人教版選修4-5柯西不等式的一般形式及其參數(shù)配方法的證明

1、2.1.2 柯西不等式的一般形式及其參數(shù)配方法的證明1. 理解三維形式的柯西不等式，在此基礎(chǔ)上，過渡到柯西不等式的一般形式2.會用三維形式的及一般形式的柯西不等式證明有關(guān)不等式和求函數(shù)的最值.h 自主預(yù)習(xí)會課前預(yù)爭醫(yī)_自學(xué)導(dǎo)引1.設(shè) ai, a2,，an, bi, b2,，bn為實數(shù)，則(a1+ a2+-+ a1 2g (b1+ b2+ + b2)ilaib+ a2b2+ anbn,其中等號成立？b畫=，=屠(當(dāng) bi= 0 時，認(rèn) 為 a 0, j 1, 2,，n).2.證明柯西不等式的一般形式的方法稱為參數(shù)配方法.基礎(chǔ)自測1. 設(shè) x, y, z 滿足 x2+ 2y2+ 3z2 3,則 x

2、+ 2y+ 3z 的最大值是( )A.3 2 B.4C.；,2D.6x+ 2 ( .2y) + .3 ( ,3z) 2a+ b+ c.1+丄+丄a+ b b+ c c+ a(1 1 1_(a+ b) + (b+ c)+ (c + a)五+_ (市)2+ ( b+L)2+ (.樂)2 222 、9+ ya+ b b+ c c+ a a+ b+ c a, b, c 互不相等，等號不可能成立，從而原不等式成立.反思感悟：有些問題本身不具備運用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一 下多項式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，就可以達到利用柯西不等式的目的為變畫遷移1.已知 ai, a2, a3為實數(shù)，bi, b2, b3為正

3、實數(shù).Ca；+a2；2+an丄丫 = n2，選 C.答案3.已知解析x、y、z R*且 x+ y+ z_ 2,則 x* 2+ y2+ z2的最小值是/ 2 , 2 , 2 2 2 2、2 2 2(x+y+z) (1+1+1)x + y + z _2(x+ y+ z)【例 1】 設(shè) a, b, c 為正數(shù)且互不相等，求證:證明 2(a+ b+ c)b+cc+a(b+ c+c+a，工 2c+ abl2+ (a+b)2+(+ b+ c a1+a2+a3(a1+a2+a3)b1b2b3b1+ b2+ b3證明由柯西不等式得:辭畫+a3(b1+b2+b3)a1a2a32_b1 -b1+.b22+,b3-

4、b3(a1+a2+a3)2.知識點 2 利用柯西不等式求函數(shù)的最值【例 2】 已知 a, b, c R+且 a+ b+ c= 1,求.4a+ 1 + 4b+ 1+ 4c+ 1 的最 大值.解4a+ 1 + 4b + 1 + 4c+ 1=：.4a+ 11+ 4b+ 1 1 +、j4c+ 1 12 ab,二 ab (8x+ 6y 24y)2v(x2+y2+z2)(8)2+62+(24)292=4* (64+ 36+ 576) = 392又(8x+ 6y 24y)2= 39s222222 (x + y + z)( 8) + 6 + ( 24)=(8x+ 6y 2 4z)2,即不等式中只有等號成立,

5、從而由柯西不等式中等號成立的條件，得 厶=y=8= 6= 245它與8x+ 6y 24y= 39 聯(lián)立，可得6= 9_=1813，y= 26，z=13.反思感悟：利用柯西不等式解方程關(guān)鍵是由不等關(guān)系轉(zhuǎn)換成相等關(guān)系，然后a+a+b+r 二1+b+ a2ab彳 121+ab212a+a2 +b+b225即 + a.f+b+b2孚x=再通過等號成立的條件求出未知數(shù)的值話變或遷移3 利用柯西不等式解方程：2 1-2x+ 4x+ 3= . 15.解 ：2 1- 2x+ 4x+ 3= 2 , 2- 4x+ 1 4x+ 3w24x+4x+32+1=53=15.又由已知 2 1 2x+ 4x+ 3=，帀所以等

6、號成立，由等號成立的條件 2 4x 1= 4x+ 3 2/口1得：2 4x= 8x + 6, x= 3,1即方程的解為 x= 課堂小結(jié)柯西不等式的證明有多種方法，如數(shù)學(xué)歸納法，教材中的參數(shù)配方法（或判別式法）等，參數(shù)配方法在解決其它問題方面應(yīng)用比較廣泛柯西不等式的應(yīng)用比較廣泛，常見的有證明不等式，求函數(shù)最值，解方程等.應(yīng)用時，通過拆常數(shù)、重新排序、添項、改變結(jié)構(gòu)等手段改變題設(shè)條件，以利于應(yīng)用柯西不等式隨堂演練1.已知 x, y, z R+且 x + y+ z= 1,貝 U x3 4+ y2+ z2的最小值是（ ）(x+ y+ z)_ 13二 3,答案 B 2.AABC 的三邊長為 a、b、c,

7、其外接圓半徑為 R,求證:4 2 21 1 12(a + b + c)2+2+ 卒 36R2.sin A sin B sin C證明由三角形中的正弦定理得21 2-3A c13 2B D解析 x2+ y2+ z2=/ 2 | 2 |2、(x + y + z )(12+ 12+ 12)3故應(yīng)選 B.sin A= 2R，所以214R22 2- sinA aC. nD.21_4FR 14R2同 sin2B - b，sin2C -C2 2 2十尸亠、斗222i4R24R24R2)于是左邊二(a2+ b2+ c2)孑 + 孑 +了2R2R 2R2“2 a + b + c = 36R . a b cJ故原

8、不等式獲證.3.已知 ai,比，an都是實數(shù)，求證：*ai+&+an)2(1xa1+1xa2+ -+1xan)2.n(a1+ a2+ an)A(a1+ &+ an)212 2 2 2二 n(a1+ a2+ an) (aixi+ 82x2+ anxn)2得 1 1 (8iXl+ 82x2+ + 8nxn)2,二 8ixi+ 82x2+ + 8nxn= 1.所求的最大值為 1.答案 A 3已知 a, b, c 為正數(shù)，則（|+b+魯+ b+!有（B.最小值4.設(shè) a, b R+,則逅+但與 pa+b 的大小關(guān)系是解析/ a+ b=( ,a)2+( -,b)2. 12+ 12-a+

9、, b.2 .答案 Va+b 嚴(yán)5._ 已知 x+ 2y+ 3z= 1,貝 U x2+ y2+ z2的最小值為_.2 2 2 2 2 2 2 2 2解析由柯西不等式，有(x + y + z)(1 + 2 +3)(x+ 2y+ 3z) = 1,二 x + y + 當(dāng)且僅當(dāng) x=券 3 時取等號.即 x=壽，7, z=誇時，x2+ y2+ z2取最小值11答案iA.最大值 9C.最大值 3b+b+a b+c+aD.最小值1 廠廠ya+/bt2C.a 1+ b 1) = ；2一 a+ b解析-+|x產(chǎn) 9.6. 已知實數(shù) a, b, c, d 滿足 a+ b+ c+ d= 3, a + 2b + 3

10、c + 6d =5,試求 a 的 最值.解由柯西不等式得，有1 1 1 ：(2b + 3c + 6d ) 2+ 3 + 6(b+ c+ d)即 2 匕2+ 3c2+ 6d2(b + c+ d)2由條件可得，5-a2 (3 - a)2解得，1wa - P(m+ n)2-2，-m+ n 一 2.當(dāng)且僅當(dāng) m= n 時取等號.o- 94- 2o-少C.1,解析1 12，32 2 2x +y1 1D.1, 4, 9(x2+ y2+ z2)( 22+ 32+ 42)92(2x+ 3y+4z)10029= 29x= 2k,當(dāng)且僅當(dāng) y= 3k,時，等號成立，則 4k + 9k+ 16k= 29k = 10

11、,z= 4k 20 x= 29，解得 k=券 y=30，選 B.4029.答案 B8.n 個正數(shù)的和與這 n 個正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是（）A.1B.n答案今2 2 2 2 210._已知實數(shù) a， b， c，d，e 滿足 a+ b+ c+ d + e=8，a + b + c + d + e= 16, 則 e 的取值范圍為.解析 4(a2+ b2+ c2+ d2)= (1+ 1+ 1+ 1)(a2+ b2+ c2+ d2)2 (a+ b+ c+ d)2即 4(16 e2)(8 e)2，即卩 64 4e264 16e+ e22165e16e0，故 0we5.答案0,節(jié)11. 已知 x，y，z R，且 x+y+z= 8，x2+ y2+ z2= 24.+、十 444求證：3x4，3y4，3z 4.證明顯然 x+ y= 8 z，(x+y)2( +y2)2o”xy=2= z 8z+ 20 x，y 是方程 t2 (8 z)t + z2 8z+ 20= 0 的兩個實根,4由 0 得 3z4,44同理可得 3 y4, 3x4.12. 設(shè) p 是厶 ABC 內(nèi)的一點，x, y, z 是 p 到三邊