機(jī)械優(yōu)化設(shè)計之?dāng)?shù)學(xué)模型及其實例

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計之?dāng)?shù)學(xué)模型及其實例摘要：最優(yōu)化技術(shù)在機(jī)械設(shè)計領(lǐng)域的移植和應(yīng)用,是根據(jù)機(jī)械設(shè)計的理論,方法和標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范等建立一反映工程設(shè)計問題和符合數(shù)學(xué)規(guī)劃要求的數(shù)學(xué)模型,采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法和計算機(jī)計算技術(shù)自動找出設(shè)計問題的最優(yōu)方案.本文介紹了數(shù)學(xué)模型的概念，分析了其建模方法，并通過減速器的優(yōu)化問題，突出了數(shù)學(xué)模型在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用以及未來的發(fā)展。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；建模；減速器優(yōu)化前言通過本文的介紹，了解優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的建立、應(yīng)用、及其發(fā)展?？偟膩碚f，運用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計就兩方面，一是將機(jī)械設(shè)計實際問題數(shù)學(xué)化；二是應(yīng)用最優(yōu)化計算方法的程序在計算機(jī)上求解這個數(shù)學(xué)模型。毋庸置疑，數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于優(yōu)化

2、設(shè)計對提高設(shè)計質(zhì)量，縮短研發(fā)周期起到非常關(guān)鍵的作用，有著廣闊的應(yīng)用前景，必將成為產(chǎn)品設(shè)計的必要步驟和標(biāo)準(zhǔn)環(huán)節(jié)。1 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型概述優(yōu)化設(shè)計主要包括兩個方面:一是如何將設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為確切反映問題實質(zhì)并適合于優(yōu)化計算的數(shù)學(xué)模型,建立數(shù)學(xué)模型包括:選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計變量,建立優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件。目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計問題所要求的最優(yōu)指標(biāo)與設(shè)計變量之間的函數(shù)關(guān)系式,約束條件反映的是設(shè)計變量取得范圍和相互之間的關(guān)系;二是如何求得該數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解:可歸結(jié)為在給定的條件下求目標(biāo)函數(shù)的極值或最優(yōu)值的問題。對數(shù)學(xué)模型的要求：（1）數(shù)學(xué)模型要能在滿足各種限制條件下準(zhǔn)確和可靠地說明設(shè)計問題所要實現(xiàn)的目標(biāo)，計算過

3、程穩(wěn)定，計算結(jié)果可靠，從而實現(xiàn)設(shè)計方案。（2）所建立的數(shù)學(xué)模型要與當(dāng)前計算機(jī)軟硬件發(fā)展水平相適應(yīng)，在算法上容易處理。2 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計三要素2.1 設(shè)計變量的選擇設(shè)計變量是可能影響設(shè)計質(zhì)量和設(shè)計結(jié)果的可變參數(shù),在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中, 設(shè)計變量是標(biāo)志各零、部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)、尺寸大小的用來繪制結(jié)構(gòu)圖的各種設(shè)計參數(shù), 是優(yōu)化設(shè)計的最直接、最有價值的內(nèi)容。因此,合理選擇一定數(shù)量的設(shè)計變量不僅影響到模型的規(guī)模和建模的難度,也直接關(guān)系到優(yōu)化結(jié)果能否令人滿意,一般應(yīng)遵循如下原則:（1）抓主要, 舍次要對性能和結(jié)構(gòu)影響較大的參數(shù)建議選為設(shè)計變量,對設(shè)計目標(biāo)影響甚微的某些參數(shù)甚至可以不予考慮。（2）注意區(qū)分獨立變量和相

4、關(guān)變量所謂獨立變量是指在邊界約束范圍內(nèi)和模型中其取值不受其它變量取值變化的影響的參數(shù),即具有相對獨立性的變量。在工程實際問題中,有些參數(shù)的取值受到其它參數(shù)的影響或相互之間存在一定影響,這些參數(shù)稱為相關(guān)變量。（3）不要漏掉必要的設(shè)計變量由于借助于計算機(jī)自動計算的優(yōu)化設(shè)計方法作為一種高效率的現(xiàn)代設(shè)計方法,在數(shù)學(xué)建模時,就要求對影響設(shè)計要求的各種因素通盤考慮、統(tǒng)一規(guī)劃,不漏掉必要的設(shè)計變量,這樣才能得到高質(zhì)量的成功的優(yōu)化結(jié)果。2.2 目標(biāo)函數(shù)的建立目標(biāo)函數(shù)是以設(shè)計變量表示設(shè)計所要追求的某種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式, 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造與選擇, 關(guān)系到優(yōu)化結(jié)果的實用性,從不同角度出發(fā)或根據(jù)設(shè)計對象和要求的不同

5、, 可能有若干個目標(biāo)函數(shù)可供選擇,在實際的優(yōu)化設(shè)計中, 應(yīng)根據(jù)所設(shè)計機(jī)械系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的具體性質(zhì)和應(yīng)用場合,從若干個候選條件中篩選出最合理的標(biāo)準(zhǔn)作為目標(biāo)函數(shù)。2.3 約束條件的確定在機(jī)械設(shè)計領(lǐng)域, 設(shè)計的限制是多種多樣的,但一般都?xì)w屬于兩大類,第一類稱為性態(tài)約束,是預(yù)測可能被破壞或失效的特征；第二類稱為邊界約束,用來規(guī)定設(shè)計變量的取值范圍。不論是哪一類的約束條件,為了能定量處理,都必須是可計算的函數(shù)。在確定約束函數(shù)時應(yīng)特別注意以下幾點:(1) 避免出現(xiàn)矛盾約束各種約束構(gòu)成的可行域,優(yōu)化模型一旦形成,求解的任務(wù)就是在可行域內(nèi)尋找最優(yōu)解,若有矛盾約束,很有可能使可行域成為空集。(2) 避免可行域無界一

6、般說來,可行域應(yīng)是n 維空間中的閉域,如圖所示在可行域為開域(無界)時,若目標(biāo)函數(shù)值向無界方向下降,且趨于,就不可能找到極值點。(3)盡量避免等價約束和相關(guān)約束在建立較為復(fù)雜的模型時, 往往出于工程上的保險考慮,總力圖加入盡量多的約束,以保證不出現(xiàn)難以預(yù)料和實施的優(yōu)化結(jié)果。另一種是相關(guān)約束, 即一個約束是其它幾個約束的某種組合,也導(dǎo)致不必要的約束增多,使廣義函數(shù)的性態(tài)變差,從而收斂困難。(4)不能漏掉必須的約束剔除多余約束的前提是要對約束是否多余有充分的把握,否則不要輕易這樣做,必須的約束不能遺漏。2.4 優(yōu)化結(jié)果的處理與分析在優(yōu)化設(shè)計中,建立正確的數(shù)學(xué)模型和選用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法固然是取得正確設(shè)

7、計結(jié)果的先決條件,但絕非充要條件。由于工程問題的復(fù)雜性, 在優(yōu)化求解后,還必須依據(jù)初始數(shù)據(jù)、中間結(jié)果和最終結(jié)果進(jìn)行認(rèn)真對比、分析, 以查明優(yōu)化計算過程是否正常和最終結(jié)果是否具有合理性和可行性。如有錯誤, 可嘗試改變初始點甚至重新選擇優(yōu)化方法重新進(jìn)行計算。在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計的實際應(yīng)用中,其最后的分析與處理,常常是不容忽視的,特別是對設(shè)計變量的敏感度分析對進(jìn)一步提高工程優(yōu)化設(shè)計的質(zhì)量很有意義。3數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計實例3.1 優(yōu)化設(shè)計的優(yōu)勢減速器在現(xiàn)代機(jī)械領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，具有可觀的經(jīng)濟(jì)效益。但是，此類優(yōu)化模型具有高維、線性非凸、多約束及多峰值等特點，對此類問題，傳統(tǒng)優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果嚴(yán)重

8、依賴于所選初始解，當(dāng)初始解選擇不當(dāng)時，優(yōu)化過程易陷入局部最優(yōu)解；需要對變量進(jìn)行微分操作運算，計算量大，求解效率低，而且無法求解多元約束下的優(yōu)化問題；迭代運算時迭代次數(shù)很大，收斂速度慢，不能同時保證計算精度和計算效率，優(yōu)化結(jié)果不理想。因此，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法對其進(jìn)行設(shè)計，在不改變原來轉(zhuǎn)動零件的材質(zhì)、傳動比、輸入功率和轉(zhuǎn)速等條件下，根據(jù)可靠度要求優(yōu)選出一組最佳齒輪嚙合參數(shù)，從而使標(biāo)準(zhǔn)系列的減速機(jī)的體積最小，成本最低，工作可靠度達(dá)到預(yù)定要求。該模型提出的減速機(jī)的概率設(shè)計方法為通用模式，只要輸入設(shè)計要求的原始數(shù)據(jù)，就能較快地計算出減速機(jī)主要零件的最佳參數(shù)。3.2 數(shù)學(xué)模型建立及優(yōu)化過程（1）接觸承載能力

9、一對變位齒輪傳動的接觸承載能力可用只與嚙合參數(shù)有關(guān)的接觸承載能力系數(shù)表示，其函數(shù)形式為：式中：嚙合中心距；u齒數(shù)比；分度圓螺旋角；t端面壓力角；t端面嚙合角；KV動載系數(shù)；V齒輪圓周速度；Z1小齒輪齒數(shù)。由上式可知，齒輪的接觸承載能力系數(shù)僅與u、t有關(guān)，當(dāng)嚙合中心距和模數(shù)m已定時，端面嚙合角t的表達(dá)式為：式中：Kt中心距分離系數(shù)。（2）設(shè)計變量的確定將影響齒輪接觸承載能力系數(shù)的獨立參數(shù)列為設(shè)計變量，即：式中：u1高速級的齒數(shù)比；yt1、yt2分別為高速和低速級齒輪傳動的中心距分離系數(shù)（3）目標(biāo)函數(shù)的確定該問題要求提高高速級和低速級齒輪傳動的承載能力，同時要求兩級傳動達(dá)到等強(qiáng)度，所以這是一個具有

10、三個指標(biāo)的多目標(biāo)函數(shù)問題?？梢詫⒏咚偌壓偷退偌夶X輪傳動的承載能力系數(shù)轉(zhuǎn)化為第一、二個分目標(biāo)函數(shù)f1(x)、f2(x)。用中間軸上兩個齒輪所允許傳遞轉(zhuǎn)矩差的相對值最小來建立等強(qiáng)度條件f3(x)，采用線性組合法將三個分目標(biāo)函數(shù)綜合成統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)。采用線性組合法將三個分目標(biāo)函數(shù)綜合成統(tǒng)一的目標(biāo)函數(shù)圍：（4）約束條件確定保證軸的重合度和螺旋角不大于15°；高速機(jī)和低速級齒數(shù)比分配由潤滑條件決定；限制低速級大齒輪直徑，使其不超過原箱體，且滿足中心距要求。綜上所述，二級齒輪減速器的設(shè)計可以變?yōu)橐粋€有四個設(shè)計變量、八個不等式約束、三個分目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用matlab軟件，對任意參數(shù)，

11、只要輸入進(jìn)去，便可得出減速器設(shè)計時所要的最優(yōu)解。4 數(shù)學(xué)建模的一般方法:4.1 機(jī)理分析 機(jī)理分析就是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認(rèn)識,分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律,所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義.(1) 比例分析法-建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本最常用的方法. (2) 代數(shù)方法-求解離散問題(離散的數(shù)據(jù),符號,圖形)的主要方法. (3) 邏輯方法-是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法,對社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實際 問題,在決策,對策等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用. (4) 常微分方程-解決兩個變量之間的變化規(guī)律,關(guān)鍵是建立"瞬時變化率"的表達(dá)式. (5) 偏微分方程-解決因變量與兩個以上

12、自變量之間的變化規(guī)律.4.2 測試分析方法 測試分析方法就是將研究對象視為一個"黑箱"系統(tǒng),內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求,通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù),并以此為基礎(chǔ)運用統(tǒng)計分析方法,按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個數(shù)據(jù)擬合得最好的模型. (1) 回歸分析法-用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi,fi)i=1,2,n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)理統(tǒng)計方法.(2) 時序分析法-處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計方法.(3) 回歸分析法-用于對函數(shù)f(x)的一組觀測值(xi,fi)i=1,2,n,確定函數(shù)的表達(dá)式,由于處理的是靜態(tài)的獨立數(shù)據(jù),故稱為數(shù)

13、理統(tǒng)計方法.(4) 時序分析法-處理的是動態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù),又稱為過程統(tǒng)計方法.將這兩種方法結(jié)合起來使用,即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu),用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù),也是常用的建模方法, 在實際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定.機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見左圖.4.3 仿真和其他方法(1) 計算機(jī)仿真(模擬)-實質(zhì)上是統(tǒng)計估計方法,等效于抽樣試驗.a） 離散系統(tǒng)仿真-有一組狀態(tài)變量. b） 連續(xù)系統(tǒng)仿真-有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.(2) 因子試驗法-在系統(tǒng)上作局部試驗,再根據(jù)試驗結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改,求得所需的模型結(jié)構(gòu).(3) 人工現(xiàn)實法-基于對系統(tǒng)過去行為的了解和對未來希望達(dá)到的目標(biāo),并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化,人為