極值的物理方法

1、求 極 值 的 物 理 方 法231500 安徽省廬江二中 束義福在物理理解題中經(jīng)常遇到極值問題，它是在給定條件下尋求最佳效果。一般地，求極值的最有效的方法是高等數(shù)學(xué)的微分學(xué)等，也可以運(yùn)用初等數(shù)學(xué)知識求解。其實(shí)，對許多問題來說，用物理方法求極值轉(zhuǎn)前者來得更簡捷。用物理方法求極值問題的主要特點(diǎn)是，慎重審題，明確被研究對象所描述的物理現(xiàn)象，對所涉及到的物理概念及物理過程進(jìn)行物理思想分析，找出問題中所描述的物理過程的實(shí)質(zhì)和產(chǎn)生極值條件，或出現(xiàn)極值有什么特征，從而選擇正確思路，應(yīng)用有關(guān)的物理知識順利求解，以達(dá)到事半功倍的效果。1、利用物理概念求極值。有些物理極值常與物理概念相聯(lián)系，借助于物理概念常可以

2、方便地解決物理極值問題。例1、 如圖1所示，豎直絕緣桿處于方向彼此垂直、大小為E、B的勻強(qiáng)電磁場中，一個質(zhì)量為m，電量為+q的小球，從靜止開始沿桿下滑，且與桿的動摩擦因數(shù)為，求小球下滑的最大速度。 圖1解析：當(dāng)物體作加速度為正（負(fù)）的加（減）速運(yùn)動時(shí)，加速度等于零時(shí)速度達(dá)到最大（?。┲?。本題中：小球開始下滑后，在水平方向始終受到方向相反的電場力（qE）和洛侖茲力（Bqv）的作用，開始時(shí)，Bqv<Eq，壓力N水平向左，小球下滑加速度a=,a隨增大而增大，當(dāng) Bqv=qE時(shí)，加速度達(dá)到最大=g，此后速度繼續(xù)增大，Bqv>qE時(shí)，壓力水平向右，小球下滑加速度，a隨v增大而減小，即作加速度

3、減小的加速運(yùn)動，當(dāng)a=0時(shí)，速度達(dá)到最大值，此時(shí)有mg=(Bqv-qE)，所以，小球的最大速度為。2、利用物理規(guī)律求極值。某些物理量的極值往往隱含在該物理定律之中，因此，明確物理事件中的規(guī)律性，可分析到某物理量取極值的條件，進(jìn)而求出極值。例2、 如圖2，將小球由與懸點(diǎn)在同一水平面的位置由靜止釋放，問達(dá)何位置時(shí)，豎直分速度最大？ 圖2解析：此題可在列議程之后用極值的方法，但比較繁雜和難于理解，現(xiàn)設(shè)小球懸線達(dá)與水平夾角為時(shí)，豎直分速度最大，即繩上張力T在豎直方向分力與重力mg相等，則無豎直加速度時(shí)，豎直分速度最大，根據(jù)圓周運(yùn)動的規(guī)律及機(jī)械能守恒列方程：Tsin=mg, (1) Tmgsinx=mv

4、2/L (2)mv2=mgLsin(3)解（1）（2）（3）式得：sin2=，x=arcsin。3、利用臨界現(xiàn)象求極值。當(dāng)物理題中所給出的物理事件在發(fā)展變化過程中產(chǎn)生臨界現(xiàn)象時(shí)，正確地應(yīng)用物理原理分析臨界現(xiàn)象，明確臨界狀態(tài)，從而求出極值。例3、 如圖3所示，一輛質(zhì)量為M的小車，在光滑水平面上以速度作勻速直線運(yùn)動， 圖3若在車的前端輕輕放上質(zhì)量為m的木塊，且木塊與車的動摩擦系數(shù)為，為了防止木塊從車上滑下，求：小車身長度至少多長？（2）木塊最大速度和車最小速度多少？解析：在木塊滑動過程中，滑動摩擦力使木塊加速而使 小車減速，木塊不從車上滑下的臨界條件是當(dāng)木塊與車具有共同速度(v)時(shí)，木塊正好滑至小

5、車后端，即最大相對位移等于車身長度。據(jù)動量守恒定律：M=(M+m)v （1）據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律：（2）所以，木塊的最大速度等于車的最小速度,均為:（3）小車的最小長度為：。注：（2）式中mgL=Q為一對滑動摩擦力做功所產(chǎn)生的熱能，L為滑動過程中兩物體的相對位移。4、分析物理過程求極值。對有些物理量極值問題，只要正確地運(yùn)用原理分析事件的發(fā)展變化的物理過程，明確物理量取極值的位置或時(shí)刻，從而求出極值。例4、 如圖4所示，光滑平行導(dǎo)軌的 圖4水平部分，置于方向豎直的勻強(qiáng)磁場中，ab兩部分的寬度為bc部分的2倍，且兩部分足夠長，金屬棒p位于導(dǎo)軌上h高處，與p質(zhì)量相同的金屬棒Q停在bc部分。若讓p從靜

6、止開始滑下，求場磁場中p的最小速度和Q的最大速度。解析：根據(jù)機(jī)械能守恒，p進(jìn)入磁場的速度為 (1)以后，在安培力作用下，p開始減速，Q開始加速，從P進(jìn)入磁場開始到與Q具有共同速度。（電路中的電流I是變化的，即從最大減至零，但是，在每一相同時(shí)刻，P、Q上電流總相等0，回路中電流為零，安培力消失。根據(jù)E=BLV，V，即P、Q速度穩(wěn)定的條件為： （2）根據(jù)F=BILL，在每一時(shí)刻P受到的安培力為Q的兩倍，設(shè)Q在時(shí)間t內(nèi)受到的平均沖力為F，則P受到的平均沖力為2F。根據(jù)動量定理，以系統(tǒng)為研究對象，有 （3）以Q 為對象，同理，（4）所以，P的最小速度值和Q的最大速度值分別為，。5、利用等效變換求極值。

7、在有些極值問題中，通常要經(jīng)過相當(dāng)麻煩的數(shù)學(xué)計(jì)算才能得出結(jié)果，有些用初等數(shù)學(xué)方法還不能解決，但利用等效變換方法可使問題由難變易，由繁變簡。例5，如圖5所示電路中，電源電動勢為E，內(nèi)阻為r，為可變電阻，、為定值電阻，試求獲得最大功的條件及其最大功率。解析：本題的一般解法是利用電路定律寫出消耗功率的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式求極值， 圖5其計(jì)算過程相當(dāng)麻煩。如果采用電學(xué)中等效電源法會使計(jì)算過程大為簡便。將虛線框內(nèi)部分視為等效電源，根據(jù)分壓原理，其電動勢為，而內(nèi)阻為所以，獲得最大功率的條件為，故最大的功率為6、利用矢量圖求極值。有些物理量極值問題用矢量圖求解既直觀又簡捷。例6、 圖6所示，將質(zhì)量為M的小

8、車沿傾角為、動摩擦系數(shù)為的斜坡勻速上拉，求拉力與斜面夾角多大時(shí)，拉力最?。拷馕觯盒≤囋谒膫€共點(diǎn)力作用下處于平衡狀態(tài)，將支持力N和摩擦力f，用其合力R代替，并設(shè)R與N的夾角為，則轉(zhuǎn)化為三個共點(diǎn)力的平衡問題。在角發(fā)生變化時(shí)， 圖6Mg為豎直向下的恒力；R僅大小變化而方向不變化，始終與豎直方向成（+）角；F的大小和方向都在變化。根據(jù)三個力構(gòu)成的矢量三角形可以看出：當(dāng)拉力F與R成90°時(shí)，拉力最小，且=（同角的余角相等），所以，最佳牽引角為拉力的最小值為231500 安徽省廬江二中 束義福郵編 231500 電話：05657328698、 7322256電子信箱yif_shu.作者簡介：束義福、男、畢業(yè)于安徽師范大學(xué)物理系。中學(xué)高級教師、特級教師。中國物理學(xué)會會員。中國教育學(xué)會物理教學(xué)研究會會員。中國發(fā)明學(xué)會會員。東方書畫藝術(shù)學(xué)會理事。巢湖市中學(xué)高級教師職務(wù)評審委員會委員。中國管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會特約研究員。在物理教學(xué)、物理通