【創(chuàng)新設(shè)計】2011屆高三數(shù)學一輪復(fù)習 8.1 橢圓課件 文 大綱人教版

1、2011屆高三數(shù)學文大綱版創(chuàng)新設(shè)計一輪復(fù)習課件：8.1 橢圓【考綱下載考綱下載】1. 掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)2了解橢圓的參數(shù)方程了解橢圓的參數(shù)方程.第八章第八章 圓錐曲線方程圓錐曲線方程第第1 1講講 橢橢 圓圓(1)第一定義：在平面內(nèi)，到兩定點的距離第一定義：在平面內(nèi)，到兩定點的距離 等于定長等于定長2a(定長大于兩定點間定長大于兩定點間的距離的距離)的動點的軌跡叫做橢圓其中兩個定點叫做橢圓的的動點的軌跡叫做橢圓其中兩個定點叫做橢圓的 ，兩兩 之間的距離之間的距離2c叫做橢圓的焦距叫做橢圓的焦距(2)第二定義：一動點到定點的距

2、離和它到一條定直線的距離的第二定義：一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的 是是一個在一個在(0,1)內(nèi)的常數(shù)內(nèi)的常數(shù)e，那么這個點的軌跡是橢圓其中定點是橢圓的，那么這個點的軌跡是橢圓其中定點是橢圓的 ，定直線是橢圓的定直線是橢圓的 ，常數(shù)，常數(shù)e就是橢圓的就是橢圓的 .【思考思考】 定義中若沒有條件定義中若沒有條件“2a|F1F2|”的限制，動點的軌跡還是橢圓嗎？的限制，動點的軌跡還是橢圓嗎？ 答案：答案：不是若不是若2a|F1F2|，動點軌跡是線段，動點軌跡是線段F1F2；若；若2ab0)；焦點在焦點在y軸上時軸上時，橢圓的標準方程為橢圓的標準方程為： (ab0)2橢圓的方程橢圓的方程

3、 (2)橢圓橢圓 1(ab0)的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 ； 橢圓橢圓 1(ab0)的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 橢圓的標準方程橢圓的標準方程提示：提示：求橢圓的標準方程時，必須先確定焦點是在求橢圓的標準方程時，必須先確定焦點是在x軸上或是在軸上或是在y軸上當焦點的位置不能確定時，為避免分類討論，也可設(shè)軸上當焦點的位置不能確定時，為避免分類討論，也可設(shè)成：成：Ax2By21，其中，其中A、B是不等的正常數(shù)，是不等的正常數(shù)， 或設(shè)成：或設(shè)成： 1(m2n2)3橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)標準標準方程方程 1(ab0) 1(ab0)簡圖簡圖范圍范圍|x|a，|y|b|y|a，|x|b頂點頂點坐標坐標，對

4、稱軸對稱軸x軸、軸、y軸軸x軸、軸、y軸軸對稱對稱中心中心坐標原點坐標原點O坐標原點坐標原點O焦點焦點坐標坐標(a,0) (0，b)(0，a) (b,0)(c,0)(0，c)準線準線方程方程焦半焦半徑公徑公式式|PF1|aex0，|PF2|aex0|PF1|aey0，|PF2|aey0離心離心率率ee提示提示：1.橢圓的幾何性質(zhì)主要是圍繞橢圓中的橢圓的幾何性質(zhì)主要是圍繞橢圓中的“六點六點”(兩個焦點、四個頂點兩個焦點、四個頂點)，“四線四線”(兩條對稱軸、兩條準線兩條對稱軸、兩條準線)，“兩形兩形”(中心、焦點以及短軸端中心、焦點以及短軸端點構(gòu)成的三角形，橢圓上一點和兩焦點構(gòu)成的三角形點構(gòu)成的

5、三角形，橢圓上一點和兩焦點構(gòu)成的三角形)，研究它們之間的相，研究它們之間的相互聯(lián)系互聯(lián)系2.(1)焦半徑公式：設(shè)焦半徑公式：設(shè)P(x0，y0)為橢圓為橢圓 1(ab0)上一點，焦點上一點，焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，則，則|PF1|aex0，|PF2|aex0.此公式不要求記憶，此公式不要求記憶，但要掌握其推導(dǎo)過程但要掌握其推導(dǎo)過程(2)離心率離心率e越接近越接近0，則橢圓越圓；，則橢圓越圓；e越接近越接近1，則橢圓越扁，則橢圓越扁1橢圓橢圓x24y21的離心率為的離心率為() A. B. C. D. 解析：解析：由由x24y21得得x2 1，a21，b2 ， c2 ，離心率是，離心率

6、是 e 答案答案：A2設(shè)設(shè)P是橢圓是橢圓 1上的點若上的點若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則是橢圓的兩個焦點，則|PF1| |PF2|等于等于() A4 B5 C8 D10 解析：解析：依橢圓的定義可知依橢圓的定義可知|PF1|PF2|2510. 答案：答案：D3橢圓橢圓 1的焦距為的焦距為2，則，則m的值為的值為() A5 B3 C5或或3 D8 解析：解析：由已知由已知c1，a2b2c2，當，當m4時，時，m415.當當mb0)，將點，將點(5,4)代入得代入得 1又離心率又離心率e 解之得解之得a245，b236，故橢圓的方程為故橢圓的方程為 1.答案答案： 1一般地，當遇到與焦點距離有關(guān)

7、的問題時，首先應(yīng)考慮用定義來解題橢圓上一般地，當遇到與焦點距離有關(guān)的問題時，首先應(yīng)考慮用定義來解題橢圓上的點到焦點的距離，在直接處理較困難時，可以運用第二定義轉(zhuǎn)化成點到相應(yīng)的點到焦點的距離，在直接處理較困難時，可以運用第二定義轉(zhuǎn)化成點到相應(yīng)的準線的距離，也可以運用第一定義轉(zhuǎn)化成點到另一焦點的距離來解決的準線的距離，也可以運用第一定義轉(zhuǎn)化成點到另一焦點的距離來解決【例例1 1】 設(shè)設(shè)F1、F2為橢圓為橢圓 1的兩個焦點，的兩個焦點，P為其上一點，已知為其上一點，已知P、 F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|PF2|， 求求 的值的值 思維點撥：思維點撥

8、：由定義知由定義知|PF1|PF2|6，再由直角三角形的邊的，再由直角三角形的邊的 關(guān)系求關(guān)系求|PF1|與與|PF2|，注意在直角不確定的情況下要分類討論，注意在直角不確定的情況下要分類討論解解：若：若PF2F1為直角為直角，由已知由已知|PF1|PF2|6，|PF1|2(6|PF1|)220，得得|PF1| ，|PF2| ，故故 ；若若F1PF2為直角為直角，|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|220，解得解得|PF1|4，|PF2|2，故故 2.故故 的值為的值為 或或2.2.（1）求橢圓的標準方程，一般分三步完成：求橢圓的標準方程，一般分三步完成：定型定型確定它是橢圓；確定它是

9、橢圓；定位定位 判斷中心在原點，焦點在哪條坐標軸上；判斷中心在原點，焦點在哪條坐標軸上；定量定量建立關(guān)于基本量建立關(guān)于基本量a，b，c，e的的 關(guān)系式，解出即得所求標準方程關(guān)系式，解出即得所求標準方程（2）當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，可設(shè)為）當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，可設(shè)為 1(m0， n0，mn)，可避免討論和繁雜的計算，也可設(shè)為，可避免討論和繁雜的計算，也可設(shè)為Ax2By21(A0，B0， AB)，這種形式在解題中較為方便，這種形式在解題中較為方便(1)已知已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別到兩焦

10、點的距離分別為為 過過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點；作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點；(2)經(jīng)過兩點經(jīng)過兩點A(0,2)和和B思維點撥思維點撥：(1)可用待定系數(shù)法求解，但應(yīng)注意兩種形式；可用待定系數(shù)法求解，但應(yīng)注意兩種形式；(2)可采用設(shè)法：可采用設(shè)法：mx2ny21(m0，n0，mn)【例例2 2】 根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程：根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程：解：解：(1)設(shè)橢圓的標準方程是設(shè)橢圓的標準方程是 1 1或或 1(ab0)由題意知由題意知2a|PF1|PF2| ，a在方程在方程 1 1中，令中，令xc得得|y|在方程在方程 1 1中，令中，令yc得得|x|依題意并結(jié)合圖形

11、知依題意并結(jié)合圖形知即橢圓的標準方程為即橢圓的標準方程為(2)設(shè)橢圓的標準方程為設(shè)橢圓的標準方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，A(0,2)，B 在橢圓上，在橢圓上，所求橢圓方程為所求橢圓方程為x2 1.變式變式2 2：(20092009寧夏、海南卷寧夏、海南卷)根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程 (1)已知橢圓已知橢圓C的中心為直角坐標系的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在的原點，焦點在x軸上，它的軸上，它的 一個頂點到兩個焦點的距離分別是一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和和1； (2)以短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為正三角形，且焦以短軸的一個端點和兩焦

12、點為頂點的三角形為正三角形，且焦 點到橢圓的最短距離為點到橢圓的最短距離為解解：(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a，c，由已知得由已知得解得解得a4，c3，所以橢圓所以橢圓C的方程為的方程為 1.(2)由已知條件和橢圓的定義知由已知條件和橢圓的定義知a2c，且，且aca2 ，c ，b2a2c29.當焦點在當焦點在x軸上，所求方程為軸上，所求方程為 1；當焦點在當焦點在y軸上，所求方程為軸上，所求方程為 1.橢圓的離心率橢圓的離心率e 是刻畫橢圓性質(zhì)的不變量，當是刻畫橢圓性質(zhì)的不變量，當e趨近于趨近于1時，時， 橢圓越扁，當橢圓越扁，當 e 趨近于趨近于 0 時，橢

13、圓越圓時，橢圓越圓 求橢圓的標準方程需要兩個條件，而求橢圓的離心率只需要根據(jù)一個條件得求橢圓的標準方程需要兩個條件，而求橢圓的離心率只需要根據(jù)一個條件得 到關(guān)于到關(guān)于a、b、c的齊次方程，結(jié)合的齊次方程，結(jié)合a2b2c2即可求出橢圓的離心率即可求出橢圓的離心率【例例3】 已知點已知點A，F(xiàn)分別是橢圓分別是橢圓 1(ab0)的右頂點和左焦點的右頂點和左焦點，點點 B 為橢圓的一個短軸端點，若為橢圓的一個短軸端點，若 0，則橢圓的離心率則橢圓的離心率e為為 () A. B. C. D.思維點撥思維點撥：尋找：尋找|BO|2|FO|OA|，轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為a、b、c的關(guān)系式，再整理為關(guān)于的關(guān)系式，再整

14、理為關(guān)于e的的方程可解得方程可解得 0，BFBA，又，又BOFA，|BO|2 |FO|OA|，即即b2ac.a2c2ac，e2e10.又又0eb0）的左焦點為）的左焦點為F，右頂點為，右頂點為 A A，點，點 B 在橢圓在橢圓 上，且上，且BF x 軸，直線軸，直線 ABAB 交交 y y 軸于點軸于點 P P. .若若 則橢圓的離心則橢圓的離心 率是率是() A. B. C. D. 解析解析 OA2OF，a2c，e . 答案：答案：D比如比如ac，ac是橢圓上的點到其焦點距離的最大值和最小值；通徑長是橢圓上的點到其焦點距離的最大值和最小值；通徑長 是過橢圓是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長

15、的最小值等，解決與橢圓相關(guān)的最值問題一般要化焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值等，解決與橢圓相關(guān)的最值問題一般要化歸為函數(shù)問題，然后去求函數(shù)的最值或利用橢圓定義與不等式聯(lián)手求最值歸為函數(shù)問題，然后去求函數(shù)的最值或利用橢圓定義與不等式聯(lián)手求最值【例例4】 已知點已知點P為橢圓為橢圓 1(ab0)上一點上一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦分別為橢圓的左、右焦 點，求點，求|PF1|PF2|的最大值和最小值的最大值和最小值 解：解法一解：解法一：由橢圓的定義：由橢圓的定義：|PF1|PF2|2a； |PF1|PF2| a2(當且僅當當且僅當|PF1|PF2|時等號成立時等號成立)，可知，可知 |

16、PF1|PF2|最大值為最大值為a2. 由由|PF1|2a|PF2|，|PF1|PF2|(2a|PF2|)|PF2|PF2|22a|PF2|. 其中其中ac|PF2|ac，故，故|PF1|PF2|b2， 當當|PF2|ac或或|PF2|ac時，時，|PF1|PF2|b2.最小值為最小值為b2.解法二解法二：設(shè)：設(shè)P點坐標為點坐標為(x0，y0)，由橢圓的第二定義可得由橢圓的第二定義可得|PF1|aex0，|PF2|aex0.又又ax0a，可知當可知當x00時時，|PF1|PF2|取到最大值取到最大值a2；當當x0a，或或x0a時時，|PF1|PF2|取到最小值取到最小值b2.解法三解法三：設(shè)：

17、設(shè)P點坐標為點坐標為(acos ，bsin )，則則|PF1|PF2| a2c2cos2.當當cos20時時，|PF1|PF2|取到最大值取到最大值a2；當；當cos21 1時時，|PF1|PF2|取取到最小值到最小值b2.【方法規(guī)律方法規(guī)律】1橢圓中有一個十分重要的橢圓中有一個十分重要的OF1B2(如圖如圖)，它的三邊長分別它的三邊長分別 為為a、b、c.易見易見c2a2b2，且若記且若記OF1B2， 則則cos e.2橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)橢圓的定義中應(yīng)注意常數(shù)2a大于大于|F1F2|.因為當平面內(nèi)的動點因為當平面內(nèi)的動點 與定點與定點F1、F2的距離之和等于的距離之和等于|F1F2|時，

18、其動點軌跡就是線段時，其動點軌跡就是線段 F1F2；當平面內(nèi)的動點與定點；當平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和小于的距離之和小于|F1F2| 時，其軌跡不存在時，其軌跡不存在 3使用橢圓的第二定義時，一定要注意動點使用橢圓的第二定義時，一定要注意動點P P到焦點的距離與到對應(yīng)準到焦點的距離與到對應(yīng)準 線距離之比為常數(shù)線距離之比為常數(shù)e e. .若使用的焦點與準線不是對應(yīng)的，則上述之比就若使用的焦點與準線不是對應(yīng)的，則上述之比就 不再是常數(shù)了不再是常數(shù)了4 4在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對橢圓性質(zhì)有更多的了解在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對橢圓性質(zhì)有更多的了解， 如如：ac與與ac

19、分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值；分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值； 橢圓的通徑橢圓的通徑( (過焦點垂直于長軸的弦過焦點垂直于長軸的弦) )長長 ，過橢圓焦點的直線被，過橢圓焦點的直線被 橢圓所截得的弦長的最小值等橢圓所截得的弦長的最小值等. .(12分分)(20092009北京海淀北京海淀)如圖，矩形如圖，矩形ABCD中，中，AB，BC2.橢圓橢圓M的中心和的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于的離心率大于0.7.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髾E圓建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髾E圓M的方程；的方程；(2)過橢圓過橢圓M的中心作直線的中心作直線l與橢圓交于與橢圓交于P、Q兩點設(shè)橢圓的右焦點為兩點設(shè)橢圓的右焦點為F2，當，當PF2Q 時，求時，求PF2Q的面積的面積【規(guī)范解答規(guī)范解答】解解：如圖，建立直角坐標系，依題意：設(shè)橢圓方程：如圖，建立直角坐標系，依題意：設(shè)橢圓方程為為1(ab0)， 1分分(1)(1)依題意依題意： ，b1，a2b2c2 4分分橢圓橢圓M的離心率大于的離心率大于0.7，a24，b21，橢圓方程為橢圓方程為 y21 .6分分(2)因為直線