2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.4基本不等式及其應(yīng)用教師用書理新人教版

1、若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)0,b0.(2) 等號成立的條件：當且僅當ab時取等號.2 幾個重要的不等式2 2(1)a+b2ab(a,bR).b ara+62(a,b同號).以上不等式等號成立的條件均為a=b.3 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a+bt設(shè)a0,b0,貝U a,b的算術(shù)平均數(shù)為 一廠，幾何平均數(shù)為，ab,基本不等式可敘述為兩個 正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4利用基本不等式求最值問題已知x0,y0,則(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時，x+y有最小值 2p.(簡記：積定和最小)2P如果和x+y是定值p,那么當且僅當x=y時，

2、xy有最大值.(簡記：和定積最大)【知識拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立問題(1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)A在區(qū)間D上恒成立？f(X)minA(XD；若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f(x)B在區(qū)間D上恒成立?f(x)maB(xD).bR).(a,b R).若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)A成立?f(X)maA(XD；3f(X)D).恰成立問題：不等式f(x)A恰在區(qū)間D上成立？f(x)A的解集為 D; 不等式f(x)B恰在區(qū)間D上成立？f(x)0 且y0”是“x+y 2”的充要條件.(X)y x若a0,則a

3、3+ 2 的最小值為 2a.(X)a22a+bj不等式a+b2ab與廠,ab有相同的成立條件.(X)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.(V)1.(教材改編)設(shè)x0,y0，且x+y= 18,則xy的最大值為()A.80 B . 77 C . 81 D . 82答案 C解析 /x0,y0,.xyxy,x+y2即xy(亍)=81,當且僅當x=y= 9 時，(xy)max= 81.12 .已知f(x) =x+ -2(x0,b0,且a+b= 4,則下列考點自測4不等式恒成立的是()11BE15C.ab2D.a2+b28答案D解析1 14 a+b2ab(當且僅當ab時，等號成立)，即、;abw2，a

4、bw4，_b4，選項A?11a+b4222C 不成立；a+b=ab=ab 1，選項 B 不成立；a+b= (a+b) 2ab= 16 2ab8,選項 D成立.4._ (教材改編)已知x,y均為正實數(shù)，且x+ 4y= 1,則xy的最大值為 _ .答案1解析1 x+ 4y24xy4xy，121-xyw(4)=花,5.(教材改編)若把總長為 20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是 _2m.答案 25解析 設(shè)矩形的一邊為xm，1 則另一邊為 2X(20 2x) = (10 x)m，x+1 0 x2y=x(10 x) 2=25，當且僅當x= 10 x，即x= 5 時，ymax= 25.

5、題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一利用基本不等式求最值命題點 1 通過配湊法利用基本不等式例 1(1)已知 0 x1，則x(4 3x)取得最大值時x的值為_51已知x1)的最小值為 _ .當且僅當1時，(Xy)max=祜.1x= 4y= ，即6x 172答案3 (2)1(3)22+ 2113x+ 4 3x24解析(1)x(4 3x) =(3x)(4 3x) 3 2 = 3,2當且僅當 3x= 4 3x,即x=-時，取等號.35(2)因為x0,則f(x)=4x2+4x=(54x+5)+3W2+3=1.1當且僅當5-4x=5x，即x=1時，等號成立.1故f（x）=4x-2+廠的最大值為 j2

6、cx+2(3)y=2x2x+1+2x+3x1X-1+x-1+ 3x 1=(x 1) +3廠當且僅當（x 1） =x ，即卩x= 3 + 1 時，等號成立.命題點 2 通過常數(shù)代換法利用基本不等式1 1 例 2 已知a0,b0,a+b= 1,一+的最小值為a b答案 4解析/a0,b0,a+b= 1,1 1a+b a+bb a._+_=+ = 2+ _+ _a ba ba b/ba1 112+ 2= 4,即-+二的最小值為 4,當且僅當a=b=;時等號成立. a ba b2引申探究1 11條件不變，求（1 + ?（1 +6）的最小值.”11a+b a+bba解(1 + ?(1 + p = (1

7、+盲)(1 +)=(2 +a) (2 + pb a=5+2(a+b)5+4=9.+ 2.81當且僅當a=b= 2 時，取等號2.已知a0,b0,】+ b-= 4,求a+b的最小值.a b11 11解由a+b=4，得 4a+4b=1 2 a+b=(+丄)(a+b)=1+ ? +煞1+2y4b島=1.4a4b24a4b24a4b1當且僅當a=b= 2 時取等號.1 13 將條件改為a+ 2b= 3,求；+匚的最小值.a b解/a+ 2b= 3,1 2 3a+ 3b=1，11111212a2ba+b=(a+b)(3a+3b)= 3+ 3+祐 + 亦芋=1+邁3b3a3 -a=2b時，取等號.(1)應(yīng)

8、用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定” “三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“相等”是指滿足等號成立的條件.(2) 在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式， 然后再利用基本不等式.(3) 條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形， 利用常數(shù)“ 1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值.跟蹤訓(xùn)練 1(1)若正數(shù)x,y滿足x+ 3y= 5xy，則 3x+ 4y的最小值是 _ .已知x

9、,y (0，+), 2x3= (2)y，若1+mm0)的最小值為 3,貝Um=_.2x y答案(1)5(2)413解析方法一 由x+ 3y= 5xy可得= 1,5y5x9+4+ 3X+12y 13+12133x+ 4y= (3x+ 4y)(5+ 辰) 1+ 2當且僅當思維升華5.95 5 5y5x553x12y1當且僅當而=ix，即x=i，y=2時，等號成立,3x+ 4y 的最小值是 5.3y方法二 由x+ 3y= 5xy得x=5y i1 x0,y0,=y5,19 49y13 y 5+5+54y3x+4y=亍+4y=-57+4yi13951=丁+5+4(y5)y513;36丁+2.25 =5，

10、當且僅當1y 2 時等號成立，(3x+ 4y)min 5(2)由 2x3= (1)y得x+y 3,1m11mx+廠 3(x+y)(x+y)1y mx=3(1+m+x+?)3(1 +m+ 2m（當且僅當y=爭即y=mx時取等號）， 3（1 +m+2石=3,解得 mp 4.題型二基本不等式的實際應(yīng)用例 3 （2017 淄博質(zhì)檢）某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250 萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投12入成本為 Qx），當年產(chǎn)量不足 80 千件時，C（x） = 3X+ 10 x（萬元）當年產(chǎn)量不小于 80 千件10 000時，C（x） = 51x+ 1 450（萬元）.每件商品售價為 0.05 萬元.通過市

11、場分析，該廠生 產(chǎn)的商品能全部售完.(1) 寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；10(2) 當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？解(1)因為每件商品售價為 0.05萬元， 則x千件商品銷售額為 0.05X1 OOOx萬元， 依題意 得： 當 0 x 80 時，10 000L(x)=1 000 xX0.05(51x+- 1 450)250 x10 000=1 200 (x+).x1x2+ 40X頌,L(x)=10 000.1 200 x+x占 Hi；12(2)當 0 x80 時，L(x) = 1 200 (x+-)x0)，即x= 80 時“=”成立.

12、X8=(X+25+ 18,當且僅當X=，即X= 5 時，取等號.X題型三基本不等式的綜合應(yīng)用命題點 1 基本不等式與其他知識交匯的最值問題例 4 (1)(2016 荷澤一模)已知直線ax+by+c 1 = 0(b,少 0)經(jīng)過圓x2+y2 2y 5= 0 的41圓心，則二+-的最小值是()b cA. 9 B . 8 C . 4 D . 2(2)(2016 山西忻州一中等第一次聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d,其前n項和是S,若a1S 斗 8=d= 1,則-的最小值是_.an9答案(1)A(2)2解析圓x2+y2 2y 5 = 0 化成標準方程，2 2得x+ (y 1) = 6,所以圓心為C(0,

13、1).因為直線ax+by+c 1 = 0 經(jīng)過圓心C,所以ax0+bx1+c 1 = 0，即b+c= 1.(2)年平均利潤為y25=x+ 18XXy25X=18(X+)0,14設(shè)g(x) =x+8x N*，貝 yg(2) = 6,g(3) =4c b4c b所以石+c2. bc=44c b當且僅當石=c時等號成立.2141由此可得b=2c，且b+c=1即b= 3,c= 3 時，計C取得最小值 9.(2)an=ai+ (n 1)d=n,n+n2 ，n1+nSn+ 82+8an1=2(n+n蘭+1) 1169皆n十1)= 2,當且僅當n= 4 時取等號.士的最小值是|.an命題點 2求參數(shù)值或取值

14、范圍例 5(1) 已知a0,b0,若不等式3+a+b恒成立，則m的最大值為()A. 9 B .18 D . 24已知函數(shù)f(x)2X+11(a R)，若對于任意的x N ,f(x)3恒成立,a的取值范圍是答案(1)B(2)31解析(1)由a+ba+ 3b，得 mc(a+ 3b)(3+ 呂=9b+a+ 6.a b a b9b a-又+5+ 629+ 6 = 12(當且僅當9b a=I 時等號成立a b mK12,.m的最大值為 12.對任意xN,f(x)3恒成立，即2 x+ax+113x+18恒成立，即知a-(X+-)+ 3.1517 g(2)g(3),g(x)min= y,168 8 （x+x

15、） + 3 3，故a的取值范圍是3,+）.思維升華（1）應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式（或式子）變形，然后利用基本不等式求解.（2）條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.（3）求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.a皿 w （1）（2016 福建四地六校聯(lián)考）已知函數(shù)f（x） =x+-+ 2 的值域為（一8,x0U4 ,+8），貝ya的值是（）13A - B. - C . 1 D . 222已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an滿足a7=a6+ 2a5，若存在兩項am,an使得，anan=4a,14則-+的最小

16、值為（）m nA. B.答案C （2）A解析（1）由題意可得a0,1當x0 時，f（x）=x+a+22.a+ 2,當且僅當x=, a時取等號；a2當x22,.x+y2xy= 4 2,x+y的最小值為 4 .2.y=12xxw12托.函數(shù)y= 1 2xx(x0,y0,1 2x+y= (x+y)(x+y)xyy2x=3 +北+ 3+ 2 2(當且僅當y= .2x時取等號),x y當x= 2 + 1,y= 2+ 2 時，(x+y)min= 3+ 2,2.(2)Tx1+2 當X一 罟又m+n=6,解得 m= 2,n= 4，符合題意.1 43故-+-的最小值等于-.m n2現(xiàn)場糾錯系列9利用基本不等式求

17、最值1 2典例(1)已知x0,y0,且- + -= 1，則x+y的最小值是x y3函數(shù)y= 1 2x-(x26,2x |x= 1 + 2 訴，當且僅當且僅當m=罟時，等號成立，錯解展示19時取等號，故函數(shù)y= 1 2XX(x2D.a+b2ab| b a3答案 Ca ba b a b解析 因為匚和-同號，所以|匚+-1 = k-| +1-| 2.b ababa2下列不等式一定成立的是()21A.lg(x+ )lgx(x0)41B.sinx+ 2(x豐kn ,kZ)sinx2C.x+ 12|x|(x R)1DE1(XR)答案 C21 1解析 當x0 時，x+ 42 x 2 =X,434941所以

18、lg(x+ 4) lgx(x0),故選項 A 不正確；運用基本不等式時需保證“一正” “二定“三相等”，而當xzkn,k Z 時，sinx的正負不定，故選項 B 不正確；由基本不等式可知，選項C 正確；203 .當x0 時，函數(shù)f(x) =有()x+ 1A.最小值 1B.最大值 1C.最小值 2D.最大值 2答案 B2x22解析f(x) =x=0,b0,a+b= 2,貝 Uy= + 的最小值是(a b答案 c14114解析 依題意，得-+ =-+ )(a+b)a b2a b1當x= 0 時，有= 1,故選項 D 不正確.x+ 1=扣 + (b+ ) 2(5 + 292,21ra+b= 2,1當

19、x 2 = -(x2)，即x= 3 時取等號，即當f(x)取得最小值時，x= 3,即a= 3，故選 C.x26.已知x0,y0,且 4xyx 2y= 4，則xy的最小值為()答案 D當且僅當b4a!=-a b，a0,b0,24即a=2，b=4時取等號5. (2016 平頂山至陽中學(xué)期中B. 1 +3D. 4解析當x2 時,x20,f(x) = (x 2) +1Xx2+2=4,當且僅A.22 2 C. 2 D . 2=2,222解析Tx0,y0,x+2y22xy,4xy(x+2y)4xy2 2xy,40, 2xy2,：.xy2.1119*7.(2016 吉林九校第二次聯(lián)考)若正數(shù)a,b滿足石+b

20、= 1,則尸 +b的最小值是()9 D . 16答案1a1+二-尸+9(a1)沁口-54=3 時等號成立，所以最小值為6.故選 B.8.（2016 唐山一模）已知x,y R且滿足x6+ 2xy+ 4y2= 6，貝U z=x2+4y2的取值范圍為答案4,126 2解析T2xy= 6 (x2+ 4y2)，而 2xy0,解得a1.同理可得b1,所以二二 +匚二；a 1a 1b 1A. 11a1= 6，當且僅當 =9(a 1)，即aa 111=2,22322x+ 4y4(當且僅當x= 2y時取等號).2又.(x+ 2y) = 6+ 2xy0,22即 2xy 6，:z=x+ 4y= 6 2xy0,b0,

21、若 w 是3a與 3b的等比中項，則a+石的最小值為- 答案 4解析由題意知 3 3_3，即3b=3,a+b_ 1 ,Ta0,b0,1 1a+b_*11.(2017 東莞調(diào)研)函數(shù)y_ loga(x+ 3) 1(a0,且a 1)的圖象恒過定點A,若點A在直線m+ny+ 1_ 0 上，其中m n均大于 0，則掃 2 的最小值為 _答案 8解析y_ loga（x+ 3） 1 恒過定點A 2, 1）,由A在直線mx ny+ 1 _ 0 上.則一 2m-n+ 1_ 0，即 2m+n_ 1.1 2 2m+nm+nn4mn4m ”m+n_k+ _m+R+424+4_8（當且僅當m_下，即號成立）.12.已知x0,y0，且 2x+ 5y_ 20.（1）求u_ lgx+ lgy的最大值；1 1求-+-的最小值.x y解（1） x0,y0,由基本不等式，得2x+ 5y210 xy.2x+ 5y _ 20, 210 xyw20,xy0, y0