彈塑性力學(xué)第十章

1、 10-7 最最小余能原理小余能原理-類似于最?。偅﹦菽艿耐茖?dǎo)，可由余虛功原理導(dǎo)出最?。偅┯嗄茉怼Ｓ墒?將應(yīng)變能函數(shù)表示為應(yīng)力的函數(shù) ，可得當(dāng)有虛應(yīng)力時，在邊界 上，位移分量不變，于是可把變公符號放在括號外，令 記作這個變分量，有33于是有于是有 其中與最小勢能一樣，進一步分析可證明34所以可得到最小總余能原理最小總余能原理：在所有滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力場中，真實的應(yīng)力場對于穩(wěn)定的平衡使系統(tǒng)的總余能取最小值。物體的真實應(yīng)力場既滿足平衡方程、應(yīng)力邊界條件，又滿足變形協(xié)調(diào)條件。由最小余能原理知道，真實的應(yīng)力場滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，還滿足使總余能取最小值的條件?？梢?，最小總余能

2、原理與變形協(xié)調(diào)條件等價。通過直接變換，可由應(yīng)力變分方程導(dǎo)出變形協(xié)調(diào)方程。其附加條件為30)d)(SwpvpupUzyx() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS最小勢能原理和最小余能原理的不同點最小勢能原理和最小余能原理的不同點最小勢能原理最小勢能原理最小余能原理最小余能原理1. 最小勢能原理是位移變分原理，變分的是位移；變形變形能是位移的函數(shù)能是位移的函數(shù)。 最小余能原理是應(yīng)力變分原理，變分的是應(yīng)力；應(yīng)變應(yīng)變能實際是余能能實際是余能(在線彈性時等于應(yīng)變能），是應(yīng)力的函數(shù)。42. 最小勢能原理，體力和面力在公式中是給定的，出現(xiàn)，不變分。 最小余能原理，在這里體力一般

3、是給定的外力，不參加變分，也不出現(xiàn)，給定面力的邊界不參加變分，也不出現(xiàn)，給定位移的邊界（面力未給定）位移出現(xiàn)，但不參加變分，這部分面力出現(xiàn)，參加變分。0)d)(uszyxswpvpupU() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS53. 最小勢能原理，變分的位移應(yīng)滿足位移約束條件，得到的是應(yīng)力平衡方程和應(yīng)力邊界條件；應(yīng)力平衡方程和應(yīng)力邊界條件； 最小余能原理，變分的應(yīng)力應(yīng)當(dāng)滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，得到的是應(yīng)變協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件應(yīng)變協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。0)d)(uszyxswpvpupU() ddd() d0 xyzUXuYvZwxyzp up vp wS6

4、最小余能原理的意義最小余能原理的意義 彈性體在外力的作用下，發(fā)生位移，產(chǎn)生變形和應(yīng)力。應(yīng)力可以是各種各樣的，但必須滿足應(yīng)力的平衡條件和邊界條件。滿足應(yīng)力平衡方程和邊界條件的應(yīng)力稱為容許應(yīng)力，容許應(yīng)力也有無窮多組，其中只有一組是真實的，真實應(yīng)力，根據(jù)它們求得的應(yīng)變還應(yīng)滿足協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力變協(xié)調(diào)位移邊界余余余余應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力位移邊界位移邊界變協(xié)調(diào)變協(xié)調(diào)余余余 余余余最小余能原理一特殊情況，若在物體的全部表面S上給定面力 也即只有 而無 或者位移邊界固定（變形體系無支架移動） 此時，總余能等于余應(yīng)變能。上述變分方程稱為最小功原理：若變形體的面力給定或位移邊界固定，則在所有滿足平

5、衡方程和邊界條件的應(yīng)力場中，真實的應(yīng)力場必使余應(yīng)變能取最小值。對于線彈性體，余應(yīng)變能與應(yīng)變能相等。所以上式又稱為最小應(yīng)變能定理:沒有體力而物體表面上位移給定的條件下線彈性體處于實際的彈性平衡時，應(yīng)變能最小。 最小功原理也可由卡氏定理直接得出。 10-8 10-8 最小功原理最小功原理 卡氏第二定理卡氏第二定理8Chapter 10.7假定變形體上受假定變形體上受N N個廣義力個廣義力 （ii1 1、2n2n）的作用，并認為系）的作用，并認為系統(tǒng)的內(nèi)力已由廣義力表示，則系統(tǒng)的總余能為統(tǒng)的內(nèi)力已由廣義力表示，則系統(tǒng)的總余能為 由最小余能原理，有由最小余能原理，有 卡氏第二定理（卡氏定理）將 代入

6、得即卡卡氏氏第二定理第二定理，它可敘述為：對于線性結(jié)構(gòu)，它的余應(yīng)變能 對任一載荷 的偏導(dǎo)數(shù)等于該載荷的位移 只要它的應(yīng)變能表達為載荷的函數(shù)。因此，此式可用來計算線性，非線性彈性桿件或構(gòu)件在外力作用處與外力相應(yīng)的位移。當(dāng) 為零時可轉(zhuǎn)化為最小功原理。9Chapter 10.7一類變量變分原理一類變量變分原理：在虛位移與最小勢能原理中，以位移分量作為：在虛位移與最小勢能原理中，以位移分量作為參與變分的獨立變量；而虛應(yīng)力原理與最小余能原理，則以應(yīng)力分參與變分的獨立變量；而虛應(yīng)力原理與最小余能原理，則以應(yīng)力分量為參與變分的獨立變量。量為參與變分的獨立變量。二類變量廣義變分原理二類變量廣義變分原理：賴斯納

7、變分原理就是把位移和應(yīng)力看作是：賴斯納變分原理就是把位移和應(yīng)力看作是獨立的變量，其結(jié)果相當(dāng)于同時滿足平衡微分方程、物理方程和應(yīng)獨立的變量，其結(jié)果相當(dāng)于同時滿足平衡微分方程、物理方程和應(yīng)力、幾何邊界條件。力、幾何邊界條件。三類變量廣義變分原理三類變量廣義變分原理：胡：胡- -鷲變分原理是把位移、應(yīng)變作為獨立變鷲變分原理是把位移、應(yīng)變作為獨立變量，它等價于彈性力學(xué)的一切基本方程和全部邊界條件。量，它等價于彈性力學(xué)的一切基本方程和全部邊界條件。這些原理是用拉氏乘子法，將條件極值問題變成無條件的駐值問題，這些原理是用拉氏乘子法，將條件極值問題變成無條件的駐值問題，是彈性力學(xué)中的最一般的變分原理，稱為是

8、彈性力學(xué)中的最一般的變分原理，稱為廣義變分原理廣義變分原理，也稱為，也稱為一一般變分原理般變分原理。最小勢能原理和最小余能原理都是條件變分原理，而賴斯變分原理最小勢能原理和最小余能原理都是條件變分原理，而賴斯變分原理和胡和胡- -鷲變分原理都是無條件變分原理。鷲變分原理都是無條件變分原理。 10-9 廣義變分原理廣義變分原理 10Chapter 10.7對于一類變量變分原理也就是由虛功（虛位移）原理導(dǎo)出的最小勢對于一類變量變分原理也就是由虛功（虛位移）原理導(dǎo)出的最小勢能原理和由余虛功（虛應(yīng)力）原理導(dǎo)出的最小余能原理稱為極值原能原理和由余虛功（虛應(yīng)力）原理導(dǎo)出的最小余能原理稱為極值原理，也稱最小

9、能原理。理，也稱最小能原理。解彈性力學(xué)問題，我們可以采用最小勢能原理，也可以用最小余能解彈性力學(xué)問題，我們可以采用最小勢能原理，也可以用最小余能原理。它們都來源于能量守恒原理。這兩個原理應(yīng)該是等效的。原理。它們都來源于能量守恒原理。這兩個原理應(yīng)該是等效的?？倓菽芎陀嗄艿臄?shù)值相等，但相差一個正負號。總勢能和余能的數(shù)值相等，但相差一個正負號。變分原理之間的關(guān)系可用下圖表示：變分原理之間的關(guān)系可用下圖表示： 10-10 各變分原理之間的關(guān)系各變分原理之間的關(guān)系 化簡得111210-1110-11基于變分原理的近似解法基于變分原理的近似解法一、基于最小勢能原理的近似解法一、基于最小勢能原理的近似解法1

10、、里茨 (Ritz)法2、迦遼金 (Galerkin)法1、瑞茨 (Ritz)法先設(shè)定滿足位移邊界條件的位移分量的表達式，其中包含若干個待定的系數(shù)，再根據(jù)最小勢能原理，決定這些系數(shù)Ritz法解題步驟法解題步驟第一步第一步先找可能狀態(tài)先找可能狀態(tài)：選擇一組在邊界上滿足指定約束條件的：選擇一組在邊界上滿足指定約束條件的容許函數(shù)容許函數(shù)，把，把它們分別乘上待定常數(shù)并疊加起來，作為試驗函數(shù)去代替真實的自變函數(shù)；它們分別乘上待定常數(shù)并疊加起來，作為試驗函數(shù)去代替真實的自變函數(shù)；第二步第二步逼近真實狀態(tài)逼近真實狀態(tài)：調(diào)整試驗函數(shù)中的待定常數(shù)，使?jié)M足泛函駐值條件：調(diào)整試驗函數(shù)中的待定常數(shù)，使?jié)M足泛函駐值條件

11、0，求得逼近于真解的近似解。顯然試驗函數(shù)選得越好，解的精度越高。，求得逼近于真解的近似解。顯然試驗函數(shù)選得越好，解的精度越高。132、迦遼金 (Galerkin)法 瑞滋方法要求位移函數(shù)滿足位移邊界條件滋方法要求位移函數(shù)滿足位移邊界條件，如果進一步要求根據(jù)位移函數(shù)求得的應(yīng)力還滿足應(yīng)力邊界條件，公式還可以簡化，這種方法稱為伽遼金方法伽遼金方法。Galerkin 方法的基本思想方法的基本思想在域內(nèi)并不處處滿足平衡方程，代入平衡方程后，右端將出現(xiàn)在域內(nèi)并不處處滿足平衡方程，代入平衡方程后，右端將出現(xiàn)非零的殘量。非零的殘量。調(diào)整試驗函數(shù)中的待定參數(shù)，使殘量與某些權(quán)函數(shù)之積在整個調(diào)整試驗函數(shù)中的待定參數(shù)，使殘量與某些權(quán)函數(shù)之積在整個域上的積分值等于零域上的積分值等于零 (或者說，要求殘量在域上與某些權(quán)函數(shù)或者說，要求殘量在域上與某些權(quán)函數(shù)正交正交)，就能得到合理的近似解。，就能得到合理的近似解。14n 迦遼金迦遼金 (Galerkin) 法是加權(quán)殘量法的一種特殊形法是加權(quán)殘量法的一種特殊形式。它也可以處理不存在泛函的一類微分方程的邊值式。它也可以處理不存在泛函的一類微分方程的邊值問題，適用范圍比里茨法廣，但對存在泛函的彈性保問題，適用范圍比里茨法廣，但對存在泛函的彈性保守系統(tǒng)來說里茨法更為實用。守系統(tǒng)來說里茨法更為實用。n 里茨法僅要求試驗函數(shù)滿足