彈塑性力學(xué)第十章

1、 10-7 最最小余能原理小余能原理-類似于最小（總）勢能的推導(dǎo)，可由余虛功原理導(dǎo)出最?。偅┯嗄茉?。由式 將應(yīng)變能函數(shù)表示為應(yīng)力的函數(shù) ，可得當(dāng)有虛應(yīng)力時，在邊界 上，位移分量不變，于是可把變公符號放在括號外，令 記作這個變分量，有33于是有于是有 其中與最小勢能一樣，進(jìn)一步分析可證明34所以可得到最小總余能原理最小總余能原理：在所有滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力場中，真實(shí)的應(yīng)力場對于穩(wěn)定的平衡使系統(tǒng)的總余能取最小值。物體的真實(shí)應(yīng)力場既滿足平衡方程、應(yīng)力邊界條件，又滿足變形協(xié)調(diào)條件。由最小余能原理知道，真實(shí)的應(yīng)力場滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，還滿足使總余能取最小值的條件?？梢?，最小總余能

2、原理與變形協(xié)調(diào)條件等價。通過直接變換，可由應(yīng)力變分方程導(dǎo)出變形協(xié)調(diào)方程。其附加條件為30)d)(SwpvpupUzyx() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS最小勢能原理和最小余能原理的不同點(diǎn)最小勢能原理和最小余能原理的不同點(diǎn)最小勢能原理最小勢能原理最小余能原理最小余能原理1. 最小勢能原理是位移變分原理，變分的是位移；變形變形能是位移的函數(shù)能是位移的函數(shù)。 最小余能原理是應(yīng)力變分原理，變分的是應(yīng)力；應(yīng)變應(yīng)變能實(shí)際是余能能實(shí)際是余能(在線彈性時等于應(yīng)變能），是應(yīng)力的函數(shù)。42. 最小勢能原理，體力和面力在公式中是給定的，出現(xiàn)，不變分。 最小余能原理，在這里體力一般

3、是給定的外力，不參加變分，也不出現(xiàn)，給定面力的邊界不參加變分，也不出現(xiàn)，給定位移的邊界（面力未給定）位移出現(xiàn)，但不參加變分，這部分面力出現(xiàn)，參加變分。0)d)(uszyxswpvpupU() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS53. 最小勢能原理，變分的位移應(yīng)滿足位移約束條件，得到的是應(yīng)力平衡方程和應(yīng)力邊界條件；應(yīng)力平衡方程和應(yīng)力邊界條件； 最小余能原理，變分的應(yīng)力應(yīng)當(dāng)滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，得到的是應(yīng)變協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件應(yīng)變協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。0)d)(uszyxswpvpupU() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS6

4、最小余能原理的意義最小余能原理的意義 彈性體在外力的作用下，發(fā)生位移，產(chǎn)生變形和應(yīng)力。應(yīng)力可以是各種各樣的，但必須滿足應(yīng)力的平衡條件和邊界條件。滿足應(yīng)力平衡方程和邊界條件的應(yīng)力稱為容許應(yīng)力，容許應(yīng)力也有無窮多組，其中只有一組是真實(shí)的，真實(shí)應(yīng)力，根據(jù)它們求得的應(yīng)變還應(yīng)滿足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力變協(xié)調(diào)位移邊界余余余余應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力位移邊界位移邊界變協(xié)調(diào)變協(xié)調(diào)余余余 余余余最小余能原理一特殊情況，若在物體的全部表面S上給定面力 也即只有 而無 或者位移邊界固定（變形體系無支架移動） 此時，總余能等于余應(yīng)變能。上述變分方程稱為最小功原理：若變形體的面力給定或位移邊界固定，則在所有滿足平

5、衡方程和邊界條件的應(yīng)力場中，真實(shí)的應(yīng)力場必使余應(yīng)變能取最小值。對于線彈性體，余應(yīng)變能與應(yīng)變能相等。所以上式又稱為最小應(yīng)變能定理:沒有體力而物體表面上位移給定的條件下線彈性體處于實(shí)際的彈性平衡時，應(yīng)變能最小。 最小功原理也可由卡氏定理直接得出。 10-8 10-8 最小功原理最小功原理 卡氏第二定理卡氏第二定理8Chapter 10.7假定變形體上受假定變形體上受N N個廣義力個廣義力 （ii1 1、2n2n）的作用，并認(rèn)為系）的作用，并認(rèn)為系統(tǒng)的內(nèi)力已由廣義力表示，則系統(tǒng)的總余能為統(tǒng)的內(nèi)力已由廣義力表示，則系統(tǒng)的總余能為 由最小余能原理，有由最小余能原理，有 卡氏第二定理（卡氏定理）將 代入

6、得即卡卡氏氏第二定理第二定理，它可敘述為：對于線性結(jié)構(gòu)，它的余應(yīng)變能 對任一載荷 的偏導(dǎo)數(shù)等于該載荷的位移 只要它的應(yīng)變能表達(dá)為載荷的函數(shù)。因此，此式可用來計算線性，非線性彈性桿件或構(gòu)件在外力作用處與外力相應(yīng)的位移。當(dāng) 為零時可轉(zhuǎn)化為最小功原理。9Chapter 10.7一類變量變分原理一類變量變分原理：在虛位移與最小勢能原理中，以位移分量作為：在虛位移與最小勢能原理中，以位移分量作為參與變分的獨(dú)立變量；而虛應(yīng)力原理與最小余能原理，則以應(yīng)力分參與變分的獨(dú)立變量；而虛應(yīng)力原理與最小余能原理，則以應(yīng)力分量為參與變分的獨(dú)立變量。量為參與變分的獨(dú)立變量。二類變量廣義變分原理二類變量廣義變分原理：賴斯納

7、變分原理就是把位移和應(yīng)力看作是：賴斯納變分原理就是把位移和應(yīng)力看作是獨(dú)立的變量，其結(jié)果相當(dāng)于同時滿足平衡微分方程、物理方程和應(yīng)獨(dú)立的變量，其結(jié)果相當(dāng)于同時滿足平衡微分方程、物理方程和應(yīng)力、幾何邊界條件。力、幾何邊界條件。三類變量廣義變分原理三類變量廣義變分原理：胡：胡- -鷲變分原理是把位移、應(yīng)變作為獨(dú)立變鷲變分原理是把位移、應(yīng)變作為獨(dú)立變量，它等價于彈性力學(xué)的一切基本方程和全部邊界條件。量，它等價于彈性力學(xué)的一切基本方程和全部邊界條件。這些原理是用拉氏乘子法，將條件極值問題變成無條件的駐值問題，這些原理是用拉氏乘子法，將條件極值問題變成無條件的駐值問題，是彈性力學(xué)中的最一般的變分原理，稱為是

8、彈性力學(xué)中的最一般的變分原理，稱為廣義變分原理廣義變分原理，也稱為，也稱為一一般變分原理般變分原理。最小勢能原理和最小余能原理都是條件變分原理，而賴斯變分原理最小勢能原理和最小余能原理都是條件變分原理，而賴斯變分原理和胡和胡- -鷲變分原理都是無條件變分原理。鷲變分原理都是無條件變分原理。 10-9 廣義變分原理廣義變分原理 10Chapter 10.7對于一類變量變分原理也就是由虛功（虛位移）原理導(dǎo)出的最小勢對于一類變量變分原理也就是由虛功（虛位移）原理導(dǎo)出的最小勢能原理和由余虛功（虛應(yīng)力）原理導(dǎo)出的最小余能原理稱為極值原能原理和由余虛功（虛應(yīng)力）原理導(dǎo)出的最小余能原理稱為極值原理，也稱最小

9、能原理。理，也稱最小能原理。解彈性力學(xué)問題，我們可以采用最小勢能原理，也可以用最小余能解彈性力學(xué)問題，我們可以采用最小勢能原理，也可以用最小余能原理。它們都來源于能量守恒原理。這兩個原理應(yīng)該是等效的。原理。它們都來源于能量守恒原理。這兩個原理應(yīng)該是等效的?？倓菽芎陀嗄艿臄?shù)值相等，但相差一個正負(fù)號?？倓菽芎陀嗄艿臄?shù)值相等，但相差一個正負(fù)號。變分原理之間的關(guān)系可用下圖表示：變分原理之間的關(guān)系可用下圖表示： 10-10 各變分原理之間的關(guān)系各變分原理之間的關(guān)系 化簡得111210-1110-11基于變分原理的近似解法基于變分原理的近似解法一、基于最小勢能原理的近似解法一、基于最小勢能原理的近似解法1

10、、里茨 (Ritz)法2、迦遼金 (Galerkin)法1、瑞茨 (Ritz)法先設(shè)定滿足位移邊界條件的位移分量的表達(dá)式，其中包含若干個待定的系數(shù)，再根據(jù)最小勢能原理，決定這些系數(shù)Ritz法解題步驟法解題步驟第一步第一步先找可能狀態(tài)先找可能狀態(tài)：選擇一組在邊界上滿足指定約束條件的：選擇一組在邊界上滿足指定約束條件的容許函數(shù)容許函數(shù)，把，把它們分別乘上待定常數(shù)并疊加起來，作為試驗(yàn)函數(shù)去代替真實(shí)的自變函數(shù)；它們分別乘上待定常數(shù)并疊加起來，作為試驗(yàn)函數(shù)去代替真實(shí)的自變函數(shù)；第二步第二步逼近真實(shí)狀態(tài)逼近真實(shí)狀態(tài)：調(diào)整試驗(yàn)函數(shù)中的待定常數(shù)，使?jié)M足泛函駐值條件：調(diào)整試驗(yàn)函數(shù)中的待定常數(shù)，使?jié)M足泛函駐值條件

11、0，求得逼近于真解的近似解。顯然試驗(yàn)函數(shù)選得越好，解的精度越高。，求得逼近于真解的近似解。顯然試驗(yàn)函數(shù)選得越好，解的精度越高。132、迦遼金 (Galerkin)法 瑞滋方法要求位移函數(shù)滿足位移邊界條件滋方法要求位移函數(shù)滿足位移邊界條件，如果進(jìn)一步要求根據(jù)位移函數(shù)求得的應(yīng)力還滿足應(yīng)力邊界條件，公式還可以簡化，這種方法稱為伽遼金方法伽遼金方法。Galerkin 方法的基本思想方法的基本思想在域內(nèi)并不處處滿足平衡方程，代入平衡方程后，右端將出現(xiàn)在域內(nèi)并不處處滿足平衡方程，代入平衡方程后，右端將出現(xiàn)非零的殘量。非零的殘量。調(diào)整試驗(yàn)函數(shù)中的待定參數(shù)，使殘量與某些權(quán)函數(shù)之積在整個調(diào)整試驗(yàn)函數(shù)中的待定參數(shù)，使殘量與某些權(quán)函數(shù)之積在整個域上的積分值等于零域上的積分值等于零 (或者說，要求殘量在域上與某些權(quán)函數(shù)或者說，要求殘量在域上與某些權(quán)函數(shù)正交正交)，就能得到合理的近似解。，就能得到合理的近似解。14n 迦遼金迦遼金 (Galerkin) 法是加權(quán)殘量法的一種特殊形法是加權(quán)殘量法的一種特殊形式。它也可以處理不存在泛函的一類微分方程的邊值式。它也可以處理不存在泛函的一類微分方程的邊值問題，適用范圍比里茨法廣，但對存在泛函的彈性保問題，適用范圍比里茨法廣，但對存在泛函的彈性保守系統(tǒng)來說里茨法更為實(shí)用。守系統(tǒng)來說里茨法更為實(shí)用。n 里茨法僅要求試驗(yàn)函數(shù)滿足