金融衍生工具計算題

1、套利案例套利案例 假設(shè)現(xiàn)有6個月即期利率為10%，一年期即期率12%，如果有人把今后6個月到1年期的遠期利率定位11%，試問這樣的市場行情是否產(chǎn)生套利機會？ 套利過程套利過程：1、套利者按10%的利率借入一筆6個月資金1000萬元2、簽訂一份遠期利率協(xié)議，該協(xié)議規(guī)定套利者可以按11%利率6個月后從市場借入資金1000 萬元（1051萬元）；3、按12%的利率貸出一筆一年期的款項金額1000萬元4、一年后收回貸款本息1000 （1127萬元），并用1051 （ 1110萬元）償還一年期債務(wù)后，交易者凈賺17萬元，即 1127-1110=17（萬元） 0.11 0.5e0.12 1e0.100.5

2、e一、二章無收益資產(chǎn)遠期協(xié)議的定價無收益資產(chǎn)遠期協(xié)議的定價 所謂無收益資產(chǎn)即為到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)。所謂無收益資產(chǎn)即為到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)。 基本思路基本思路：構(gòu)建兩種投資組合，讓其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等。 組合構(gòu)建如下： A A組組：一份遠期協(xié)議多頭加上一筆數(shù)額為 現(xiàn)金 B B組組：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。在組合A中， 以無風(fēng)險利率投資，投資期限為(T-t)，在T時刻，其金額為K。（ ).在遠期協(xié)議到期時，這筆資金剛好可以用來認(rèn)購一單位標(biāo)的資產(chǎn)。即這兩組合在T時刻具有相同的價值。根據(jù)無套利原理，這兩組合在t時刻的價值必相等。即式中f為遠期協(xié)議t時刻的價值，s為標(biāo)的資產(chǎn)在t時刻價格。(

3、)r T tKe()r TtKe()()r Ttr TtKeeK()r T tfKeS結(jié)論：無收益資產(chǎn)遠期協(xié)議的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割結(jié)論：無收益資產(chǎn)遠期協(xié)議的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。價格現(xiàn)值的差額。遠期合約合理價格即為合約初始價值為零的交割價遠期合約合理價格即為合約初始價值為零的交割價格，即：格，即： 式中 即為遠期協(xié)議無套利條件下的理論價格。例例: :假設(shè)市場上有以不支付紅利的股票為標(biāo)的的期貨合約，合約在三個月后到期。當(dāng)前股票價格為20元，3個月的無風(fēng)險利率為4%，那么該合約的合理定價是多少？根據(jù)上式有：()r TtFSeF0.04 3/122020.2(Fe

4、元）支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期協(xié)議的定價支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期協(xié)議的定價 一般方法：一般方法：設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)在（設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)在（0，T）期限內(nèi)有）期限內(nèi)有D的收益，該收益的現(xiàn)的收益，該收益的現(xiàn)值為值為首先構(gòu)建如下兩個組合：首先構(gòu)建如下兩個組合：組合組合A：購買一單位：購買一單位 的標(biāo)的資產(chǎn)期貨合約，并同時購的標(biāo)的資產(chǎn)期貨合約，并同時購買買 無風(fēng)險資產(chǎn)；即該組合原始投入為無風(fēng)險資產(chǎn)；即該組合原始投入為組合組合B：在：在0時刻購買一單位價格為時刻購買一單位價格為 的標(biāo)的資產(chǎn)的標(biāo)的資產(chǎn) 并且持有，并且持有， 借入的現(xiàn)金借入的現(xiàn)金 并用標(biāo)的資產(chǎn)收益去償還。并用標(biāo)的資產(chǎn)收益去償還。即該組合原始投入為即該組合原

5、始投入為由于這兩組合具有相同的終值由于這兩組合具有相同的終值 ，其初始成本相等。，其初始成本相等。 故故 1=rtI DerTF eFSTSSI,()rTrTFeSIFSI e所 以 有 rTFeI例：例：1 1單位股票即期價格為單位股票即期價格為1010元，并且元，并且3 3個月后將有個月后將有1 1元的收益。無風(fēng)險利率為元的收益。無風(fēng)險利率為3%3%。那么。那么6 6個月后交割的個月后交割的此股票的合約價格是多少？此股票的合約價格是多少？ 解：據(jù)條件可知：0.03 1/40.03 1/2100.99259.15SeerT元；r=0.03; T=1/2;I=1（元）； 即求解 F=?根據(jù)公式

6、 F=(S-I)e 得 F=(10-0.9925)（元）轉(zhuǎn)換因子及其計量轉(zhuǎn)換因子及其計量 轉(zhuǎn)換因子：單位國債面值按標(biāo)準(zhǔn)債券率（每半年復(fù)利轉(zhuǎn)換因子：單位國債面值按標(biāo)準(zhǔn)債券率（每半年復(fù)利一次）貼現(xiàn)到交割月第一天的價值。一次）貼現(xiàn)到交割月第一天的價值。 例：某長期國債息票利率為例：某長期國債息票利率為14%14%，剩余期限還有，剩余期限還有1818年。年。試問相應(yīng)的轉(zhuǎn)換因子是多少？試問相應(yīng)的轉(zhuǎn)換因子是多少？363607100163.731.041.04iizz解：設(shè)所求轉(zhuǎn)換因子為,根據(jù)條件可得：（美元）即符合本題假設(shè)條件，面值為100美元長期國債的轉(zhuǎn)換因子應(yīng)是163.73美元。確定交割最合算的債券確

7、定交割最合算的債券 交割最合算債券即為購買交割債券的成本與空方收到的現(xiàn)金之差最小的那個債券。交割最合算債券即為購買交割債券的成本與空方收到的現(xiàn)金之差最小的那個債券。 一般方法：一般方法：1、計算交割差距、計算交割差距C：C=債券報價債券報價+應(yīng)計利息應(yīng)計利息-期貨報價期貨報價轉(zhuǎn)換因子轉(zhuǎn)換因子+應(yīng)計利息應(yīng)計利息=債券報價債券報價-期貨報價期貨報價轉(zhuǎn)換因子轉(zhuǎn)換因子例：若期貨報價為例：若期貨報價為93-16，即，即93.50美元，可供空頭選擇用于交割的美元，可供空頭選擇用于交割的3種國債的報價和轉(zhuǎn)換因子以種國債的報價和轉(zhuǎn)換因子以及相應(yīng)交割差距計算結(jié)果如下表列示：及相應(yīng)交割差距計算結(jié)果如下表列示： 2

8、、比較，選擇交割差距最小者；、比較，選擇交割差距最小者； 顯然，交割最合算的國債是國債顯然，交割最合算的國債是國債2國債報價轉(zhuǎn)換因子交割差距1144.50151.86144.5-93.51.5186=2.51092120.00126.14120-93.51.2614=2.0591399.80103.8099.8-93.51.038=2.747例：設(shè)已知某國債期貨最合算交割券是息票利率為例：設(shè)已知某國債期貨最合算交割券是息票利率為14%14%，轉(zhuǎn)換因子為，轉(zhuǎn)換因子為1.36501.3650的國債現(xiàn)的國債現(xiàn)貨報價是貨報價是118118元，該國債期貨的交割日為元，該國債期貨的交割日為270270天后

9、。該債券上一次付息是天后。該債券上一次付息是6060天前，下天前，下一次付息是在一次付息是在122122天后，再下一次付息是在天后，再下一次付息是在305305天后，市場任何期限的無風(fēng)險利率均天后，市場任何期限的無風(fēng)險利率均為為10%10%（連續(xù)復(fù)利），那么該國債的理論價格是多少？（連續(xù)復(fù)利），那么該國債的理論價格是多少？解：解：1、交割券現(xiàn)金價格為：、交割券現(xiàn)金價格為：118+760/182=120.308(美元）；美元）；2、先計算、先計算I.由于期貨的有效期內(nèi)只有一次付息，是在由于期貨的有效期內(nèi)只有一次付息，是在122天（天（0.3342年）后年）后支付支付7美元利息因此利息的現(xiàn)值為：美

10、元利息因此利息的現(xiàn)值為：由于該期貨合約的有效期還有由于該期貨合約的有效期還有270天（天（0.7397年），那么該交割券期貨的理論年），那么該交割券期貨的理論上的現(xiàn)金價格為：上的現(xiàn)金價格為：3、計算交割券理論報價。由于交割時，交割券還有、計算交割券理論報價。由于交割時，交割券還有148天（天（270-122）的累）的累計利息，而該付息總天數(shù)為計利息，而該付息總天數(shù)為183天（天（305-122），故該交割券的理論報價為：），故該交割券的理論報價為： 121.178-7148/183=115.5168（美元）（美元）4、標(biāo)準(zhǔn)債券的期貨報價為：、標(biāo)準(zhǔn)債券的期貨報價為： 115.1568/1.365

11、0=84.628,或或84-200.3342 0.176.770Ie（美元）0.7397 0.1(120.308-6.770121.178Fe）（美元）支付已知收益率資產(chǎn)遠期協(xié)議的定價支付已知收益率資產(chǎn)遠期協(xié)議的定價 首先構(gòu)建以下兩個組合：組合A：一份遠期協(xié)議多頭加上一筆數(shù)額為的 現(xiàn)金；組合B： 單位標(biāo)的資產(chǎn)并且所有收入投資于該資產(chǎn)，其中q為該資產(chǎn)按復(fù)利計算的已知收益率。顯然，組合A在 時刻的價值等于一單位的證券； 組合B在 時刻正好擁有一單位證券。故，在初始時刻兩者的價值也應(yīng)相等，即有下列等式成立：()rTtK e()()()()()(),0r Ttq Ttq Ttr TtrqTtfKeSe

12、fSeKeffFSe即為遠期協(xié)議多頭價值 由 ， 可得我們所需要的定價解析式： TT()q Tte已知收益率資產(chǎn)遠期或期貨合約定價方法的應(yīng)用已知收益率資產(chǎn)遠期或期貨合約定價方法的應(yīng)用 應(yīng)用一：外匯遠期或期貨的定價應(yīng)用一：外匯遠期或期貨的定價外匯屬于支付已知收益率的資產(chǎn)，其收益率可認(rèn)定是外匯發(fā)外匯屬于支付已知收益率的資產(chǎn)，其收益率可認(rèn)定是外匯發(fā)行國連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率。由公式：行國連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率。由公式： 上述公式即為國際金融領(lǐng)域著名的利率平價關(guān)系上述公式即為國際金融領(lǐng)域著名的利率平價關(guān)系 利差決定匯差。利差決定匯差。 ()(),r q T tFSeq其中的 可認(rèn)定為外匯發(fā)行國無風(fēng)險利率。

13、顯然有以下結(jié)論：若rq, 外匯的遠期或期貨價格價格大于或等于現(xiàn)匯價格若rq, 外匯的遠期或期貨價格小于現(xiàn)匯價格 指數(shù)期貨定價案例指數(shù)期貨定價案例 假設(shè)2007年3月1日，標(biāo)準(zhǔn)普爾股票價格指數(shù)價格是3000美元，連續(xù)紅利收益率為3.5%，無風(fēng)險利率為8%，那么這時一份6個月到期的股指期貨的價格是多少？解：連續(xù)紅利收益率可以理解為股指對應(yīng)的投資組合在相應(yīng)期限內(nèi)的已知收益率。那么由定價公式得： (8% 3.5%)(8/12 2/12)30003068.27Fe（美元）注：時間是3月1日至9月1日，即T-t可以理解為8/12-2/12.即期利率與遠期利率的關(guān)系即期利率與遠期利率的關(guān)系 由無套利定價原理

14、可得下列公式：1121()()()1111212111,r)1()()()()()r TTrTtr TteeeTT rTr Ttr TTr Ttr Ttr TtTT211（ ）其中，為(t,T)時間段內(nèi)的即期利率，為（t,時間段內(nèi)的即期利率，r即為所求解的遠期利率。由公式（ ）可得：(2)由公式（2）整理可得：r(3)例：假設(shè)例：假設(shè)2 2年即期利率為年即期利率為10.5%,310.5%,3年即期利率為年即期利率為11%11%，本金為，本金為100100萬萬元元2 2年年3 3年遠期利率協(xié)議的合同利率為年遠期利率協(xié)議的合同利率為11%11%，請問該遠期利率協(xié)，請問該遠期利率協(xié)議的價值和理論上的

15、合約利率是多少？議的價值和理論上的合約利率是多少？ 解：設(shè)所求利率為 ,由即期利率與遠期理論價格關(guān)系式 得： =(0.1130.1052)/(3 2)=12.0%11()()()0.105 (2 0)(0.11 0.12)(3 2)(1)100(1)8065.31krrTTr TtfAeefee根據(jù)公式 得： （元）故該遠期利率協(xié)議多頭的價值是8065.31元1r1r211()()rTtr TtTT1r首先，達成互換可能性分析首先，達成互換可能性分析第三章其次，操作過程與各自所承擔(dān)的利率水平其次，操作過程與各自所承擔(dān)的利率水平再次，金融機構(gòu)介入下的互換效益瓜分再次，金融機構(gòu)介入下的互換效益瓜分

16、浮動利率債券價值的確定：浮動利率債券價值的確定： 設(shè)一年期浮動利率債券，利息以LIBOR按季度來支付，假設(shè)每季度有90天，債券面值為1元。在0時刻90天期的LIBOR利率記為 ，90天之后，90天期的LIBOR利率記為 ， 分別是180天和270天之后的90天期的LIBOR利率。當(dāng)然，只有 在一開始是知道的。 債券到期日的支付額，即第360天所得到的支付，其值為本金加最后90天按 所計的利息之和。 現(xiàn)在回到第270天來計算將來得到支付額的現(xiàn)值。我們將 用一個適當(dāng)?shù)馁N現(xiàn)率即 來貼現(xiàn)，顯然可得： 即，該浮動利率債券在第270天價值等于其面值。繼續(xù)上面的步驟直到0時刻，可以看到浮動利率債券的價值在任

17、意一個支付日以及初始日期都等于其面值。結(jié)論：1、如果息票率相對于LIBOR沒有溢價，那么上述結(jié)果永遠成立； 2、浮動利率債券可以設(shè)計成使其價值等于或接近于其面值。0(90)l90(90)l1 8 02 7 0(9 0 )(9 0 )ll和0(90)l270(90)l2 7 09 01( 9 0 )3 6 0l270(90)l270270901+(90)360270=1901+(90)360ll在第天時的債券現(xiàn)值例：假設(shè)某金融機構(gòu)同一支付例：假設(shè)某金融機構(gòu)同一支付6 6個月期個月期LIBORLIBOR，每年收取，每年收取8%8%（半年復(fù)利）的利息，名義本金為（半年復(fù)利）的利息，名義本金為1001

18、00億美元。該互換還有億美元。該互換還有1.251.25年時間到期。按連續(xù)復(fù)利計算的年時間到期。按連續(xù)復(fù)利計算的3 3個月期、個月期、6 6個月期及個月期及1515個月期的相關(guān)貼現(xiàn)率分別為個月期的相關(guān)貼現(xiàn)率分別為10%10%、10.5%10.5%和和11%11%。上一支付日。上一支付日6 6個月期的個月期的LIBORLIBOR為為10.2%10.2%，試問該互換的價值是多少？，試問該互換的價值是多少？ 解：*31.25 0.1110.1 0.250.105 0.750.11 1.250.1 0.254,5.14410498.24(100 5.1)102.5198.24 102.514.27i

19、irtfixifixflfixflKKBKeLeBeeeBeBB根據(jù)已知條件可得億美元億美元，且有，故有（億美元）（億美元），因此，該互換價值為：（億美元）運用遠期利率協(xié)議對利率互換定價運用遠期利率協(xié)議對利率互換定價 即將互換的價值視為一系列遠期利率協(xié)議價值的貼現(xiàn)值之和。即只要知道組成利率互換的每筆遠期利率的價值，便可計算出利率互換的價值。承接上例，前三個月現(xiàn)金流為8%的利率與10.2%的利率互換，對金融機構(gòu)而言，交換價值為：0.1 0.250.105 0.750.5 1000.8-1.021.07911.04%90.5 1000.8-11.041.411512.102%-ee（）（億美元）對

20、于 個月期的交換價值，半年復(fù)利的利率為。因此，個月期的遠期利率協(xié)議的價值為：（）（億美元）同理，對于 個月期的交換價值，由于其半年復(fù)利利率為，相應(yīng)的遠期利率協(xié)議的價值為1.79億美元，故其利率交換價值為：-1.07-1.41-1.79=-4.27(億美元）請思考例題中的遠期利率是如何求解的？說明：年利息率與年復(fù)利利率的關(guān)系說明：年利息率與年復(fù)利利率的關(guān)系 設(shè) 因此，根據(jù)上例條件：/(1)1(1)ccccmR nRnmmRmmmARRnAeARReRmRm e如果本金為 ，年存款利率為 ，年復(fù)利利率為，存續(xù) 年，則應(yīng)由下列等式成立： 或者 若可分 次計息，則有 例：假設(shè)在美國和日本例：假設(shè)在美國

21、和日本LIBORLIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是水平的，在日本是利率的期限結(jié)構(gòu)是水平的，在日本是4%4%而而在美國是在美國是9%9%（均是連續(xù)復(fù)利）。某一金融機構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收（均是連續(xù)復(fù)利）。某一金融機構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利率為入日元，利率為5%5%，同時付出美元，利率為，同時付出美元，利率為8%8%。兩種貨幣本金分別為。兩種貨幣本金分別為10001000萬美元和萬美元和120000120000萬日元。這筆互換還有萬日元。這筆互換還有3 3年期限，即期匯率為年期限，即期匯率為1 1美元美元=110=110日元日元. .如果以美元為本幣，其互換價值是多少？如果以美元為本幣，其互換

22、價值是多少？解：0.09 10.09 20.09 30.04 10.04 20.04 380801080964.4()60006000126000123055()1123055964.4154.3()110DFHBeeeBeeeV根據(jù)條件可得：萬美元萬日元故對收入日元支出美元一方其互換價值為：萬美元顯然，對支付日元收入美元一方其互換價值則為-154.3萬美元。貨幣互換的定價貨幣互換的定價運用遠期組合方法定價 貨幣互換中每一次支付都可以用一筆遠期外匯協(xié)議的現(xiàn)金流來代替。因此貨幣互換定價問題可轉(zhuǎn)換為分解貨幣互換中每一次支付都可以用一筆遠期外匯協(xié)議的現(xiàn)金流來代替。因此貨幣互換定價問題可轉(zhuǎn)換為分解出來

23、的每筆遠期外匯協(xié)議的價值計量問題。出來的每筆遠期外匯協(xié)議的價值計量問題。 根據(jù)上例條件，即期匯率根據(jù)上例條件，即期匯率1美元美元=110日元，或日元，或1日元日元=0.009091美元。美元。) ()( 0 . 0 90 . 0 4 )1( 0 . 0 90 . 0 4 )2( 0 . 0 90 . 0 4 )30 . 0 911230 . 0 0 9 0 9 10 . 0 0 9 5 5 70 . 0 0 9 0 9 10 . 0 1 0 0 4 70 . 0 0 9 0 9 10 . 0 1 0 5 6 2( 8 06 0 0 00 . 0 0 9 5 5 7 )2 0 . 7 1 ()(

24、 8 06 0 0 00 . 0 1 0 0 4frrTtFS eeeee根據(jù)， 年期、 年期、 年期的遠期匯率分別為：對應(yīng)的三份遠期協(xié)議的價值分別為：萬美元0 . 0 920 . 0 930 . 0 937 )1 6 . 4 7 ()( 8 06 0 0 00 . 0 1 0 5 6 2 )1 2 . 6 9 ()(1 0 0 01 2 0 0 0 00 . 0 1 0 5 6 2 )2 0 1 . 4 6 ()2 0 . 7 1 + 1 6 . 4 7 + 1 2 . 6 9 +=eee萬美元萬美元最終的本金交換等價的遠期合約的價值為：萬美元該筆收美元付日元一方互換價值為：（- 2 0 1 . 4 6 ）- 1 5 4 . 3 ( 萬美元）故與運用債券組合方法定價結(jié)果一致。寶潔與信孚的兩份利率互換協(xié)議寶潔與信孚的兩份利率互換協(xié)議 1993年年10月