第11章-動量矩定理模板

1、第十一章第十一章 動量矩定理動量矩定理 質點和質點系的動量矩質點和質點系的動量矩 動量矩定理動量矩定理 剛體繞定軸轉動的微分方程剛體繞定軸轉動的微分方程 剛體對軸的轉動慣量剛體對軸的轉動慣量 質點系相對質心的動量矩定理質點系相對質心的動量矩定理 剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程引引 言言 由靜力學力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡由靜力學力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。 由剛體平面運動理論知：剛體的平面運動

2、可以分解由剛體平面運動理論知：剛體的平面運動可以分解為隨同基點的平動和相對基點的轉動。為隨同基點的平動和相對基點的轉動。 若將簡化中心和基點取在質心上，則動量定理（質若將簡化中心和基點取在質心上，則動量定理（質心運動定理）描述了剛體隨同質心的運動的變化和外力心運動定理）描述了剛體隨同質心的運動的變化和外力系主矢的關系。它揭示了物體機械運動規(guī)律的一個側面。系主矢的關系。它揭示了物體機械運動規(guī)律的一個側面。剛體相對質心的轉動的運動變化與外力系對質心的主矩剛體相對質心的轉動的運動變化與外力系對質心的主矩的關系將有本章的動量矩定理給出。它揭示了物體機械的關系將有本章的動量矩定理給出。它揭示了物體機械運

3、動規(guī)律的另一個側面。運動規(guī)律的另一個側面。11.1質點和質點系的動量矩一、質點的動量矩一、質點的動量矩xyzOMArvm)( vmmO 設質點設質點 某瞬時的動量為某瞬時的動量為 ，質點相對固定點質點相對固定點 的矢徑為的矢徑為 ，如，如圖。圖。質點質點M的動量對于點的動量對于點O的矩，的矩，定義為質點對于點定義為質點對于點O的動量矩的動量矩，即，即MvmOrvmrvmmO)( 垂直于垂直于 ，大小等于，大小等于 面積的二面積的二倍，方向由右手法則確定。倍，方向由右手法則確定。)( vmmOOMAOMA 類似于力對點之矩和力對軸之矩的關系，質點類似于力對點之矩和力對軸之矩的關系，質點對固定坐標

4、軸的動量矩等于質點對坐標原點的動量對固定坐標軸的動量矩等于質點對坐標原點的動量矩在相應坐標軸上的投影矩在相應坐標軸上的投影，即即zOzvmmvmm)()(質點對固定軸的動量矩是代數(shù)量，其正負號可由右質點對固定軸的動量矩是代數(shù)量，其正負號可由右手法則來確定。動量矩是瞬時量。在國際單位制中，手法則來確定。動量矩是瞬時量。在國際單位制中，動量矩的單位是動量矩的單位是smkg/211.1質點和質點系的動量矩二、質點系的動量矩二、質點系的動量矩 1、質點系對固定點的動量矩、質點系對固定點的動量矩 設質點系由設質點系由 個質點組成，其中第個質點組成，其中第 個質點的個質點的動量為動量為 ，對任一固定點的動

5、量矩為，對任一固定點的動量矩為 ，則質點系對固定點則質點系對固定點 的動量矩為的動量矩為niiivmiivmrOiiiiiOOvmrvmmL)(即：即：質點系對任一固定點質點系對任一固定點O的動量矩定義為質點系的動量矩定義為質點系中各質點對固定點動量矩的矢量和中各質點對固定點動量矩的矢量和。 2、質點系對固定軸的動量矩、質點系對固定軸的動量矩 以固定點以固定點O為原點建立直角坐標軸，將上式投為原點建立直角坐標軸，將上式投影到影到 軸上，則有軸上，則有z)()(iizziiOzvmmvmmL即：即：質點系對任一固定軸的動量矩定義為質點系質點系對任一固定軸的動量矩定義為質點系中各質點對該固定軸動量

6、矩的代數(shù)和中各質點對該固定軸動量矩的代數(shù)和。11.1質點和質點系的動量矩二、質點系的動量矩二、質點系的動量矩 3、平動剛體的動量矩、平動剛體的動量矩xyzCiMCvivO 設平動剛體的質量為設平動剛體的質量為 ，質心，質心 的速度為的速度為 。其上任一點。其上任一點 的質量的質量為為 ，速度為，速度為 ，則，則 。任選。任選一固定點一固定點 ，則有，則有mCviMimivCivvOCiiiiiOvrmvmrL)(由于由于 ，所以，所以CiirmrmCCOvmrL即：即：平動剛體對任一固定點的動量矩等于視剛體為平動剛體對任一固定點的動量矩等于視剛體為質量集中于質心的質點對該固定點的動量矩質量集中

7、于質心的質點對該固定點的動量矩。 11.1質點和質點系的動量矩二、質點系的動量矩二、質點系的動量矩 4、轉動剛體對轉軸的動量矩、轉動剛體對轉軸的動量矩ziMiriivm 設剛體繞定軸設剛體繞定軸 轉動的角速度為轉動的角速度為 ，剛體上任一質點剛體上任一質點 的質量為的質量為 ，到轉軸，到轉軸的距離為的距離為 ，則其速度的大小，則其速度的大小為為 ，于是有，于是有z)()(2iiiiiiizzrmrvmvmmL令令2iizrmJ 稱為剛體對轉軸稱為剛體對轉軸 的的轉動慣量轉動慣量，于是有，于是有zJzzzJL 即：即：定軸轉動剛體對轉軸的動量矩等于剛體對轉軸定軸轉動剛體對轉軸的動量矩等于剛體對轉

8、軸的轉動慣量與剛體角速度的乘積的轉動慣量與剛體角速度的乘積。iMimiriirv 11.1質點和質點系的動量矩二、質點系的動量矩二、質點系的動量矩rOAvm 例1 均質圓盤可繞軸 轉動，其上纏有一繩，繩下端吊一重物 。若圓盤對轉軸 的轉動慣量為 ，半徑為 ，角速度為 ，重物 的質量為 ，并設繩與原盤間無相對滑動，求系統(tǒng)對軸 的動量矩。OAOJrA 解：)(22JmrJmrJmvrLLLO盤塊 的轉向沿逆時針方向。OLmO11.2動 量 矩 定 理一、質點的動量矩定理一、質點的動量矩定理xyzOMArvm)( vmmOF)(FmO 設質點對固定點設質點對固定點 的動量矩的動量矩為為 ，作用力，作

9、用力 對同一點對同一點的矩為的矩為 ，如圖所示。，如圖所示。O)( vmmOF)(FmO 將動量矩對時間取一次導數(shù)，將動量矩對時間取一次導數(shù)，得得)()()(vmdtdrvmdtrdvmrdtdvmmdtdO由由 ，且，且 ，則上式可改寫為，則上式可改寫為Fvmdtd)(vdtrdFrvmvvmmdtdO)(因為因為 ， ，于是得，于是得0vmv)(FmFrO)()(FmvmmdtdOO11.2動 量 矩 定 理一、質點的動量矩定理一、質點的動量矩定理即：即：質點對某固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，質點對某固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于質點所受的力對同一點的矩等于質點所受的力對同一點的矩

10、。這就是。這就是質點的動質點的動量矩定理量矩定理。 將上式投影在直角坐標軸上，并將對點的動量矩將上式投影在直角坐標軸上，并將對點的動量矩與對軸的動量矩的關系代入，得與對軸的動量矩的關系代入，得)()(Fmvmmdtdxx)()(Fmvmmdtdyy)()(Fmvmmdtdzz即：即：質點對某固定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)等質點對某固定軸的動量矩對時間的一階導數(shù)等于質點所受的力對同一軸的矩于質點所受的力對同一軸的矩。11.2動 量 矩 定 理一、質點的動量矩定理一、質點的動量矩定理 在特殊情況下，若在特殊情況下，若 ，則，則0)(FmO常矢量)( vmmO 若若 ，則，則0)(Fmz常量)( v

11、mmz即：即：若作用在質點上的作用力對某固定點（或固定若作用在質點上的作用力對某固定點（或固定軸）之矩恒等于零，則質點對該點（或該軸）的動軸）之矩恒等于零，則質點對該點（或該軸）的動量矩為常矢量（或常量）。量矩為常矢量（或常量）。這就是這就是質點的動量矩守質點的動量矩守恒定理恒定理。11.2動 量 矩 定 理一、質點的動量矩定理一、質點的動量矩定理OlMvgmNxy 例2 圖示為一單擺（數(shù)學擺），擺錘質量為 ，擺線長為 ，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動），它就在經過 點的鉛垂平面內擺動。求此單擺在微小擺動時的運動規(guī)律。mlO 解：以擺錘為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。在任一瞬時，擺錘

12、的速度為 ，擺的偏角為 ，則 v2)(mlmvlvmmzsin)(mglFmz式中負號表示力矩的正負號恒與角坐標 的正負號相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。11.2動 量 矩 定 理一、質點的動量矩定理一、質點的動量矩定理由 ，得)()(Fmvmmdtdzzsin)(2mglmldtd即0sinlg 這就是單擺的運動微分方程。當 很小時擺作微擺動， ，于是上式變?yōu)閟in0lg 此微分方程的解為)sin(tlgA其中 和 為積分常數(shù)，取決于初始條件?？梢妴螖[的微幅擺動為簡諧運動。擺動的周期為AglT2顯然，周期只與 有關，而與初始條件無關。l11.2動 量 矩 定 理二、質點系的動

13、量矩定理二、質點系的動量矩定理 設質點系內有設質點系內有 個質點，作用于每個質點的力分個質點，作用于每個質點的力分為外力為外力 和內力和內力 。由質點的動量矩定理有。由質點的動量矩定理有neiFiiF)()()(iiOeiOiiOFmFmvmmdtd這樣的方程共有這樣的方程共有 個，相加后得個，相加后得n)()()(iiOeiOiiOFmFmvmmdtd由于內力總是成對出現(xiàn)，因此上式右端的底二項由于內力總是成對出現(xiàn)，因此上式右端的底二項0)(iiOFm上式左端為上式左端為OiiOiiOLdtdvmmdtdvmmdtd)()(于是得于是得)(eiOOFmLdtd11.2動 量 矩 定 理二、質點

14、系的動量矩定理二、質點系的動量矩定理即：即：質點系對某固定點質點系對某固定點O的動量矩對時間的導數(shù)，的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對于同一點的矩的矢量和等于作用于質點系的外力對于同一點的矩的矢量和。這就是這就是質點系的動量矩定理質點系的動量矩定理。應用時，取投影式應用時，取投影式)(eixxFmLdtd)(eiyyFmLdtd)(eizzFmLdtd即：即：質點系對某固定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等質點系對某固定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對于同一軸的矩的代數(shù)和。于作用于質點系的外力對于同一軸的矩的代數(shù)和。11.2動 量 矩 定 理二、質點系的動量矩定理二、質點系

15、的動量矩定理 在特殊情況下，若在特殊情況下，若 ，則，則0)(FmO常矢量OL 若若 ，則，則0)(Fmz常量zL即：即：若作用在質點系上的作用力對某固定點（或固若作用在質點系上的作用力對某固定點（或固定軸）之矩恒等于零，則質點系對該點（或該軸）定軸）之矩恒等于零，則質點系對該點（或該軸）的動量矩為常矢量（或常量）。的動量矩為常矢量（或常量）。這就是這就是質點系的動質點系的動量矩守恒定理量矩守恒定理。11.2動 量 矩 定 理二、質點系的動量矩定理二、質點系的動量矩定理OOXOYMgm1gm2vN例3 高爐運送礦石的卷揚機如圖。已知鼓輪的半徑為 ，質量為 ，繞 軸轉動。小車和礦石的總質量為 。

16、作用在鼓輪上的力偶矩為 ，鼓輪對轉軸的轉動R慣量為 ，軌道傾角為 。設繩質量和各處摩擦不計，求小車的加速度 。 解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時針為正，則vRmJLO2RgmMFmeOsin)(2由 ，有)(eiOOFmLdtdRgmMvRmJdtdsin)(221mO2mMJa11.2動 量 矩 定 理二、質點系的動量矩定理二、質點系的動量矩定理因 ， ，于是解得Rvadtdv2222sinRmJgRmMRa若 ，則 ，小車的加速度沿軌道向上。RgmMsin20a 必須強調的是：為使動量矩定理中各物理量的正負號保持協(xié)調，動量矩和力矩的正負號規(guī)定必須完全一致。11.2動 量 矩 定 理二

17、、質點系的動量矩定理ABCDz0aallCABDzaall例4 水平桿AB長為 ，可繞鉛垂軸 轉動，其兩端各用鉸鏈與長為 的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結重為 的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛垂時，這系統(tǒng)繞 軸的角速度為 （如圖）。如某時此細線拉斷后，桿AC和BD各與鉛垂線成 角。不計各桿的質量，求這時系統(tǒng)的角速度 。a2zlPz0 解：以系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這些力對轉軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對轉軸的動量矩守恒，即21zzLL11.2動 量 矩 定 理二、質點系的動量矩定理二、質點系的動量矩定理ABDzaallABCDz0aall其中

18、02012)(2agPaagPLz22)sin(2lagPLz于是202)sin(22lagPagP由此求出斷線后的角速度為022)sin(laa顯然，此時的角速度 。 0OAOXu11.2動 量 矩 定 理二、質點系的動量矩定理二、質點系的動量矩定理 例5 一繩跨過定滑輪，其一端吊有質量為 的重物 ，另一端有一質量為 的人以速度 相對細繩向上爬。若滑輪半徑為 ，質量不計，并且開始時系統(tǒng)靜止，求人的速度。mmAur 解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。gmgmOY由于 ，且系統(tǒng)初始靜止，所以 。0)(eOFm0OLuavvve 設重物A上升的速度為 ，則人的絕對速度 的大小為vavvuva所以0m

19、vrrmvLaO即0)(mvrrvumLO11.2動 量 矩 定 理二、質點系的動量矩定理二、質點系的動量矩定理由上式解得重物A的速度為2uv 于是人的絕對速度為2uva由上可知，人與重物A具有相同的的速度，此速度等于人相對繩的速度的一半。如果開始時，人與重物A位于同一高度，則不論人以多大的相對速度爬繩，人與重物A將始終保持相同的高度。11.3剛體定軸轉動的微分方程ziMiriivmABAXAYAZBXBY1F2FnF 設剛體繞定軸設剛體繞定軸 轉動，受力如轉動，受力如圖所示。設剛體對軸圖所示。設剛體對軸 的轉動慣量的轉動慣量為為 ，則，則 ，由，由zzzJzzJL )(ezzFmLdtd得得

20、)(ezzFmJ)(ezzFmdtdJ)(22ezzFmdtdJ即：即：剛體對定軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等剛體對定軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動力對該軸的矩的代數(shù)和于作用于剛體上的主動力對該軸的矩的代數(shù)和。以。以上各式均稱為上各式均稱為剛體繞定軸轉動的微分方程剛體繞定軸轉動的微分方程。應用剛。應用剛體定軸轉動的微分方程可以解決動力學兩類問題。體定軸轉動的微分方程可以解決動力學兩類問題。11.3剛體定軸轉動的微分方程 例6 如圖所示，已知滑輪半徑為R ，轉動慣量為 ，帶動滑輪的皮帶拉力為 和 。求滑輪的角加速度 。RRO1F2F 解：由剛體定軸轉動的微分方程)(21F

21、FRJ于是得JRFF)(21由上式可見，只有當定滑輪勻速轉動（包括靜止）或雖非勻速轉動，但可忽略滑輪的轉動慣量時，跨過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。J1F2F11.3剛體定軸轉動的微分方程OgmCa 例7 圖示物理擺的質量為 ， 為其質心，擺對轉軸的轉動慣量為 。求微小擺動的周期。mCOJ 解：設 角以逆時針方向為正。當 角為正時，重力對 點之矩為負。由剛體定軸轉動的微分方程，有OsinmgaJO 當微擺動時，有 ，故方程寫為0OJmga 此方程通解為)sin(0tJmgaO 為角振幅， 為初相位。它們均由初始條件確定。0擺動周期為mgaJTO2sin11.3剛體定軸轉動的微分方程 如將上式改寫

22、為224mgaTJO這就表明，如已知某物體的質量和質心位置，并將物體懸掛于 點作微幅擺動，測出擺動周期后即可計算出此物體對于 軸的轉動慣量。OOM0 例8 如圖，飛輪對轉軸的轉動慣量為 ，以初角速度 繞水平軸轉動，其阻力矩 （ 為常數(shù)）。求經過多長時間，角速度降至初角速度的一半，在此時間內共轉多少轉。J0 解：以飛輪為研究對象，由剛體定軸轉動的微分方程，有dtdJ（1）M11.3剛體定軸轉動的微分方程將（1）式變換，有dtdJ將上式求定積分，得tdtdJ02002ln2ln00JJt將（1）式改寫為dtddtdJ即dJd將上式求定積分，得0002dJd轉過的角度為002J因此轉過的轉數(shù)4200

23、Jn11.3剛體定軸轉動的微分方程1O2OM1r2r例9 如圖所示，嚙合齒輪各繞定軸 、 轉動，其半徑分別為 、 ，質量分別為 、 ，轉動慣量分別為 、 ，今在輪 上作用一力矩 ，求其角加速度。2O1O2Ogm22OX2OYFnF1OMgm11OX1OYFnF 解：分別以兩輪為研究對象，受力如圖，由剛體定軸轉動的微分方程，有111rFMJ222rFJ由運動學關系，得2211rr注意到 ，聯(lián)立求解以上三式得FF212221221rJrJMr1r2r2m1m1J2J1OM11.4轉 動 慣 量一、轉動慣量的概念一、轉動慣量的概念 由前知，剛體對軸由前知，剛體對軸 的轉動慣量定義為：的轉動慣量定義為

24、：剛體剛體上所有質點的質量與該質點到軸上所有質點的質量與該質點到軸 的垂直距離的平的垂直距離的平方乘積的算術和方乘積的算術和。即。即zz2iizrmJ對于質量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式對于質量連續(xù)分布的剛體，上式可寫成積分形式dmrJz2 由定義可知，轉動慣量不僅與質量有關，而且與質量的分布有關；在國際單位制中，轉動慣量的單位是： 。同一剛體對不同軸的轉動慣量是不同的，而它對某定軸的轉動慣量卻是常數(shù)。因此在談及轉動慣量時，必須指明它是對哪一軸的轉動慣量。2mkg11.4轉 動 慣 量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量 1、均質細桿對過質心和端點且垂直于桿軸線軸

25、的轉動慣量Oz1z2l2lxxdx 取桿的軸線為 軸， 軸的位置如圖。在距 軸為 處取一長度為 的微段，它的質量為xzzxdxdxlMdm 2222121MldxxlMJllzz，對于 的轉動慣量為 。于是整個細長桿對于 軸的轉動慣量為dxxlMdmx22z同法可得對 軸的轉動慣量為1z2222222131)2()2()2(MlxldxllMdxxllMJllllz11.4轉 動 慣 量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量 2、細圓環(huán)對過質心垂直于圓環(huán)平面軸的轉動慣量zR 設細圓環(huán)的質量為 ，半徑為 。則MR222)(MRRmrmJiiizxyRrdr 3、薄圓板對過質

26、心垂直于板平面軸的轉動慣量 設細圓環(huán)的質量為 ，半徑為 。則 ，圓環(huán)的質量為 ，于是圓板轉動慣量為MR2RMrdrdm22022212MRrdrrdmrJRz11.4轉 動 慣 量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量 4、圓柱體對其中心軸的轉動慣量z 設圓柱體的質量為 ，半徑為 ，則MR22221)(2121MRRmRmJiiz 5、薄平面的轉動慣量 取如圖坐標軸。任取微面元 ，其質量為 ，則iSxyzOixiyir2iiyxmJ2iixymJ22222)(iiiiiiiiizymxmyxmrmJ于是得到薄平板對三坐標軸的轉動慣量之間的關系式，即yxzJJJiSim11

27、.4轉 動 慣 量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量二、規(guī)則形狀均質剛體的轉動慣量 對于薄圓板，注意到它關于直徑的對稱性，有24121MRJJJzyxxy2a2a2b2b 6、矩形薄平板的轉動慣量 設板的質量為 ，則M222121)(121121MaamamJiiy同理2121MbJx而它對垂直于板平面的質心軸 的轉動慣量為z)(12122baMJJJyxz11.4轉 動 慣 量三、轉動慣量的平行軸定理三、轉動慣量的平行軸定理 定理：定理：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對于通過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加對于通過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛

28、體的質量與兩軸間距離平方的乘積上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積，即，即2MdJJzCzx1x)(1yyz1z1xx y1y1zz 1rrdiMOC 證明：如圖所示，作直角坐標系，則)(212121yxmrmJiizC)(222yxmrmJiiz因為 ， ，于是1xx dyy1iiiizmdymdyxmdyxmJ21212121212)()(11.4轉 動 慣 量三、轉動慣量的平行移軸定理三、轉動慣量的平行移軸定理 由質心坐標公式 ，當坐標原點取在質心 時， ， ，又有 ，于是得MymyiC1C0Cy0iiymMmi2MdJJzCz證畢。 由定理可知：由定理可知：剛體對于所有平行軸的轉動慣量，

29、剛體對于所有平行軸的轉動慣量，過質心軸的轉動慣量最小過質心軸的轉動慣量最小。11.4轉 動 慣 量三、轉動慣量的平行移軸定理三、轉動慣量的平行移軸定理 C1zz2zab 例10 如圖所示，已知均質桿的質量為 ，對 軸的轉動慣量為 ，求桿對 的轉動慣量 。M1z1J2z2J 解：由 ，得2MdJJzCz21MaJJzC（1）22MbJJzC（2）得) 1 ()2()(2212abMJJ11.4轉 動 慣 量四、組合剛體的轉動慣量 l 2OABll 2OABll 2 例11 均質直角折桿尺寸如圖，其質量為 ，求其對軸 的轉動慣量。m3O 解：22225)2)(2()2)(2(12131mllmlm

30、mlJJJABOAOOABll 211.4轉 動 慣 量四、組合剛體的轉動慣量 z12R22Rl例12 如圖所示，質量為 的均質空心圓柱體外徑為 ，內徑為 ，求對中心軸 的轉動慣量。zm1R2R 解：空心圓柱可看成由兩個實心圓柱體組成，外圓柱體的轉動慣量為 ，內圓柱體的轉動慣量為 取負值，即內外JJJz外J內J設 、 分別為外、內圓柱體的質量，則1m2m21121RmJ外22221RmJ內于是2222112121RmRmJz11.4轉 動 慣 量四、組合剛體的轉動慣量 設單位體積的質量為 ，則lRm211lRm222代入前式得)(21)(21222122214241RRRRlRRlJzmRRl

31、)(2221注意到 ，則得)(212221RRmJz11.4轉 動 慣 量五、回轉半徑（慣性半徑）五、回轉半徑（慣性半徑） 在工程上常用回轉半徑來計算剛體的轉動慣量，其定義為mJzz 稱為剛體對 軸的回轉半徑。顯然 具有常度的單位。如果已知回轉半徑 ，則剛體對轉軸 的轉動慣量為zzzzz2zzmJ 回轉半徑的幾何意義是：假想地將剛體的質量集中到一點處，并保持剛體對軸的轉動慣量不變，則該點到軸的距離就等于回轉半徑的長度。 由定義知，回轉半徑僅與剛體的形狀有關，而與剛體的材質（即與剛體的質量）無關。即幾何形狀相同，材質不同的均質剛體，其回轉半徑相同。11.5質點系相對質心的動量矩定理OxyzCxy

32、zimCriririv 如圖所示如圖所示， 為固定點，為固定點， 為質點系的質心，質點系對于固為質點系的質心，質點系對于固定點的動量矩為定點的動量矩為OCiiiiiOOvmrvmML)(對于任一質點對于任一質點 ，由圖可見，由圖可見imiCirrr于是于是iiiiiCiiiCOvmrvmrvmrrL )(由于由于 ，Ciivmvm令令 ，它是質，它是質iiiCvmrL 點系相對于質心的動量矩。于是得點系相對于質心的動量矩。于是得CCCOLvmrL即：即：質點系對任一點質點系對任一點 O的動量矩等于集中于質心的的動量矩等于集中于質心的系統(tǒng)動量系統(tǒng)動量 對于對于O點的動量矩再加上此系統(tǒng)對于點的動量

33、矩再加上此系統(tǒng)對于質心的動量矩質心的動量矩 （應為矢量和）。（應為矢量和）。CLCvm11.5質點系相對質心的動量矩定理 質點系對于固定點質點系對于固定點O的動量矩定理可寫成的動量矩定理可寫成eiiCCCOFrLvmrdtddtLd)(展開上式括弧，注意右端項中展開上式括弧，注意右端項中 ，于是上式，于是上式化為化為iCirrreiieiCCCCCCFrFrdtLdvmdtdrvmdtrd 因為因為 ， ， ， ，于，于是上式成為是上式成為CCvdtrdCCadtvd0CCvmveiCFameiiCFrdtLd 上式右端是外力對質心的主矩，于是得上式右端是外力對質心的主矩，于是得)(eiCCF

34、MdtLd11.5質點系相對質心的動量矩定理 即：即：質點系相對于質心的動量矩對時間的導數(shù)，質點系相對于質心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點系的外力對質心的主矩等于作用于質點系的外力對質心的主矩。這就是。這就是質質點系相對于質心的動量矩定理點系相對于質心的動量矩定理。OArc)(rb)( 例13 均質圓盤質量為 ，半徑為 。細桿OA質量為 ，長為 ，繞軸O轉動的角速度為 、求下列三種情況下系統(tǒng)對軸O的動量矩：m2rmrl3(a)圓盤與桿固結；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度 逆 時針方向轉動； (c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度 順 時針方向轉動。OA解：(a)222222222183)

35、3(2)2(2131mrmrmrmrrmrmmlJO11.5質點系相對質心的動量矩定理222mrJLOOOArb)(OArc)(b)0A22222211833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO桿盤桿(c)2A222222222318)2(31833)3)(2(3)2()(mrmrmrmrmrmrmrrrmJmrmvmLJLLLAAAAOAO桿盤桿11.6剛體平面運動微分方程 由剛體平面運動理論知：平面運由剛體平面運動理論知：平面運動剛體的位置可由基點的位置與剛體動剛體的位置可由基點的位置與剛體繞基點的轉角確定。取質心為基點，繞基點的轉角確定。取質

36、心為基點，如圖所示，則剛體的位置可有質心坐如圖所示，則剛體的位置可有質心坐標和標和 角確定。剛體的運動可分解為角確定。剛體的運動可分解為隨同質心的平動和相對質心的轉動兩隨同質心的平動和相對質心的轉動兩CDxyxyO部分。取如圖的動坐標系，則剛體繞質心的動量矩部分。取如圖的動坐標系，則剛體繞質心的動量矩為為CCJL 為剛體過質心且垂直于圖示平面軸的轉動慣量。為剛體過質心且垂直于圖示平面軸的轉動慣量。CJCxyxyOnF1F3F2F 設剛體在力設剛體在力 、 、 、 作作用下作平面運動，由質心運動定理用下作平面運動，由質心運動定理和相對質心的動量矩定理得和相對質心的動量矩定理得1FnF2F eCF

37、aM)()(eCCCCFmJJdtddtdL11.6剛體平面運動微分方程上式也可寫成上式也可寫成eCFdtrdM22)(22eCCFmdtdJ以上兩式稱為以上兩式稱為剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程。應用時，前。應用時，前一式取其投影式。即一式取其投影式。即)(eCCeCeCFmJYyMXxM )(2eCCeneFmJFvMFdtdvM 或或11.6剛體平面運動微分方程C 例14 一均質圓柱，重 ，半徑為 ，無初速地放在傾角為 的斜面上，不計滾動阻力，求其質心的加速度。WrCNFW 解：以圓柱體為研究對象，受力如圖。圓柱體在斜面上的運動形式，取決于接觸處的光滑程度，下面分三種情況進行討

38、論：CNWCaOxy （1）設接觸處完全光滑 此時圓柱作平動，由質心運動定理eCxXMa即sinWagWC得圓柱質心的加速度singaC11.6剛體平面運動微分方程CNWCaOxyF （2）設接觸處相當粗糙 此時圓柱作純滾動，這時滑動摩擦力 。由maxFF )(eCCeCyeCxFmJYMaXMa有FWagWCsin（1）cos0WN （2）FrrgW221（3）由純滾動條件有raC（4） 由（1）、（3）、（4）式解得sin32gaC同時可解得sin3121WagWFC由于圓柱作純滾動，故cosmaxfWfNFF11.6剛體平面運動微分方程所以：sin31cosWfW，可得tgf31這就是圓

39、柱體在斜面上作純滾動的條件。 （3）設不滿足圓柱體在斜面上作純滾動的條件，即當 時，則圓柱體在斜面上既滾動又滑動。在這種情況下，關系式（4） 不成立。 設圓柱體沿斜面滑動的動摩擦系數(shù)為 ，則滑動摩擦力f cosWfNfF（5）于是，由式（1）、（2）、（3）、（5）聯(lián)立解得rf gcos2)cos(sinfgaCtgf31raC13.6剛體平面運動微分方程OABC 例15 均質圓柱體A和B重量均為 ，半徑均為 。圓柱A可繞固定軸O轉動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時，質心C點的加速度。摩擦不計。OAPTOXOYABCPTBDCax 解：分別以A、B為研究對象，受力如圖。A

40、作定軸轉動，B作平面運動。對A和B分別應用定軸轉動的微分方程和平面運動的微分方程，有TrJAA（1）TPagPC（2）rTJBC （3）其中221rgPJJCATT（4）Pr13.6剛體平面運動微分方程由運動學關系ADra)(BABDCrraa（5）聯(lián)立求解（1）（5），得gaC54OABCOABC13.6剛體平面運動微分方程例16 均質桿質量為 ，長為 ，在鉛直平面內一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑下。不計摩擦，求開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束反力。mlABCgmxyABCgmANBN 解：以桿AB為研究對象，受力如圖。桿作平面運動，設質心C的加速度為 、 ，

41、角加速度為 ，如圖。由剛體平面運動微分方程CxaCyaABCCxaCyaBaAaACaBCa)(eCCeCyeCxFmJYMaXMa有BCxNma（1）mgNmaACy（2）cos2sin2lNlNJBAC（3）13.6剛體平面運動微分方程ABCCxaCyaBaAaACaBCa 以C點為基點，則A點的加速度為nACACCAaaaa在運動開始時， ，故 ，將上式投影到 軸上，得00nACasin0ACCyaa所以sin2sinlaaACCy（4） 再以C點為基點，則B點的加速度為nBCBCCBaaaa同理，在運動開始時， ，故 ，將上式投影到 軸上，得00nBCacos0CBCxaa所以cos2coslaaCBCx（5）13.6剛體平面運動微分方程 聯(lián)立求解（1）（5）式，并注意到2121mlJC可得sin23lg)sin431 (2 mgNAcossin43mgNBABCgmxy注： 亦可由坐標法求出（4）、（5）式：sin2lxCcos2lyCcos2lxCsin2lyC cos2sin22llxC sin2cos22llyC運動開始時， ，故0cos2lxaCCx sin2lyaCCy 13.6剛體平面運動微分方程AB