高等數(shù)學(xué)第8章五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式最終

1、1隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理小結(jié)小結(jié) implicit function 8.5 隱函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式第第8 8章章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 隱函數(shù)在實(shí)際問題中是常見的隱函數(shù)在實(shí)際問題中是常見的.平面曲線方程平面曲線方程空間曲面方程空間曲面方程空間曲線方程空間曲線方程下面討論如何由下面討論如何由隱函數(shù)方程隱函數(shù)方程0),( yxF0),( zyxF 0),(0),(zyxGzyxF如如求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù).3先變形方程先變形方程方程兩邊對方程兩邊對x求導(dǎo)求導(dǎo),arctan)ln(2122xyyx ,)(1122212222xyxyx

2、yyxyyx yxyyyx .ddxyyxxy 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 推導(dǎo)法推導(dǎo)法解解（一元隱函數(shù)求導(dǎo)法）（一元隱函數(shù)求導(dǎo)法）習(xí)題習(xí)題8.5 P102 2引例引例:已知已知 確定確定 , 求求)(xy )(xyy 0 xyeyx一般地一般地 , , 可確定可導(dǎo)函數(shù)可確定可導(dǎo)函數(shù) , , 除了兩側(cè)同時求導(dǎo)，還可以如何求導(dǎo)除了兩側(cè)同時求導(dǎo)，還可以如何求導(dǎo)? ?)(xyy 0)y, x(F 0)yxy()y1(eyx 注意此方程能確定一個一元函數(shù)，是在注意此方程能確定一個一元函數(shù)，是在y可導(dǎo)的前可導(dǎo)的前提下進(jìn)行的提下進(jìn)行的并不一定都能確定一元并不一定都能確定一元函

3、數(shù)函數(shù)01yx22 顯然這方程當(dāng)顯然這方程當(dāng)x,y無論取什么實(shí)數(shù)都不滿足這方無論取什么實(shí)數(shù)都不滿足這方程，從而這個方程不能確定函數(shù)程，從而這個方程不能確定函數(shù)y=f(x).綜上所述，在隱函數(shù)求導(dǎo)前，必須明確兩個問題：綜上所述，在隱函數(shù)求導(dǎo)前，必須明確兩個問題：.在什么條件下，方程可以確定隱函數(shù)在什么條件下，方程可以確定隱函數(shù)y=f(x)2.如果方程可以確定隱函數(shù)如果方程可以確定隱函數(shù)y=f(x)，這個函數(shù)是否是可導(dǎo)，這個函數(shù)是否是可導(dǎo)的的注意以上兩個問題，都與注意以上兩個問題，都與(x,y)有關(guān)有關(guān)6一、二元方程的情形一、二元方程的情形在一元函數(shù)微分學(xué)中在一元函數(shù)微分學(xué)中,現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的現(xiàn)

4、在利用復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則給出隱函數(shù)給出隱函數(shù))1(0),( yxF的求導(dǎo)法的求導(dǎo)法.并指出并指出:曾介紹過隱函數(shù)曾介紹過隱函數(shù)(1)的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式,隱函數(shù)存在的一個充分條件隱函數(shù)存在的一個充分條件. .ddxz求求1. 由二元方程由二元方程 F(x, y) = 0確定一元隱函數(shù)確定一元隱函數(shù)y = f (x),7隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 1設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)F (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)P (x0, y0)的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足:, 0),(00 yxFy; 0),(00 yxF并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);它滿足

5、條件它滿足條件y0 = f (x0),則方程則方程F (x, y) = 0在點(diǎn)在點(diǎn)P (x0, y0)的某一鄰域內(nèi)恒的某一鄰域內(nèi)恒隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(2) (3) 能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)(證明從略證明從略)僅推導(dǎo)公式僅推導(dǎo)公式.將恒等式將恒等式兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導(dǎo)求導(dǎo),),(xF由由鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則, 得得)(xf0 y = f (x),8,),(連續(xù)連續(xù)由于由于yxFy, 0),(00 yxFy且且, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或簡寫或簡寫:.ddyxFFxy 于是得于是得所以存在所以存在(x

6、0, y0)的一個鄰域的一個鄰域, 在這個鄰域內(nèi)在這個鄰域內(nèi)),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xf0 9證證 記記x2)y, x(Fx y2)y, x(Fy 與與由公式可得由公式可得則則例例 求方程求方程01yx22 y = f (x)的一階與二階導(dǎo)數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù), 1yx)y, x(F22 ),(),(ddyxFyxFxyyx yxdxdy 注意上式中的注意上式中的y是是x的函數(shù)，再次求導(dǎo)得的函數(shù)，再次求導(dǎo)得222yyxydxyd 2y)yx(xy 3322y1yxy 10證證 記記,ee),(yxxyyxF xxyyxFe),( yy

7、xyxFe),( 與與且且yxFFxy dd.eeyxxy 隱函數(shù)隱函數(shù) y = f (x),則則又例又例方程方程, 0ee yxxy一個隱函數(shù)一個隱函數(shù)y = f (x),能確定能確定.ddxy并求并求隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1 111解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 練習(xí)練習(xí)P102 2P102 2.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 ),(),(ddyxFyxFxyyx 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式公式法公式法引例引例:已知已知 確定確定 , 求求)(x

8、y )(xyy 0 xyeyx一般地一般地 , , 可確定可導(dǎo)函數(shù)可確定可導(dǎo)函數(shù) , , 如何求導(dǎo)如何求導(dǎo)? ?)(xyy 0),( yxF前述引例前述引例:0 xyeyx, 0)( xyex,yFyx令令,0)(時時當(dāng)當(dāng) xex,yFyxy就可確定可導(dǎo)函數(shù)就可確定可導(dǎo)函數(shù) , 且且)(xyy yxFFxy dd.xeyeyxyx 14, 0),(000 zyxFz則方程則方程 F (x, y, z) = 0 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi); 0),(000 zyxF),(000yxfz 恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的

9、函數(shù)并有并有若三元函數(shù)若三元函數(shù)F (x, y, z)滿足滿足:它滿足條件它滿足條件在點(diǎn)在點(diǎn)P (x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)具有連續(xù)由三元方程由三元方程F(x, y, z) = 0確定二元隱函數(shù)確定二元隱函數(shù).,yzxz 求求隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2,zxFFxz .zyFFyz (1)(2)(3)z = f (x, y),z = f (x, y),偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù);二、三元方程的情形二、三元方程的情形15(證明從略證明從略)僅推導(dǎo)公式僅推導(dǎo)公式.將恒等式將恒等式兩邊分別關(guān)于兩邊分別關(guān)于x和和y求導(dǎo)求導(dǎo),),(yxF應(yīng)用應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法法得得),

10、(yxf0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz 設(shè)設(shè) z = f (x, y)是方程是方程 F (x, y, z) = 0所確定的所確定的隱函數(shù)隱函數(shù), 則則yFzF yz . 0 zF, 0),(000 zyxFz且且, 0 zF所以存在所以存在點(diǎn)點(diǎn)(x0, y0 , z0)的一個鄰域的一個鄰域, 在這個鄰域內(nèi)在這個鄰域內(nèi)因?yàn)橐驗(yàn)檫B續(xù)連續(xù),于是得于是得解令令則則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 綜上：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)共有兩種方法即：隱

11、函綜上：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)共有兩種方法即：隱函數(shù)存在定理和兩邊同時對其求導(dǎo)數(shù)存在定理和兩邊同時對其求導(dǎo)例例3. , 2)3sin(yzxzz yzx- 求求設(shè)設(shè)法法1. 記記 F(x, y, z) = sin(x 3z) 2y z有有 Fx = cos(x 3z),故故zxFFxz 1)3cos(3)3cos( zxzxzyFFyz 1)3cos(32 zxFy = 2, Fz = 3cos(x 3z) 1 法法2： sin(x 3z) =2y +z. ,yzxz求兩邊對兩邊對 x 求偏導(dǎo)，求偏導(dǎo)，z 是是 x 的函數(shù)，的函數(shù)，y看作常數(shù)看作常數(shù).)3cos(zx)3cos()3cos(31 zx

12、zxzx解得解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx類似得類似得)3cos(312zxzyxz)31 (xz解解(2)(0),xyzd ezed ()20,xyzedxydze dz )()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe練習(xí)：練習(xí)： 兩邊全微分：兩邊全微分： 思考題和思考題思考題和思考題 P102思考題思考題ysinyx3xy2FFdxdy223yx 思考題思考題 =-122例例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解 ),(zyxF1222222 cz

13、byax則則,22axFx ,22byFy 22czFz xz,22zaxc yzzbyc22 令令)0( z,zxFFxz zyFFyz 法一法一 公式法公式法 x, y, z的的三個自變量的函數(shù)三個自變量的函數(shù).在求在求Fx , Fy, Fz時時, 將將F(x, y, z)看作是看作是23方程確定了方程確定了一一個個二元函數(shù)二元函數(shù)z = f (x, y),方程兩邊對方程兩邊對x 求導(dǎo)：求導(dǎo)：(y看作常數(shù)看作常數(shù))02222 xzczax xzzaxc22 方程兩邊對方程兩邊對y求導(dǎo)求導(dǎo): ( x看作常數(shù)看作常數(shù))02222 yzczby yzzbyc22 法二法二 推導(dǎo)法推導(dǎo)法例例 ,

14、1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解24xz yz 將隱函數(shù)方程兩邊取全微分將隱函數(shù)方程兩邊取全微分)1(dd222222 czbyax0d2d2d2222 zczybyxaxyzbycxzaxczddd2222 yyzxxzzddd )(x,yfz 法三法三 全微分法全微分法例例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求25將將 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注注再一次對再一次對y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),得得對復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時對復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時

15、,需注意需注意:導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù)導(dǎo)函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù).故對導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時故對導(dǎo)函數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)時,仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法仍需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法.2z yz 262),(222 zyxxyzyxf是由方程是由方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yxd2d 解解 法一法一 用公式用公式2),(222 zyxxyzzyxF設(shè)設(shè),22222zyxxyzxF ,22222zyxyxzyF .22222zyxzxyzF , 1)1,0, 1( xz,2)1,0, 1( yz).(d)1, 0 , 1(, zz處的全微分處的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)則則確定的確定的.d2dd)1,0, 1(yxz 27法二法二 用全微分用全微分xy

16、zd得得2222 zyxxyzyxzd zxyd 2222d2d2d2zyxzzyyxx 0 ,)1, 0 , 1(代入上式代入上式將點(diǎn)將點(diǎn) .d2dd)1,0, 1(yxz .dd, )tan(3xzxyeyyxzyx求求確定確定由方程由方程：設(shè)：設(shè)例例 解解.),(tan(可求全導(dǎo)數(shù)可求全導(dǎo)數(shù) xyxz)1)(secdd2yyxxz , 0)( xyex,yFyx令令, yeFyxx ,xeFyxy yxFFy ,xeyeyxyx )1)(secdd2yyxxz ).1)(sec2xeyeyxyxyx 例例3. , 2)3sin(yzxzz yzx- 求求設(shè)設(shè)法法1. 記記 F(x, y,

17、 z) = sin(x 3z) 2y z有有 Fx = cos(x 3z),故故zxFFxz 1)3cos(3)3cos( zxzxzyFFyz 1)3cos(32 zxFy = 2, Fz = 3cos(x 3z) 1 法法2： sin(x 3z) =2y +z. ,yzxz求兩邊對兩邊對 x 求偏導(dǎo)，求偏導(dǎo)，z 是是 x 的函數(shù)，的函數(shù)，y看作常數(shù)看作常數(shù).)3cos(zx)3cos()3cos(31 zxzxzx解得解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx類似得類似得)3cos(312zxzyxz)31 (xz32解解令令則則,xyeysin)y, x(F2x ,ye)y, x(F

18、2xx ,xy2ycos)y, x(Fy yxFFxy dd.xy2ycoseyx2 .xdyd,xyeysin2x求求已知已知 ),(),(ddyxFyxFxyyx 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式公式法公式法習(xí)題習(xí)題8.5 P102 8.5 P102 33解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx .dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 ),(),(ddyxFyxFxyyx 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式公式法公式法習(xí)題習(xí)題8.5 P102 8.5 P102 習(xí)題習(xí)題8.5 P102 8.5 P102 yxzz0 xyz2zy2x及及求求設(shè)設(shè) xyzxy1xyzyz1FFzzxx xyxyzxyz