九年級數(shù)學(xué)切割線定理

1、切 割 線 定 理四川省閬中東風(fēng)中學(xué)校宋興軍 已知：線段a，b 求作：線段c，使c2ab 反思：這個作圖題是作兩已知線段的比例中項(xiàng)的問題，可以當(dāng)作基本作圖加以應(yīng)用請同學(xué)們想一想，這到題還有別的作法嗎？ ABCDabcAabcODCB 相交弦定理：相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等等 PAPB = PDPC 推論推論: : 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) ABPCDOABCDPOPC2=PAPB 練習(xí)練習(xí) : o的弦的

2、弦 CD平分平分AB于于P, 且且AB=12cm,CD=13cm 試求試求: PC 和和 PD 的長的長. ABPCDOPABDCTAABPCDCDPA PB = PD PCPA PB = PD PC(C , D)PT2 =PAPBPAPB=PCPD 嗎嗎?嗎嗎?BP 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是 這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例 中項(xiàng)。 即 PT2 =PAPB已知：如下圖，點(diǎn)已知：如下圖，點(diǎn)P P是是oo外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，PTPT是切線，是切線，T T是切點(diǎn)，是切點(diǎn)， PAPA是割線是割線 , , 點(diǎn)點(diǎn)A A和和B B是它與是它與oo的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。求證：求證：PTPT

3、2 2 =PA =PA PBPBTPAB1證明: 1= B P= PPTA PBTPA:PT=PT:PBPT2 =PAPB連結(jié)TA，TB問題：如下圖，點(diǎn)問題：如下圖，點(diǎn)P是是 o外一點(diǎn)，過外一點(diǎn)，過P點(diǎn)向圓作兩條點(diǎn)向圓作兩條 直線直線 與圓相交得四條線段與圓相交得四條線段 PA與與PB及及PC與與PD 它們有等積關(guān)系它們有等積關(guān)系 PAPB=PCPD 嗎嗎? 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，從這一點(diǎn)到從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，從這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積 相等相等. 即即 PAPB = PCPD 切割線定理 推 論T=PT2練習(xí)一: 如下圖如下圖,

4、,圓圓o o的兩條弦的兩條弦ABAB和和CDCD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E,ACE,AC和和DBDB 的延長線交于的延長線交于P,P,下列結(jié)論成立的是下列結(jié)論成立的是( ).( ). (A) PC CA=PB BD (B) CE AE=BE ED (C) CE CD=BE BA (D) PB PD=PC PAPT2 =PAPBPCPD =PAPBPAPB = PDPCD練習(xí)二： 1. 過圓O外一點(diǎn)P, 作兩條割線PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6。則CD= ? 2。 已知PT切圓O于T，PAB為圓O的割線， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 則PB= ？CD =

5、4.4PB = 4例3 已知:如圖, O的割線PAB交 O于點(diǎn)A和B，PA=6cm，AB=8 cm，PO=10.9cm，求 O的半徑。解:設(shè) O的半徑為r,PO和它的延長線交 O于C、D，由切割線定理的推論，有：PAPB = PDPCPA=6 PB=6+8=14 PC=10.9-r PD=10.9+r故 (10.9-r ) (10.9+r)=614取正數(shù)解,得r=5.9(cm)答: O的半徑為5.9cm另解 利用垂徑定理法三: 利用切割線定理T練習(xí)三：如圖，圓o1和圓o2都經(jīng)過點(diǎn)A和 B，點(diǎn)P在BA的延長線上。過點(diǎn)P作圓O1的割線PMN交圓O1于M .N，作圓O2的切線PC交圓O2于C。求證：

6、PMPN =PC2。 P NBACMo1o2證明:PC切圓切圓O2于于CPAB是圓是圓O2的割線的割線PC2 = PAPBPAB是圓是圓O1的割線的割線PMN是圓是圓O1的割線的割線PAPB = PMPN PMPN =PC2PBAo1o2練習(xí)四：如圖，圓o1和圓o2都經(jīng)過點(diǎn)A和 B，點(diǎn)P在BA的延長線上。過點(diǎn)P作圓O1的切線PC切圓O1于C，作圓O2的切線PD切圓O2于D。求證：PC =PD。 C DPBAo1CD練習(xí)五：如圖，圓o1，圓o2，圓o3都經(jīng)過點(diǎn)A和 B，點(diǎn)P是BA的延長線上一點(diǎn)。PC，PD，PE 分別與圓o1，圓o2，圓o3 相切于C，D，E ，求證：C，D，E 在同一個圓上。提

7、示：PC = PD = PE Eo3o2練習(xí)六 P114 2. 解：解： RtABC中，中，ACBCAC為圓為圓O的直徑的直徑BC切圓切圓O于于CBDA為圓為圓O的割線的割線BC2=BDBARtABC中中AC=3; BC=4.AB=5BC=4BD=3.2 (cm)ACBD O提 示： 法一：BC是為圓O的切線 法二： 連接CD ,射影定理。提高題：如圖，PA切圓O于A，PBC是圓O的割線，D是PA的中點(diǎn)，DC交圓O于E。 求證：1）PD2=DEDC；2） 1= C。PAEBCO 1FG分析：分析： 思考題: 若延長若延長PE交圓交圓O于于F,BF交交CD于于G求證求證: PCBG=PD BCDP1. PD=DA且且DA2=DE DC2. PD:DE=DC:PD PDE= CDP則則: PDE CDP從而從而: