 4.4.已知函數(shù)y f (x)在0,上是減函數(shù)，試比較32f()與f(a a41)的大小. .例 6.6.若函數(shù)f (x)題型六、利用單調(diào)性，求解抽象不等式 例 7.7.已知函數(shù)y f(x)是1,1上的減函數(shù)，且f(1 a)x例 8.8.已知f(x)是定義在0,上的增函數(shù)，且f( ) f(x) f(y)，且f1，解不y1等式f (x) f ()2. .x 3上的增函數(shù)，且f(xy) f(x) f (y)，且f (2)1，解不等式f (x) f (x 2)3. .題型七、抽象函

9、數(shù)單調(diào)性的判斷一一定義法解決此類問題有兩種方法:湊”，湊定義或湊已知條件，從而使用定義或已知條件得出結(jié)論；賦值法，給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系，有時可能要進行多次嘗試2f (a 1)，數(shù)a的取值圍. .相應(yīng)作業(yè) 4 4:已知f(x)是定義在0,例 9.9.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y都有f(x y) f (x) f (y)，且當x 0時f(x) 0,求證：f (x)在 R R 上單調(diào)遞增例 10.10.已知定義在0,上的函數(shù)f (x)對任意x、y0,，恒有f(xy) f (x) f (y)，且當0 x 1時f(x) 0，判斷f(x)在0,上單調(diào)性. .相應(yīng)作業(yè) 5 5：定義在0,上的函

10、數(shù)f (x)對任意x、y0,，滿足f(m n)f (m) f(n)，且當x 1時f(x) 0. .(1 1 )求f (1)的值；(2 2)求證：f(m)f (m) f (n)；n(3)求證：f(x)在0,上是增函數(shù);函數(shù)的最大(小)值1 1、函數(shù)的最大(小)值定義2 2、利用單調(diào)性求最值常用結(jié)論f (x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)遞增，在閉區(qū)間b,c上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y f (x)，x a,c在x b處有最大值，即ymaxf (b)；(5)若函數(shù)y f (x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)遞減，在閉區(qū)間b,c上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y f (x)，x a,c在xb處有最小值，即yminf (b). .題型八、單

11、調(diào)性法求函數(shù)最值(值域)1例 1111、( 1 1)函數(shù)f(x) -在1,5上的最大值為 _, ,最小值為 _2x 1(2)(2)_函數(shù)y紅在2,4上的最大值為, ,最小值為_ ; ;x 1(3)(3)_函數(shù)y 2x J1 2x的值域為; ;(4)(4) 函數(shù)y vx Vx 1的值域為_ ; ;1(5)(5)_函數(shù)y*2廠 2 2 的值域為(4)若f(2)1，解不等式f (x 2)f (2x)2;(1(1)若函數(shù) y yf (x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)遞增，則yminf (a)，ymaxf (b)；(2)若函數(shù)yf (x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)遞減，則yminf (b)，ymaxf(a)；(3)若

12、函數(shù)yf (x)在開區(qū)間a,b上單調(diào)遞增，則函數(shù)無最值，但值域為f(a), f(b)；(4(4)若函數(shù) y y1 xy -(6)函數(shù)x的值域為二次函數(shù)在給定區(qū)間二次函數(shù)的區(qū)間最值的求法m, n上求最值，常見類型：(1)定軸定區(qū)間：對稱軸與區(qū)間m, n均是確定的；(2) 動軸定區(qū)間：(3) 定軸動區(qū)間：(4) 動軸動區(qū)間：1 1、定軸定區(qū)間可數(shù)形結(jié)合，較易解決，注意對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系。例 12.12.當2 x 2時，求函數(shù)y x22x 3的最值. .2相應(yīng)作業(yè) 6 6:求函數(shù)y x 4x 5在1,5上的最值. .2 2、動軸定區(qū)間例 13.13.已知函數(shù)f(x)x22ax 2，求f(x)在5,5上的最值. .動軸定區(qū)間問題一般解法：對對稱軸在區(qū)間左側(cè)、右側(cè)、部三種情況進行討論， 最值在區(qū)間端點處還是在頂點處取得 . .3 3、定軸動區(qū)間x22x 2，當x t,t 1時，求f (x)的最小值g(t). .相應(yīng)作業(yè) 8 8：已知函數(shù)f (x)x24